Fiche de révision : Réponses temporelles et fréquentielles des SLCI

📋 Plan du Cours

1. Critères de performance des SLCI
2. Fonctions de transfert et schémas-blocs
3. Systèmes multivariables
4. Réponse des systèmes du premier ordre
5. Réponse des systèmes du second ordre
6. Réponse indicielle du second ordre sous-amorti
7. Principes de la réponse harmonique
8. Diagramme de Bode et décomposition
9. Réponses des systèmes élémentaires
10. Réponse fréquentielle du second ordre
11. Construction d’un diagramme de Bode

📖 1. Critères de performance des SLCI

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité : Toute entrée bornée produit une sortie bornée.
• Précision : Aptitude d’un système à atteindre en régime permanent la valeur visée, mesurée par l’écart entre la consigne et la valeur asymptotique de la sortie.
• Rapidité : Temps nécessaire au système pour réagir à une variation brusque de l’entrée, évalué principalement par le temps de réponse à 5 %.
• Amortissement : Pour un système d’ordre supérieur à 2, rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la sortie ; plus elles s’atténuent rapidement, plus le système est amorti.

📖 2. Fonctions de transfert et schémas-blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Rapport $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$ dans le domaine symbolique, caractérisant le comportement intrinsèque du système indépendamment de l’entrée et de la sortie.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des blocs en série, la fonction de transfert équivalente est $H(p)=H_1(p)H_2(p)H_3(p).$

📐 Formule - Pour deux blocs en parallèle dont les sorties sont sommées, la fonction de transfert équivalente est $H(p)=H_1(p)+H_2(p).$

📐 Formule - Pour une boucle à retour négatif de chaîne directe $A(p)$ et de chaîne de retour $B(p)$, la FTBF vaut $H(p)=\frac{A(p)}{1+A(p)B(p)}$ et la FTBO vaut $T(p)=A(p)B(p).$

• Pour réduire un système à boucles concentriques, il faut commencer par calculer la FTBF de la boucle interne, puis traiter la boucle fermée restante.

Compléments

📌 La FTBF sert à déterminer les réponses temporelles du système, tandis que la FTBO sert principalement à déterminer les conditions de stabilité de la boucle fermée.

• Pour réduire un système à boucles imbriquées, il faut d’abord déplacer les points de prélèvement afin de le ramener à des boucles concentriques, puis traiter ces boucles.

📌 Lors du déplacement d’un point de prélèvement vers la gauche au-delà d’un bloc A(p), la branche déplacée reçoit le bloc A(p) ; vers la droite au-delà d’un bloc B(p), elle reçoit le bloc 1/B(p).

📖 3. Systèmes multivariables

★ À maîtriser

• La superposition permet d’analyser un système multivariable en étudiant un mode où E₂(p)=0, puis un mode où E₁(p)=0, avant d’additionner les contributions à la sortie.

📐 Formule - Lorsque E₂(p)=0, la fonction de transfert en poursuite est $H_1(p)=\frac{S(p)}{E_1(p)}=\frac{A(p)B(p)}{1+A(p)B(p)C(p)}.$

📐 Formule - Lorsque E₁(p)=0, la fonction de transfert en régulation est $H_2(p)=\frac{S(p)}{-E_2(p)}=\frac{B(p)}{1+A(p)B(p)C(p)}$ et la sortie totale vaut $S(p)=H_1(p)E_1(p)-H_2(p)E_2(p).$

Compléments

• Dans un système multivariable, plusieurs entrées peuvent agir sur la sortie, notamment l’entrée principale et des entrées parasites comme le bruit ou l’effort résistant.

• Les fonctions de transfert en poursuite et en régulation ont le même dénominateur, $1+A(p)B(p)C(p).$

📖 4. Réponse des systèmes du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Gain statique : Rapport entre l’unité de sortie et l’unité d’entrée.
• Constante de temps : Paramètre du système du premier ordre qui s’exprime en secondes.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une entrée échelon $e(t)=a u(t)$, la réponse d’un système du premier ordre est $s(t)=Ka\left(1-e^{-t/\tau}\right)u(t).$

Compléments

📐 Formule - Pour une entrée échelon d’amplitude a, la valeur finale de la sortie est $s(+\infty)=Ka$ et sa pente à l’origine est $s'(0^+)=\frac{Ka}{\tau}.$

• Pour un système du premier ordre soumis à un échelon, le temps de réponse à 5 % vaut $t_{5\%}=3\tau$ et la sortie à l’instant τ vaut $s(\tau)=0{,}63Ka.$

📖 5. Réponse des systèmes du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient d’amortissement : Paramètre d’un système du second ordre noté z.
• Pulsation propre non amortie : La pulsation propre non amortie d’un système du second ordre est notée ω₀.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un système du second ordre à conditions initiales nulles vérifie $\frac{1}{\omega_0^2}\frac{d^2s(t)}{dt^2}+\frac{2z}{\omega_0}\frac{ds(t)}{dt}+s(t)=Ke(t)$ et sa fonction de transfert est $G(p)=\frac{K\omega_0^2}{p^2+2z\omega_0p+\omega_0^2}.$

• La nature des pôles dépend de z :
  • z>1 : deux pôles réels négatifs distincts
  • z=1 : deux pôles réels confondus
  • z<1 : deux pôles complexes conjugués

📐 Formule - Pour une entrée échelon $e(t)=a u(t)$, la réponse d’un système du second ordre vérifie $s'(0^+)=0$ et $s(+\infty)=Ka.$

Compléments

📐 Formule - Pour z>1, les pôles sont $p_{1{,}2}=-z\omega_0\pm\omega_0\sqrt{z^2-1}$ et leur produit vaut $p_1p_2=\omega_0^2.$

📐 Formule - Pour z=1, les deux pôles confondus valent $p_1=p_2=-\omega_0.$

📐 Formule - Pour z<1, les pôles sont $p_{1{,}2}=-z\omega_0\pm j\omega_0\sqrt{1-z^2}$ et leur module vaut $|p_1|=|p_2|=\omega_0.$

• Pour un système du second ordre soumis à un échelon, le régime établi dépend du gain statique K, tandis que z et ω₀ influencent seulement le régime transitoire.

📖 6. Réponse indicielle du second ordre sous-amorti

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système du second ordre sous-amorti, la réponse à un échelon d’amplitude a est $s(t)=K.a\left(1-e^{-z\omega_0t}\cos(\omega_pt)-\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}e^{-z\omega_0t}\sin(\omega_pt)\right)u(t)$, avec $\omega_p=\omega_0\sqrt{1-z^2}$.

📐 Formule - Le premier maximum d’une réponse indicielle sous-amortie apparaît à $t_1=\frac{T_p}{2}=\frac{\pi}{\omega_p}$ et son dépassement vaut $D_1=K.a.e^{-\frac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}}$.

• À coefficient d’amortissement z identique, plus ω₀ augmente, plus le temps de réponse à 5 % diminue et plus le système est rapide.

Compléments

📐 Formule - La pseudo-période d’un système sous-amorti est $T_p=\frac{2\pi}{\omega_p}=\frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-z^2}}$.

• Le temps de réponse à 5 % dépend du coefficient d’amortissement z et de la pulsation propre non amortie ω₀, et il n’existe pas de formule simple pour le calculer.

• Un abaque donne le temps de réponse réduit $t_{5\%}\omega_0$ en fonction du coefficient d’amortissement z.

• À pulsation propre ω₀ identique, un amortissement faible (z ≪ 1) entraîne des oscillations mal amorties et un temps de réponse élevé.

• À pulsation propre ω₀ identique, z = 1 donne le temps de réponse le plus faible parmi les réponses sans dépassement.

• À pulsation propre ω₀ identique, un amortissement élevé (z ≫ 1) ne produit pas de dépassement, mais entraîne un temps de réponse très long.

💡 Astuce mémo

Sous-amorti : oscillations et dépassement ; amortissement critique : réponse sans dépassement

📖 7. Principes de la réponse harmonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Réponse harmonique : Sortie en régime permanent d’un système soumis à une entrée périodique.

★ À maîtriser

📌 Le gain d’un système est le rapport des amplitudes S₀/E₀, tandis que sa phase φ est le décalage de la sortie s(t) par rapport à l’entrée e(t).

📐 Formule - En remplaçant p par jω dans la fonction de transfert, on obtient $\frac{S_0}{E_0}=|H(j\omega)|$ et $\varphi(\omega)=\arg(H(j\omega))$.

Compléments

• Pour une entrée sinusoïdale $e(t)=E_0\sin(\Omega_n t)$, la sortie en régime permanent s’écrit $s(t)=S_0\sin(\Omega_n t+\varphi)$.

• Une étude fréquentielle examine l’évolution du gain et de la phase lorsque la pulsation d’entrée ω varie, avec 0 < ω < +∞.

📖 8. Diagramme de Bode et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de Bode : Représentation du module et de la phase de H(jω) en fonction de la fréquence ou de la pulsation sur une échelle logarithmique en base 10.
• Lieu de transfert : Représentation graphique du comportement fréquentiel de H(jω) à l’aide de diagrammes.

★ À maîtriser

• Pour construire le diagramme de Bode d’une fonction de transfert, on factorise son numérateur et son dénominateur selon les pôles et les zéros, puis on décompose la fonction en éléments simples dont on combine les gains et les phases.

📐 Formule - Pour un produit de fonctions de transfert, les modules se multiplient et les arguments s’additionnent algébriquement ; en décibels, $20\log|H_1(j\omega)H_2(j\omega)|=20\log|H_1(j\omega)|+20\log|H_2(j\omega)|$.

Compléments

• Dans un diagramme de Bode, le module est exprimé en décibels et la phase généralement en degrés.

• Les courbes de gain et de phase sont tracées séparément sur la même feuille et doivent être interprétées simultanément.

• Une échelle logarithmique en base 10 n’a pas d’origine des abscisses et ne comporte donc pas de valeur zéro sur l’axe des pulsations.

📖 9. Réponses des systèmes élémentaires

★ À maîtriser

• Les éléments de transfert dont les diagrammes de Bode sont nécessaires sont le gain pur K, l’intégrateur K/p, le premier ordre 1/(1 + Tp) et son inverse, ainsi que le second ordre 1/(1 + (2z/ω₀)p + p²/ω₀²) et son inverse.

📐 Formule - Pour un premier ordre H(p)=K/(1+Tp), le gain vaut $G_{dB}=20\log_{10}(K)-20\log_{10}\sqrt{1+T^2\omega^2}$ et la phase vaut $\varphi=-\arctan(T\omega)$.

📐 Formule - Pour un premier ordre, la pulsation de cassure est $\omega_c=\frac{1}{T}$ ; à cette pulsation le gain vaut 20 log₁₀ K − 3 dB et la phase vaut −45°.

Compléments

📐 Formule - Pour un gain pur H(p)=K, le gain en décibels vaut $G_{dB}=20\log_{10}(K)$ et la phase vaut φ = 0°.

📐 Formule - Pour un intégrateur H(p)=K/p, le gain vaut $G_{dB}=20\log_{10}(K)-20\log_{10}(\omega)$ et la phase vaut φ = −90°.

• À basse fréquence, un premier ordre se comporte comme un gain pur K, avec un gain d’environ 20 log₁₀ K et une phase d’environ 0°.

• À haute fréquence, un premier ordre se comporte comme un intégrateur, avec une pente de gain de −20 dB par décade et une phase d’environ −90°.

📖 10. Réponse fréquentielle du second ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le second ordre, le module harmonique vaut $|H(j\omega)|=\frac{K}{\sqrt{(1-(\omega/\omega_0)^2)^2+4z^2(\omega/\omega_0)^2}}$ et sa phase vaut $\varphi=-\arctan\left(\frac{2z\omega/\omega_0}{1-\omega^2/\omega_0^2}\right)$.

• Pour z < √2/2, le gain présente un maximum à la pulsation de résonance $\omega_r=\omega_0\sqrt{1-2z^2}$.

Compléments

• Pour z ≥ 1, le second ordre possède deux pôles réels, distincts ou confondus ; pour z > 1, il peut se décomposer en deux premiers ordres de constantes de temps T₁ = −1/p₁ et T₂ = −1/p₂.

📐 Formule - Pour z = 1, le second ordre est un carré parfait $H(j\omega)=\frac{K}{(1+Tj\omega)^2}$ avec $T=\frac{1}{\omega_0}$.

• Pour z < 1, les pôles du second ordre sont complexes conjugués.

📐 Formule - À la pulsation de résonance, le coefficient de surtension vaut $Q=\frac{|H(j\omega_r)|}{|H(j0)|}=\frac{1}{2z\sqrt{1-z^2}}$.

• Les courbes réelles de Bode sont proches de leurs asymptotes, sauf près de leur point d’intersection ; leur tracé manuel consiste à tracer les asymptotes puis les courbes réelles à partir de points particuliers.

💡 Astuce mémo

Résonance possible si z < √2/2 ; pas de maximum de gain pour √2/2 ≤ z < 1

📖 11. Construction d’un diagramme de Bode

★ À maîtriser

• La première étape de construction d’un diagramme de Bode consiste à mettre la fonction de transfert sous forme factorisée en gain pur, intégrateurs et facteurs du premier et du second ordre, afin de la représenter comme une cascade d’éléments simples et de leurs inverses.

Compléments

• La deuxième étape consiste à classer les constantes de temps par ordre décroissant, ce qui revient à classer les pulsations de cassure correspondantes dans l’ordre croissant ; celles-ci valent 1/Tᵢ pour un premier ordre et ω₀ pour un second ordre.