QCM : Réponses temporelles et fréquentielles des SLCI (31 questions)

Question 1

1. Un système reçoit une entrée dont l’amplitude reste bornée, mais sa sortie croît sans limite au fil du temps. Comment faut-il le classer selon le critère de stabilité ?

Stable, car son entrée reste bornée

Instable, car sa sortie n’est pas bornée

Imprécis, car sa sortie ne rejoint pas la consigne

Lent, car sa sortie croît progressivement

Explication

La stabilité exige que toute entrée bornée produise une sortie bornée ; une sortie qui diverge indique donc un système instable. La précision concerne l’écart à la consigne, la rapidité le temps de réponse, et une entrée bornée ne suffit pas à établir la stabilité.

Answer

Instable, car sa sortie n’est pas bornée

Question 2

2. Après une variation de consigne, la sortie d’un système se stabilise à une valeur différente de celle visée. Quel critère caractérise l’écart entre ces deux valeurs ?

La stabilité

La rapidité

La précision

L’amortissement

Explication

La précision mesure l’écart entre la consigne et la valeur asymptotique atteinte par la sortie. Le temps de réponse relève de la rapidité, le comportement des entrées et sorties bornées de la stabilité, et l’atténuation des oscillations de l’amortissement.

Answer

La précision

Question 3

3. Deux systèmes réagissent à la même variation brusque d’entrée ; pour comparer leur rapidité, quel indicateur principal faut-il relever ?

La bornitude de la sortie pour une entrée bornée

Le rapport entre les amplitudes successives

L’écart entre la consigne et la valeur asymptotique

Le temps de réponse à 5 %

Explication

La rapidité s’évalue principalement par le temps de réponse à 5 % après une variation brusque de l’entrée. L’écart final mesure la précision, la bornitude caractérise la stabilité et l’atténuation des oscillations renseigne sur l’amortissement.

Answer

Le temps de réponse à 5 %

Question 4

4. Dans le domaine symbolique, quelle relation définit la fonction de transfert d’un système ?

H(p)=A(p)B(p)

H(p)=\frac{E(p)}{S(p)}

H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}

H(p)=E(p)+S(p)

Explication

La fonction de transfert est le rapport de la sortie symbolique à l’entrée symbolique et décrit le comportement intrinsèque du système. Le rapport inversé confond entrée et sortie, le produit des chaînes caractérise la FTBO, et une somme ne définit pas ce rapport.

Answer

$$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$$

Question 5

5. Trois blocs de fonctions de transfert $H_1(p)$ , $H_2(p)$ et $H_3(p)$ sont connectés en série. Quelle fonction de transfert équivalente obtient-on ?

H(p)=H_1(p)+H_2(p)+H_3(p)

H(p)=H_1(p)H_2(p)H_3(p)

H(p)=H_1(p)H_2(p)

H(p)=\frac{1}{H_1(p)H_2(p)H_3(p)}

Explication

La réduction de blocs en série se fait en multipliant les fonctions de transfert de tous les blocs. La somme correspond à des sorties sommées en parallèle, le produit de deux facteurs oublie un bloc et l’inverse du produit inverse la relation.

Answer

$$H(p)=H_1(p)H_2(p)H_3(p)$$

Question 6

6. Deux blocs reçoivent la même entrée en parallèle, et leurs sorties sont additionnées par un sommateur. Quelle fonction de transfert équivalente décrit le montage ?

H(p)=H_1(p)+H_2(p)

H(p)=H_1(p)-H_2(p)

H(p)=\frac{1}{H_1(p)+H_2(p)}

H(p)=H_1(p)H_2(p)

Explication

Lorsque les sorties des deux branches parallèles sont sommées, la fonction équivalente est la somme des fonctions de transfert. Le produit s’applique aux blocs en série, la soustraction ne correspond pas au sommateur indiqué et l’inverse n’est pas la règle de réduction.

Answer

$$H(p)=H_1(p)+H_2(p)$$

Question 7

7. Un schéma comporte deux boucles concentriques, l’une à l’intérieur de l’autre. Quelle opération faut-il effectuer en premier pour le réduire ?

Calculer la FTBF de la boucle externe

Multiplier directement toutes les fonctions de transfert

Calculer la FTBF de la boucle interne

Calculer la FTBO de la boucle interne

Explication

Pour des boucles concentriques, la réduction commence par la FTBF de la boucle interne ; on traite ensuite la boucle fermée restante. Commencer par la boucle externe ou multiplier tous les blocs ignore la structure des retours, et la procédure demande la FTBF interne plutôt que sa FTBO.

Answer

Calculer la FTBF de la boucle interne

Question 8

8. Pour analyser un système où l’entrée principale et une perturbation agissent sur la sortie, quelle démarche permet de déterminer leur effet combiné ?

Étudier les deux entrées simultanément dans un seul mode de fonctionnement

Étudier successivement chaque entrée, en annulant l’autre, puis additionner les contributions

Additionner les entrées avant d’étudier le système avec les deux présentes

Annuler l’entrée principale dans les deux modes, puis additionner les réponses

Explication

La superposition consiste à étudier un mode avec la perturbation annulée, puis un autre avec l’entrée principale annulée, avant d’additionner les contributions à la sortie. Additionner les entrées d’abord confond superposition et regroupement des signaux ; annuler l’entrée principale dans les deux modes omet son effet ; garder les deux entrées actives dans un seul mode ne sépare pas leurs contributions.

Answer

Étudier successivement chaque entrée, en annulant l’autre, puis additionner les contributions

Question 9

9. Dans un système multivariable, on annule l’entrée perturbatrice $E_2(p)$ afin d’étudier l’effet de l’entrée principale. Quelle fonction de transfert faut-il utiliser ?

\frac{A(p)B(p)}{1+A(p)B(p)C(p)}

\frac{B(p)}{1+A(p)B(p)C(p)}

\frac{A(p)B(p)}{1+A(p)B(p)}

\frac{1+A(p)B(p)C(p)}{A(p)B(p)}

Explication

Lorsque $E_2(p)=0$ , la fonction de transfert en poursuite est $H_1(p)=\frac{A(p)B(p)}{1+A(p)B(p)C(p)}$ . La fonction avec le seul facteur $B(p)$ correspond à la régulation ; omettre $C(p)$ néglige le retour ; inverser numérateur et dénominateur donne la réciproque.

Answer

$$\frac{A(p)B(p)}{1+A(p)B(p)C(p)}$$

Question 10

10. Pour un système multivariable, quelle expression donne la sortie totale lorsque les transferts en poursuite et en régulation sont respectivement $H_1(p)$ et $H_2(p)$ ?

S(p)=-H_1(p)E_1(p)+H_2(p)E_2(p)

S(p)=H_1(p)E_2(p)-H_2(p)E_1(p)

S(p)=H_1(p)E_1(p)-H_2(p)E_2(p)

S(p)=H_1(p)E_1(p)+H_2(p)E_2(p)

Explication

La sortie totale est la contribution de poursuite moins la contribution de régulation : $S(p)=H_1(p)E_1(p)-H_2(p)E_2(p)$ . Un signe positif devant la perturbation inverse son effet ; le signe négatif devant l’entrée principale déplace le signe au mauvais terme ; permuter les entrées attribue chaque transfert au mauvais signal.

Answer

$$S(p)=H_1(p)E_1(p)-H_2(p)E_2(p)$$

Question 11

11. Un système du premier ordre de gain statique $K=3$ et de constante de temps $\tau=2\,\mathrm{s}$ reçoit l’échelon $e(t)=4u(t)$ . Quelle est sa réponse temporelle ?

12\left(1-e^{-t/2}\right)u(t)

4\left(1-e^{-t/2}\right)u(t)

12\left(1-e^{-2t}\right)u(t)

3\left(1-e^{-t/2}\right)u(t)

Explication

La réponse à un échelon d’amplitude $a$ est $s(t)=Ka(1-e^{-t/\tau})u(t)$ . Ici, $Ka=3\times4=12$ et $\tau=2\,\mathrm{s}$ ; les réponses avec 4 ou 3 omettent respectivement le gain ou l’amplitude, tandis que l’exposant $-2t$ n’utilise pas la constante de temps au dénominateur.

Answer

$$12\left(1-e^{-t/2}\right)u(t)$$

Question 12

12. Un système du premier ordre reçoit un échelon d’amplitude $a=5$ , avec un gain statique $K=2$ et une constante de temps $\tau=4\,\mathrm{s}$ . Quel couple donne la valeur finale de la sortie et sa pente à l’origine ?

Valeur finale

5

; pente initiale

5\,\mathrm{s}^{-1}

Valeur finale

10

; pente initiale

40\,\mathrm{s}^{-1}

Valeur finale

10

; pente initiale

2{,}5\,\mathrm{s}^{-1}

Valeur finale

2{,}5

; pente initiale

2{,}5\,\mathrm{s}^{-1}

Explication

Pour un échelon, la valeur finale vaut $Ka=2\times5=10$ et la pente initiale vaut $Ka/\tau=10/4=2{,}5\,\mathrm{s}^{-1}$ . Une pente de 40 multiplie par erreur par $\tau$ ; une valeur finale de 2,5 divise celle-ci par $\tau$ ; le couple 5 et 5 confond la réponse avec l’amplitude d’entrée.

Answer

Valeur finale $$10$$ ; pente initiale $$2{,}5\,\mathrm{s}^{-1}$$

Question 13

13. Un système du second ordre à conditions initiales nulles est décrit par quels paramètres dans sa fonction de transfert ?

G(p)=\frac{K\omega_0^2}{p^2+2z\omega_0p+\omega_0^2}

G(p)=\frac{K\omega_0^2}{p^2+2z\omega_0p}

G(p)=\frac{K\omega_0^2}{p^2+2K\omega_0p+\omega_0^2}

G(p)=\frac{K}{p^2+2z\omega_0p+\omega_0^2}

Explication

La fonction de transfert associe le numérateur $K\omega_0^2$ au dénominateur du second ordre $p^2+2z\omega_0p+\omega_0^2$ . Omettre $\omega_0^2$ au numérateur, remplacer $z$ par $K$ ou supprimer le terme constant modifie cette forme.

Answer

$$G(p)=\frac{K\omega_0^2}{p^2+2z\omega_0p+\omega_0^2}$$

Question 14

14. L’analyse des pôles d’un système du second ordre révèle deux pôles réels négatifs distincts ; quelle relation entre son coefficient d’amortissement et l’unité convient ?

z=1

z>1

z=0

z<1

Explication

Pour $z>1$ , le dénominateur possède deux pôles réels négatifs distincts. La valeur $z=1$ correspond aux pôles réels confondus, tandis que $z<1$ donne des pôles complexes conjugués.

Answer

$$s'(0^+)=0$$ et $$s(+\infty)=6$$

Answer

$$K.a\left(1-e^{-z\omega_0t}\cos(\omega_pt)-\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}e^{-z\omega_0t}\sin(\omega_pt)\right)u(t),\quad \omega_p=\omega_0\sqrt{1-z^2}$$

Answer

$$t_1=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{s}$$ et $$D_1=6e^{-\frac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}}$$

Answer

Le second a un temps de réponse plus court et est plus rapide.

Answer

La sortie en régime permanent

Answer

Le gain vaut $$2{,}5$$ et la phase décrit le décalage de la sortie

Answer

Calculer $$H(j3)$$, puis prendre son module et son argument

Answer

Le diagramme de Bode

Answer

Factoriser numérateur et dénominateur, puis combiner gains et phases des éléments

Answer

Additionner les gains en décibels et les arguments algébriquement

Answer

Le gain pur, l’intégrateur, le premier ordre et son inverse, le second ordre et son inverse

Answer

$$20\log_{10}(3)-20\log_{10}(\sqrt{2})$$ et $$-45^\circ$$

Answer

$$4\ \text{rad/s}$$, $$20\log_{10}(2)-3\ \text{dB}$$ et $$-45^\circ$$

Answer

$$\frac{2}{\sqrt{1}}=2$$ et $$-90^\circ$$

Answer

$$20\sqrt{1-2(0{,}4)^2}\ \text{rad/s}$$

Answer

La mettre sous forme factorisée en éléments simples et en leurs inverses

Answer

$$2\,\text{rad/s}$$ puis $$4\,\text{rad/s}$$

Question 15

15. Un système du second ordre reçoit l’échelon $e(t)=3u(t)$ et possède un gain statique $K=2$ ; quelles sont sa pente initiale et sa valeur finale ?

s'(0^+)=0

et

s(+\infty)=2

s'(0^+)=0

et

s(+\infty)=3

s'(0^+)=6

et

s(+\infty)=6

s'(0^+)=0

et

s(+\infty)=6

Explication

Pour un échelon d’amplitude $a$ , la pente initiale d’un système du second ordre est nulle et sa valeur finale vaut $Ka$ ; ici, $2\times3=6$ . Une pente initiale égale à 6 reprend à tort le comportement du premier ordre, et les autres valeurs finales omettent l’un des facteurs.

Question 16

16. Pour un système sous-amorti soumis à un échelon d’amplitude $a$ , quelle expression donne sa réponse temporelle ?

K.a\left(1-e^{-z\omega_0t}\cos(\omega_0t)-\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}e^{-z\omega_0t}\sin(\omega_0t)\right)u(t)

K.a\left(1-e^{-z\omega_0t}\cos(\omega_pt)+\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}e^{-z\omega_0t}\sin(\omega_pt)\right)u(t),\quad \omega_p=\omega_0\sqrt{1-z^2}

K.a\left(1-e^{-z\omega_0t}\cos(\omega_pt)\right)u(t),\quad \omega_p=\omega_0\sqrt{1-z^2}

K.a\left(1-e^{-z\omega_0t}\cos(\omega_pt)-\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}e^{-z\omega_0t}\sin(\omega_pt)\right)u(t),\quad \omega_p=\omega_0\sqrt{1-z^2}

Explication

La réponse sous-amortie comprend un cosinus et un sinus amortis par $e^{-z\omega_0t}$ , avec le coefficient sinusoïdal $-z/\sqrt{1-z^2}$ et $\omega_p=\omega_0\sqrt{1-z^2}$ . Supprimer le sinus, employer $\omega_0$ dans les oscillations ou inverser le signe altère l’expression.

Question 17

17. Un système sous-amorti a une pseudo-pulsation $\omega_p=4\,\mathrm{rad/s}$ , un gain $K=2$ et reçoit un échelon d’amplitude $a=3$ ; quand survient son premier maximum et quelle est la formule de son dépassement ?

t_1=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{s}

et

D_1=6e^{-\frac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}}

t_1=\frac{\pi}{\omega_0}\,\mathrm{s}

et

D_1=6e^{-\frac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}}

t_1=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{s}

et

D_1=e^{-\frac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}}

t_1=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{s}

et

D_1=6e^{-\frac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}}

Explication

Le premier maximum survient à $t_1=\pi/\omega_p$ , donc ici à $\pi/4$ seconde. Le dépassement vaut $Ka e^{-z\pi/\sqrt{1-z^2}}$ ; avec $K=2$ et $a=3$ , le facteur est 6. Une période entière retarde le maximum, et le dépassement omettant ce facteur oublie le gain et l’amplitude.

Question 18

18. Deux systèmes sous-amortis ont le même coefficient d’amortissement ; le second possède une pulsation propre non amortie plus élevée. Quelle comparaison de leurs temps de réponse à 5 % est correcte ?

Leurs temps de réponse sont identiques car leur amortissement est égal.

Le second a un temps de réponse plus court et est plus rapide.

Le second a un temps de réponse plus long et est plus lent.

Le second a un temps de réponse plus long malgré sa pulsation accrue.

Explication

À coefficient d’amortissement identique, une pulsation propre non amortie plus élevée réduit le temps de réponse à 5 %, ce qui rend le système plus rapide. Un temps plus long inverse cette relation, tandis qu’un temps identique néglige l’effet de la pulsation propre.

Question 19

19. Un système est soumis à une entrée périodique ; quelle grandeur désigne sa réponse harmonique ?

La sortie lors d’une entrée constante

La sortie en régime permanent

La sortie pendant le régime transitoire

L’entrée appliquée au système

Explication

La réponse harmonique est la sortie du système en régime permanent sous une entrée périodique. La réponse transitoire désigne une autre phase, l’entrée est le signal imposé, et une entrée constante n’est pas périodique au sens visé ici.

Question 20

20. À une pulsation donnée, un système reçoit une sinusoïde d’amplitude $E_0=4$ et produit une sinusoïde d’amplitude $S_0=10$ , décalée dans le temps par rapport à l’entrée. Quelle interprétation distingue correctement le gain de la phase ?

Le gain vaut

0{,}4

et la phase décrit le décalage de la sortie

Le gain vaut

2{,}5

et la phase décrit le décalage de la sortie

Le gain vaut

2{,}5

et la phase décrit l’amplitude de sortie

Le gain décrit le décalage et la phase vaut

2{,}5

Explication

Le gain est le rapport $S_0/E_0=10/4=2{,}5$ , tandis que la phase caractérise le décalage de la sortie par rapport à l’entrée. La valeur $0{,}4$ inverse le rapport, et les deux autres réponses échangent les rôles du gain et de la phase.

Question 21

21. Pour analyser un système de fonction de transfert $H(p)$ à la pulsation $\omega=3$ , quelle substitution permet d’obtenir le gain et la phase harmoniques ?

Calculer

H(j3)

, puis prendre son module et son argument

Calculer

H(j\omega)

, puis prendre son argument comme gain

Calculer

H(3j)

, puis prendre son argument comme gain

Calculer

H(3)

, puis prendre son module et son argument

Explication

On remplace la variable de Laplace par $j\omega$ : le gain est $|H(j\omega)|$ et la phase est $\arg(H(j\omega))$ . Employer $H(3)$ omet le facteur imaginaire, tandis que les autres réponses confondent module et argument.

Question 22

22. Pour étudier comment le module et la phase de $H(j\omega)$ évoluent avec la fréquence, quel type de représentation utilise une échelle logarithmique en base 10 ?

Un diagramme à échelle linéaire

Un diagramme du module seul

Le diagramme de Bode

Un lieu de transfert sans courbes fréquentielles

Explication

Le diagramme de Bode trace le module et la phase en fonction de la fréquence ou de la pulsation sur une échelle logarithmique en base 10. Une échelle linéaire n’est pas la convention définissant Bode, et le tracé porte sur les deux grandeurs.

Question 23

23. Une fonction de transfert comporte plusieurs pôles et zéros. Quelle démarche convient pour construire son diagramme de Bode par décomposition ?

Additionner pôles et zéros, puis tracer directement la fonction entière

Tracer la fonction entière, puis rechercher ses facteurs après le tracé

Combiner les phases, puis factoriser seulement le numérateur

Factoriser numérateur et dénominateur, puis combiner gains et phases des éléments

Explication

La construction commence par la factorisation du numérateur et du dénominateur selon les pôles et les zéros, puis décompose la fonction en éléments simples dont on combine gains et phases. Une addition directe des pôles et zéros ne remplace pas cette décomposition.

Question 24

24. Un système en cascade a pour fonction de transfert $H(j\omega)=H_1(j\omega)H_2(j\omega)$ . Comment obtenir le module total en décibels et la phase totale ?

Additionner les gains en décibels et les arguments algébriquement

Additionner les modules linéaires et multiplier les arguments

Multiplier les gains en décibels et additionner les arguments

Soustraire les gains en décibels et additionner les arguments

Explication

Pour un produit de fonctions de transfert, les modules se multiplient, ce qui transforme les gains en décibels en une somme, et les arguments s’additionnent algébriquement. Additionner les modules linéaires ou multiplier les arguments applique les mauvaises opérations.

Question 25

25. Pour construire le diagramme de Bode d’un système quelconque par décomposition, quels éléments de transfert élémentaires faut-il savoir tracer ?

L’intégrateur, le dérivateur, deux éléments du premier ordre et un retard pur

Le gain pur, le dérivateur, le premier ordre et le second ordre sans leurs inverses

Le gain pur, l’intégrateur, deux éléments du second ordre et un retard pur

Le gain pur, l’intégrateur, le premier ordre et son inverse, le second ordre et son inverse

Explication

La décomposition repose sur le gain pur, l’intégrateur, les formes du premier et du second ordre, ainsi que leurs inverses pour ces deux derniers. Le dérivateur ou le retard pur ne remplace pas ces éléments, et omettre les inverses laisse de côté des formes nécessaires.

Question 26

26. Un système du premier ordre a pour fonction de transfert $H(p)=\frac{3}{1+0{,}5p}$ . À la pulsation $\omega=2\ \text{rad/s}$ , quelles expressions donnent son gain en décibels et sa phase ?

20\log_{10}(3)-20\log_{10}(\sqrt{2})

et

-45^\circ

20\log_{10}(3)-20\log_{10}(2)

et

-45^\circ

20\log_{10}(3)-20\log_{10}(\sqrt{2})

et

45^\circ

-20\log_{10}(\sqrt{2})

et

-45^\circ

Explication

Pour un premier ordre, le dénominateur du module vaut $\sqrt{1+T^2\omega^2}$ et la phase vaut $-\arctan(T\omega)$ . Ici, $T\omega=1$ , d’où $\sqrt{2}$ et $-45^\circ$ ; utiliser 2 au lieu de $\sqrt{2}$ confond le module avec son carré, tandis que le signe positif inverse la phase et l’expression sans le gain omet $K$ .

Question 27

27. Un système du premier ordre possède une constante de temps $T=0{,}25\ \text{s}$ et un gain statique $K=2$ . À sa pulsation de cassure, quelles sont la pulsation, le gain et la phase ?

0{,}25\ \text{rad/s}

,

20\log_{10}(2)-3\ \text{dB}

et

-45^\circ

4\ \text{rad/s}

,

20\log_{10}(2)-3\ \text{dB}

et

45^\circ

4\ \text{rad/s}

,

20\log_{10}(2)-3\ \text{dB}

et

-45^\circ

4\ \text{rad/s}

,

20\log_{10}(2)\ \text{dB}

et

-45^\circ

Explication

La pulsation de cassure vaut $\omega_c=1/T=4\ \text{rad/s}$ ; à cette pulsation, le gain est inférieur de 3 dB au gain statique et la phase vaut $-45^\circ$ . Prendre $T$ au lieu de $1/T$ inverse la pulsation, omettre 3 dB néglige la cassure, et une phase positive inverse le déphasage.

Question 28

28. Un système du second ordre a $K=2$ , $z=0{,}5$ et $\omega_0=10\ \text{rad/s}$ . À $\omega=10\ \text{rad/s}$ , quelles sont son module harmonique et sa phase ?

\frac{2}{\sqrt{0{,}25}}=4

et

-90^\circ

\frac{2}{\sqrt{1}}=2

et

-90^\circ

\frac{2}{\sqrt{1}}=2

et

90^\circ

\frac{2}{\sqrt{0{,}5}}=2\sqrt{2}

et

-90^\circ

Explication

À $\omega=\omega_0$ , le terme $1-(\omega/\omega_0)^2$ s’annule et le dénominateur du module vaut $2z=1$ ; le module vaut donc 2 et la phase $-90^\circ$ . Négliger l’amortissement donne un autre dénominateur, omettre le facteur 2 change le module, et le signe positif inverse la phase.

Question 29

29. Un système du second ordre a un coefficient d’amortissement $z=0{,}4$ et une pulsation propre $\omega_0=20\ \text{rad/s}$ . À quelle pulsation son gain atteint-il son maximum de résonance ?

20\sqrt{1+2(0{,}4)^2}\ \text{rad/s}

20\sqrt{1-2(0{,}4)^2}\ \text{rad/s}

20\sqrt{1-0{,}4^2}\ \text{rad/s}

20\ \text{rad/s}

Explication

Comme $z=0{,}4<\sqrt{2}/2$ , le gain présente un maximum à $\omega_r=\omega_0\sqrt{1-2z^2}$ . La pulsation propre n’est pas la pulsation de résonance, le signe plus et l’omission du facteur 2 modifient la formule.

Question 30

30. Avant de tracer le diagramme de Bode d’un système dont la fonction de transfert est donnée sous une forme développée, quelle opération faut-il effectuer en premier ?

Classer les pulsations de cassure dans l’ordre croissant

Regrouper tous les éléments dans un système du second ordre

La mettre sous forme factorisée en éléments simples et en leurs inverses

Remplacer chaque facteur par son asymptote fréquentielle

Explication

La première étape consiste à factoriser la fonction de transfert en gain pur, intégrateurs et facteurs du premier ou du second ordre, afin de la traiter comme une cascade d’éléments simples et de leurs inverses. Le classement des cassures vient ensuite, tandis que les asymptotes et le regroupement en un seul système ne constituent pas cette étape.

Question 31

31. Pour préparer le tracé d’un diagramme de Bode, un système comporte un facteur du premier ordre de constante de temps $T_1=0{,}5\,\text{s}$ et un facteur du second ordre de pulsation propre $\omega_0=4\,\text{rad/s}$ . Dans quel ordre faut-il placer leurs pulsations de cassure, de la plus basse à la plus élevée ?

2\,\text{rad/s}

puis

0{,}25\,\text{rad/s}

4\,\text{rad/s}

puis

2\,\text{rad/s}

0{,}5\,\text{rad/s}

puis

4\,\text{rad/s}

2\,\text{rad/s}

puis

4\,\text{rad/s}

Explication

La cassure du premier ordre vaut $1/T_1=1/0{,}5=2\,\text{rad/s}$ , tandis que celle du second ordre vaut $\omega_0=4\,\text{rad/s}$ ; on les classe donc par pulsation croissante. L’ordre inversé confond l’ordre des constantes de temps avec celui des cassures, et les autres valeurs appliquent une mauvaise relation aux facteurs.

QCM : Réponses temporelles et fréquentielles des SLCI (31 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un système reçoit une entrée dont l’amplitude reste bornée, mais sa sortie croît sans limite au fil du temps. Comment faut-il le classer selon le critère de stabilité ?

2. Après une variation de consigne, la sortie d’un système se stabilise à une valeur différente de celle visée. Quel critère caractérise l’écart entre ces deux valeurs ?

3. Deux systèmes réagissent à la même variation brusque d’entrée ; pour comparer leur rapidité, quel indicateur principal faut-il relever ?

4. Dans le domaine symbolique, quelle relation définit la fonction de transfert d’un système ?

5. Trois blocs de fonctions de transfert H1(p)H_1(p)H1​(p), H2(p)H_2(p)H2​(p) et H3(p)H_3(p)H3​(p) sont connectés en série. Quelle fonction de transfert équivalente obtient-on ?

6. Deux blocs reçoivent la même entrée en parallèle, et leurs sorties sont additionnées par un sommateur. Quelle fonction de transfert équivalente décrit le montage ?

7. Un schéma comporte deux boucles concentriques, l’une à l’intérieur de l’autre. Quelle opération faut-il effectuer en premier pour le réduire ?

8. Pour analyser un système où l’entrée principale et une perturbation agissent sur la sortie, quelle démarche permet de déterminer leur effet combiné ?

9. Dans un système multivariable, on annule l’entrée perturbatrice E2(p)E_2(p)E2​(p) afin d’étudier l’effet de l’entrée principale. Quelle fonction de transfert faut-il utiliser ?

10. Pour un système multivariable, quelle expression donne la sortie totale lorsque les transferts en poursuite et en régulation sont respectivement H1(p)H_1(p)H1​(p) et H2(p)H_2(p)H2​(p) ?

11. Un système du premier ordre de gain statique K=3K=3K=3 et de constante de temps τ=2 s\tau=2\,\mathrm{s}τ=2s reçoit l’échelon e(t)=4u(t)e(t)=4u(t)e(t)=4u(t). Quelle est sa réponse temporelle ?

12. Un système du premier ordre reçoit un échelon d’amplitude a=5a=5a=5, avec un gain statique K=2K=2K=2 et une constante de temps τ=4 s\tau=4\,\mathrm{s}τ=4s. Quel couple donne la valeur finale de la sortie et sa pente à l’origine ?

13. Un système du second ordre à conditions initiales nulles est décrit par quels paramètres dans sa fonction de transfert ?

14. L’analyse des pôles d’un système du second ordre révèle deux pôles réels négatifs distincts ; quelle relation entre son coefficient d’amortissement et l’unité convient ?

15. Un système du second ordre reçoit l’échelon e(t)=3u(t)e(t)=3u(t)e(t)=3u(t) et possède un gain statique K=2K=2K=2 ; quelles sont sa pente initiale et sa valeur finale ?

16. Pour un système sous-amorti soumis à un échelon d’amplitude aaa, quelle expression donne sa réponse temporelle ?

17. Un système sous-amorti a une pseudo-pulsation ωp=4 rad/s\omega_p=4\,\mathrm{rad/s}ωp​=4rad/s, un gain K=2K=2K=2 et reçoit un échelon d’amplitude a=3a=3a=3 ; quand survient son premier maximum et quelle est la formule de son dépassement ?

18. Deux systèmes sous-amortis ont le même coefficient d’amortissement ; le second possède une pulsation propre non amortie plus élevée. Quelle comparaison de leurs temps de réponse à 5 % est correcte ?

19. Un système est soumis à une entrée périodique ; quelle grandeur désigne sa réponse harmonique ?

20. À une pulsation donnée, un système reçoit une sinusoïde d’amplitude E0=4E_0=4E0​=4 et produit une sinusoïde d’amplitude S0=10S_0=10S0​=10, décalée dans le temps par rapport à l’entrée. Quelle interprétation distingue correctement le gain de la phase ?

21. Pour analyser un système de fonction de transfert H(p)H(p)H(p) à la pulsation ω=3\omega=3ω=3, quelle substitution permet d’obtenir le gain et la phase harmoniques ?

22. Pour étudier comment le module et la phase de H(jω)H(j\omega)H(jω) évoluent avec la fréquence, quel type de représentation utilise une échelle logarithmique en base 10 ?

23. Une fonction de transfert comporte plusieurs pôles et zéros. Quelle démarche convient pour construire son diagramme de Bode par décomposition ?

24. Un système en cascade a pour fonction de transfert H(jω)=H1(jω)H2(jω)H(j\omega)=H_1(j\omega)H_2(j\omega)H(jω)=H1​(jω)H2​(jω). Comment obtenir le module total en décibels et la phase totale ?

25. Pour construire le diagramme de Bode d’un système quelconque par décomposition, quels éléments de transfert élémentaires faut-il savoir tracer ?

26. Un système du premier ordre a pour fonction de transfert H(p)=31+0,5pH(p)=\frac{3}{1+0{,}5p}H(p)=1+0,5p3​. À la pulsation ω=2 rad/s\omega=2\ \text{rad/s}ω=2 rad/s, quelles expressions donnent son gain en décibels et sa phase ?

27. Un système du premier ordre possède une constante de temps T=0,25 sT=0{,}25\ \text{s}T=0,25 s et un gain statique K=2K=2K=2. À sa pulsation de cassure, quelles sont la pulsation, le gain et la phase ?

28. Un système du second ordre a K=2K=2K=2, z=0,5z=0{,}5z=0,5 et ω0=10 rad/s\omega_0=10\ \text{rad/s}ω0​=10 rad/s. À ω=10 rad/s\omega=10\ \text{rad/s}ω=10 rad/s, quelles sont son module harmonique et sa phase ?

29. Un système du second ordre a un coefficient d’amortissement z=0,4z=0{,}4z=0,4 et une pulsation propre ω0=20 rad/s\omega_0=20\ \text{rad/s}ω0​=20 rad/s. À quelle pulsation son gain atteint-il son maximum de résonance ?

30. Avant de tracer le diagramme de Bode d’un système dont la fonction de transfert est donnée sous une forme développée, quelle opération faut-il effectuer en premier ?

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5. Trois blocs de fonctions de transfert $H_1(p)$ , $H_2(p)$ et $H_3(p)$ sont connectés en série. Quelle fonction de transfert équivalente obtient-on ?

9. Dans un système multivariable, on annule l’entrée perturbatrice $E_2(p)$ afin d’étudier l’effet de l’entrée principale. Quelle fonction de transfert faut-il utiliser ?

10. Pour un système multivariable, quelle expression donne la sortie totale lorsque les transferts en poursuite et en régulation sont respectivement $H_1(p)$ et $H_2(p)$ ?

11. Un système du premier ordre de gain statique $K=3$ et de constante de temps $\tau=2\,\mathrm{s}$ reçoit l’échelon $e(t)=4u(t)$ . Quelle est sa réponse temporelle ?

12. Un système du premier ordre reçoit un échelon d’amplitude $a=5$ , avec un gain statique $K=2$ et une constante de temps $\tau=4\,\mathrm{s}$ . Quel couple donne la valeur finale de la sortie et sa pente à l’origine ?

15. Un système du second ordre reçoit l’échelon $e(t)=3u(t)$ et possède un gain statique $K=2$ ; quelles sont sa pente initiale et sa valeur finale ?

16. Pour un système sous-amorti soumis à un échelon d’amplitude $a$ , quelle expression donne sa réponse temporelle ?

17. Un système sous-amorti a une pseudo-pulsation $\omega_p=4\,\mathrm{rad/s}$ , un gain $K=2$ et reçoit un échelon d’amplitude $a=3$ ; quand survient son premier maximum et quelle est la formule de son dépassement ?

20. À une pulsation donnée, un système reçoit une sinusoïde d’amplitude $E_0=4$ et produit une sinusoïde d’amplitude $S_0=10$ , décalée dans le temps par rapport à l’entrée. Quelle interprétation distingue correctement le gain de la phase ?

21. Pour analyser un système de fonction de transfert $H(p)$ à la pulsation $\omega=3$ , quelle substitution permet d’obtenir le gain et la phase harmoniques ?

22. Pour étudier comment le module et la phase de $H(j\omega)$ évoluent avec la fréquence, quel type de représentation utilise une échelle logarithmique en base 10 ?

24. Un système en cascade a pour fonction de transfert $H(j\omega)=H_1(j\omega)H_2(j\omega)$ . Comment obtenir le module total en décibels et la phase totale ?

26. Un système du premier ordre a pour fonction de transfert $H(p)=\frac{3}{1+0{,}5p}$ . À la pulsation $\omega=2\ \text{rad/s}$ , quelles expressions donnent son gain en décibels et sa phase ?

27. Un système du premier ordre possède une constante de temps $T=0{,}25\ \text{s}$ et un gain statique $K=2$ . À sa pulsation de cassure, quelles sont la pulsation, le gain et la phase ?

28. Un système du second ordre a $K=2$ , $z=0{,}5$ et $\omega_0=10\ \text{rad/s}$ . À $\omega=10\ \text{rad/s}$ , quelles sont son module harmonique et sa phase ?

29. Un système du second ordre a un coefficient d’amortissement $z=0{,}4$ et une pulsation propre $\omega_0=20\ \text{rad/s}$ . À quelle pulsation son gain atteint-il son maximum de résonance ?