QCM : Second degré et forme canonique — 4 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition doit vérifier le coefficient aa pour que ax2+bx+cax^2+bx+c soit un polynôme du second degré ?

Il doit être non nul
Il doit être égal à 11
Il doit être différent de bb
Il doit être strictement positif

Il doit être non nul

Explication

Le terme en x2x^2 définit le degré deux lorsque a≠0a\neq 0. Si a=0a=0, l’expression devient un polynôme de degré inférieur, ce qui correspond à la confusion fréquente.

2. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole associée à ax2+bx+cax^2+bx+c ?

y=−b2ay=-\frac{b}{2a}
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c
x=−Δ4ax=-\frac{\Delta}{4a}
x=−b2ax=-\frac{b}{2a}

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Explication

L’axe de symétrie est la droite verticale d’équation x=−b2ax=-\frac{b}{2a}. L’expression −Δ4a-\frac{\Delta}{4a} intervient dans l’ordonnée du sommet, tandis qu’une équation en yy ne décrit pas ici l’axe vertical.

3. Une fonction du second degré a pour forme canonique 2(x−3)2−52(x-3)^2-5. Quel comportement possède-t-elle ?

Elle admet un maximum égal à 33 pour x=−5x=-5
Elle admet un maximum égal à −5-5 pour x=3x=3
Elle admet un minimum égal à −5-5 pour x=3x=3
Elle admet un minimum égal à 33 pour x=−5x=-5

Elle admet un minimum égal à $$-5$$ pour $$x=3$$

Explication

Comme le coefficient de x2x^2 vaut 2>02>0, la parabole est ouverte vers le haut et atteint un minimum au sommet. La forme canonique montre que ce sommet est atteint pour x=3x=3 et a pour ordonnée −5-5; un coefficient négatif conduirait à un maximum.

4. Pour le polynôme ax2+bx+cax^2+bx+c, quelles expressions donnent les paramètres de sa forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta ?

α=−ba\alpha=-\frac{b}{a} et β=−Δ2a\beta=-\frac{\Delta}{2a}
α=ba\alpha=\frac{b}{a} et β=Δ2a\beta=\frac{\Delta}{2a}
α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−Δ4a\beta=-\frac{\Delta}{4a}
α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=Δ4a\beta=\frac{\Delta}{4a}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{\Delta}{4a}$$

Explication

La forme canonique s’écrit avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−Δ4a\beta=-\frac{\Delta}{4a}. Les coefficients aa, bb et cc caractérisent plutôt la forme développée et ne remplacent pas directement α\alpha et β\beta.

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Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré ?

C'est une fonction de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a \neq 0.

Quelle est la formule du discriminant d'un polynôme ax2+bx+cax^2+bx+c ?

Le discriminant est Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.

Quelle est l'équation de l'axe de symétrie de la parabole ax2+bx+cax^2+bx+c ?

x=−b2ax=-\frac{b}{2a}

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