Fiche de révision : Régimes transitoires RC et RL

📋 Plan du Cours

1. Régimes électriques et transitoires
2. Échelon de tension et régime libre
3. Dipôles énergétiques et continuité
4. Circuits linéaires du premier ordre
5. Méthode d’étude des circuits
6. Bilan énergétique des circuits
7. Charge du condensateur dans un circuit RC
8. Décharge du condensateur dans un circuit RC
9. Échelon de tension dans un circuit RL
10. Analogie entre circuits RC et RL

📖 1. Régimes électriques et transitoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime continu : Lorsque toutes ses tensions et intensités sont constantes et indépendantes du temps.
• Régime permanent : Lorsque les caractéristiques de ses tensions et intensités, comme leur valeur, leur amplitude ou leur fréquence, ne varient pas au cours du temps.
• Régime transitoire : Le régime transitoire est la période durant laquelle un circuit passe d’un régime permanent à un autre et possède une durée caractéristique souvent notée τ.

📝 Points essentiels

📌 Le régime continu est un cas particulier du régime permanent, qui comprend aussi les régimes sinusoïdaux d’amplitude et de fréquence fixes.

💡 Astuce mémo

Continu : grandeurs fixes ; permanent : caractéristiques fixes, même en sinusoïdal.

📖 2. Échelon de tension et régime libre

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime libre : Dès que toutes ses sources sont éteintes.

📝 Points essentiels

📌 Éteindre une source idéale de tension revient à la remplacer par un fil, tandis qu’éteindre une source idéale de courant revient à la remplacer par un interrupteur ouvert.

• Les situations usuelles de régime transitoire comprennent :

  • un échelon de tension appliqué à t = 0
  • une tension sinusoïdale appliquée à t = 0
  • l’extinction des sources à t = 0

• Les tensions et intensités transitoires peuvent brièvement devenir très élevées et endommager des composants par surtension ou surintensité.

📖 3. Dipôles énergétiques et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelon de tension : Un échelon de tension est produit par une source idéale de tension de force électromotrice constante E, telle que u(t) = 0 pour t < 0 et u(t) = E pour t ⩾ 0.

📝 Points essentiels

📌 Le modèle d’échelon idéal, dont le temps de montée est nul, est valable pour un signal réel si son temps de montée tmontée est très inférieur à la durée caractéristique τ du circuit.

💡 Astuce mémo

Le condensateur conserve uC ; la bobine conserve iL.

📖 4. Circuits linéaires du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un condensateur de capacité C, $i = C\frac{du_C}{dt}$ et son énergie stockée vaut $E_C = \frac{1}{2}Cu_C^2$.

📐 Formule - Pour une bobine idéale d’inductance L, $u_L = L\frac{di_L}{dt}$ et son énergie stockée vaut $E_L = \frac{1}{2}Li_L^2$.

📌 La tension aux bornes d’un condensateur est continue en t = 0, donc uC(0−) = uC(0+).

📌 Le courant traversant une bobine est continu en t = 0, donc iL(0−) = iL(0+).

Compléments

• En régime permanent continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert (i = 0) et une bobine idéale comme un fil (uL = 0).

• À t = 0+, un condensateur initialement déchargé se comporte comme un fil, tandis qu’une bobine initialement parcourue par un courant nul se comporte comme un interrupteur ouvert.

📖 5. Méthode d’étude des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit linéaire d’ordre 1 : Un circuit est linéaire d’ordre 1 lorsque la tension ou l’intensité recherchée vérifie une équation différentielle linéaire à coefficients constants et d’ordre 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour t ⩾ 0, la grandeur recherchée x(t) vérifie la forme canonique $\frac{dx}{dt} + \frac{x}{\tau} = K$, avec τ > 0, τ homogène à un temps et K constante.

• L’étude d’un circuit linéaire d’ordre 1 consiste à établir son équation différentielle, déterminer la condition initiale à t = 0+, puis résoudre l’équation.

Compléments

• La solution d’une équation différentielle canonique du premier ordre est la somme de la solution homogène $Ae^{-t/\tau}$ et d’une solution particulière constante.

📌 La condition initiale s’applique à la solution complète, homogène et particulière, et la valeur x(0+) n’est égale à x(0−) que si x est continue en t = 0.

💡 Astuce mémo

Schéma → équation → condition initiale → résolution.

📖 6. Bilan énergétique des circuits

★ À maîtriser

• Dans un circuit à une maille, le bilan de puissance et d’énergie s’obtient en reliant la loi des mailles aux puissances des dipôles, puis en intégrant dans le temps.

• En régime libre, sans générateur, l’énergie stockée ne peut que décroître car elle est convertie en chaleur par effet Joule dans les résistors.

Compléments

📐 Formule - La puissance dissipée par effet Joule dans un résistor de résistance R est $P_J = Ri^2$.

📐 Formule - La puissance reçue par un condensateur est $u_C i = \frac{dE_C}{dt}$, et celle reçue par une bobine est $u_L i = \frac{dE_L}{dt}$.

• Lorsqu’un circuit est soumis à un échelon de tension, une partie de l’énergie fournie par le générateur augmente l’énergie stockée et le reste est dissipé par effet Joule.

💡 Astuce mémo

En régime libre, l’effet Joule dissipe l’énergie stockée, qui décroît.

📖 7. Charge du condensateur dans un circuit RC

★ À maîtriser

• Lors de la charge d’un condensateur initialement déchargé dans un circuit RC série soumis à un échelon de tension E, la loi des mailles et la relation du condensateur donnent $RC\frac{du_C}{dt}+u_C=E$.

📐 Formule - La constante de temps du circuit RC série vaut $\tau=RC$.

📐 Formule - Pour $t\geq 0$, la tension de charge et le courant valent $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$.

• Lors d’une charge complète, le générateur fournit $CE^2$ ; la moitié, $\frac12 CE^2$, est stockée dans le condensateur et l’autre moitié est dissipée par effet Joule.

Compléments

• En régime permanent de charge, $u_C(\infty)=E$ et $i(\infty)=0$ ; le condensateur équivaut alors à un interrupteur ouvert.

• La tension du condensateur est continue à la fermeture, mais le courant passe de $i(0^-)=0$ à $i(0^+)=E/R$ ; à cet instant, le condensateur déchargé se comporte comme un fil.

📐 Formule - La charge du condensateur pendant la charge vaut $q(t)=CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et sa valeur finale est $q(\infty)=CE$.

• À $t=\tau$, la tension de charge atteint environ $0{,}63E$ et le courant vaut environ $0{,}37E/R$.

• Le temps nécessaire pour atteindre 99 % de l’évolution vaut $t_{99}=\tau\ln(100)\simeq 4{,}6\tau$ ; après environ $5\tau$, le régime permanent est quasiment atteint.

📐 Formule - Pendant la charge, l’énergie stockée dans le condensateur vaut $E_C=\frac12 Cu_C^2$ et le bilan de puissance s’écrit $Ei=Ri^2+\frac{dE_C}{dt}$.

📖 8. Décharge du condensateur dans un circuit RC

★ À maîtriser

• Lors de la décharge d’un condensateur initialement à la tension E à travers un résistor R, le circuit est en régime libre et vérifie $RC\frac{du_C}{dt}+u_C=0$.

📐 Formule - Pour $t\geq 0$, la tension, le courant et la charge pendant la décharge valent $u_C(t)=Ee^{-t/\tau}$, $i(t)=-\frac ER e^{-t/\tau}$ et $q(t)=CEe^{-t/\tau}$.

• Toute l’énergie initialement stockée dans le condensateur, $\frac12 CE^2$, est dissipée par effet Joule dans le résistor pendant la décharge complète.

Compléments

📐 Formule - La constante de temps de la décharge est $\tau=RC$ et ne dépend ni de la source ni des conditions initiales.

• Le signe négatif du courant de décharge signifie que le courant réel circule à l’opposé de l’orientation choisie pour la charge ; le condensateur joue alors le rôle de générateur.

• La tension du condensateur reste continue à la fermeture, tandis que le courant passe de $i(0^-)=0$ à $i(0^+)=-E/R$.

• À $t=\tau$, la tension de décharge vaut environ $0{,}37E$ ; le temps pour perdre 99 % de sa valeur initiale vaut $t_{99}\simeq4{,}6\tau$.

• En régime permanent final de décharge, $u_C(\infty)=0$ et $i(\infty)=0$.

📐 Formule - Pendant la décharge, le bilan énergétique vérifie $\frac{dE_C}{dt}=-Ri^2$, où $E_C=\frac12 Cu_C^2$.

📖 9. Échelon de tension dans un circuit RL

★ À maîtriser

• Pour un circuit RL série soumis à un échelon de tension E, la loi des mailles donne $L\frac{di}{dt}+Ri=E$.

📐 Formule - Pour $t\geq0$, le courant d’établissement et les tensions aux bornes du résistor et de la bobine valent $i(t)=\frac ER\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, $u_R(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et $u_L(t)=Ee^{-t/\tau}$.

Compléments

• Le courant dans la bobine est continu à la fermeture, mais sa tension passe de $u_L(0^-)=0$ à $u_L(0^+)=E$ ; avec un courant initial nul, la bobine se comporte alors comme un interrupteur ouvert.

• En régime permanent, $i(\infty)=E/R$ et $u_L(\infty)=0$ ; la bobine équivaut alors à un fil et le courant est limité par le résistor.

• À $t=\tau$, le courant vaut environ $0{,}63E/R$ et la tension de la bobine environ $0{,}37E$ ; le temps de réponse à 99 % vaut $t_{99}\simeq4{,}6\tau$.

📐 Formule - L’énergie stockée dans la bobine vaut $E_L=\frac12 Li^2$ et le bilan de puissance pendant l’établissement s’écrit $Ei=Ri^2+\frac{dE_L}{dt}$.

📐 Formule - En régime permanent RL, l’énergie stockée dans la bobine vaut $E_L(\infty)=\frac{LE^2}{2R^2}$.

• En régime permanent, le générateur RL fournit une puissance $E^2/R$ intégralement dissipée par effet Joule ; son énergie totale fournie diverge si l’on prolonge le bilan jusqu’à l’infini.

📖 10. Analogie entre circuits RC et RL

★ À maîtriser

• Dans un circuit RC, la tension du condensateur est continue et le courant peut être discontinu ; dans un circuit RL, le courant de la bobine est continu et sa tension peut être discontinue.

• Les constantes de temps sont $\tau=RC$ pour le circuit RC série et $\tau=L/R$ pour le circuit RL série.

• En régime permanent continu, le condensateur équivaut à un interrupteur ouvert, tandis que la bobine équivaut à un fil.

Compléments

📌 Sous un échelon de tension, le circuit RC tend vers $u_C=E$ et $i=0$, tandis que le circuit RL tend vers $i=E/R$ et $u_L=0$.

📌 Lors d’une charge complète d’un condensateur RC, l’énergie fournie vaut $CE^2$ et se partage également entre énergie stockée et énergie dissipée, tandis que l’énergie stockée en régime permanent RL vaut $LE^2/(2R^2)$.

💡 Astuce mémo

Le condensateur garde sa tension, la bobine garde son courant.

📊 Tableaux de synthèse

Circuits RC et RL série