QCM : Séries entières : convergence et rayon (10 questions)

Question 1

1. Comment appelle-t-on une série de fonctions dont chaque terme s’écrit sous la forme $f_n(x)=a_nx^n$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ?

Une intégrale impropre

Une série entière

Une suite convergente

Une série trigonométrique

Explication

Une série entière est précisément une série de fonctions de la forme $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ . Les autres propositions ne correspondent pas à cette définition.

Answer

Une série entière

Question 2

2. Que représentent les coefficients $a_n$ dans l’écriture $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ d’une série entière ?

Des fonctions polynomiales

Des nombres complexes

Des réels strictement positifs

Des variables d’intégration

Explication

Dans une série entière, les $a_n$ sont les coefficients, et ils sont des nombres complexes. L’écriture met ensuite ces coefficients en facteur de $x^n$ .

Answer

Des nombres complexes

Question 3

3. Quel est le domaine de convergence d’une série entière ?

L’ensemble des

x

pour lesquels la série

\sum_{n\ge0} a_nx^n

converge

L’ensemble des coefficients

a_n

non nuls

L’ensemble des valeurs de

n

pour lesquelles

a_nx^n

est borné

L’ensemble des

x

pour lesquels

a_n\to 0

Explication

Le domaine de convergence est l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la série entière converge. C’est donc un ensemble de points, et non un ensemble d’indices ou de coefficients.

Answer

L’ensemble des $x$ pour lesquels la série $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ converge

Question 4

4. Quelle fonction est associée à la série entière $\sum_{n\ge0} x^n$ sur son domaine de convergence réel ?

x\mapsto e^x

x\mapsto \ln(1-x)

x\mapsto \frac{1}{1+x}

x\mapsto \frac{1}{1-x}

Explication

Sur $]-1,1[$ , la somme de $\sum_{n\ge0} x^n$ vaut $\frac{1}{1-x}$ . L’exponentielle correspond à une autre série, $\sum z^n/n!$ .

Answer

$x\mapsto \frac{1}{1-x}$

Question 5

5. Quelle condition du lemme d’Abel permet de conclure que $\sum_{n\ge0} a_n z^n$ est absolument convergente pour $|z|<|z_0|$ ?

Les coefficients

a_n

sont tous positifs

La suite des sommes partielles en

z_0

est bornée

On a

|z|=|z_0|

La série converge déjà absolument en

z

Explication

Le lemme d’Abel suppose que les sommes partielles au point $z_0$ sont bornées, puis en déduit la convergence absolue pour tout $z$ tel que $|z|<|z_0|$ . La condition $|z|=|z_0|$ n’est pas celle du résultat.

Answer

La suite des sommes partielles en $z_0$ est bornée

Question 6

6. Si le lemme d’Abel s’applique en $z_0$ , quelle inégalité sur $z$ assure la convergence absolue de la série ?

|z|<|z_0|

|z|>|z_0|

|z|=|z_0|

|z|\le 0

Explication

La conclusion du lemme d’Abel porte précisément sur les points situés strictement à l’intérieur du disque de rayon $|z_0|$ . Les autres inégalités ne donnent pas cette conclusion.

Answer

$|z|<|z_0|$

Question 7

7. Comment est défini le rayon de convergence $R$ d’une série entière ?

Comme l’ensemble des

x

pour lesquels la série converge

Comme le plus petit entier pour lequel

a_n=0

Comme la limite de

a_n

quand

n\to\infty

Comme le supremum des

r\ge 0

tels que

(a_nr^n)_{n\ge0}

reste bornée

Explication

Le rayon de convergence est défini comme $R=\sup\{r\ge0\mid (a_nr^n)_{n\ge0}\text{ est bornée}\}$ . Ce n’est ni un ensemble ni une simple limite des coefficients.

Answer

Comme le supremum des $r\ge 0$ tels que $(a_nr^n)_{n\ge0}$ reste bornée

Question 8

8. Quel rayon de convergence a la série $\sum_{n\ge0} x^n$ ?

1

+\infty

0

2

Explication

La série géométrique $\sum x^n$ a un rayon de convergence infini. À l’inverse, $\sum n!x^n$ a un rayon nul.

Answer

$+\infty$

Question 9

9. Que peut-on affirmer si une série entière de rayon $R>0$ est évaluée en un réel ou complexe $x$ tel que $|x|<R$ ?

Son comportement dépend uniquement du signe de

x

Elle converge absolument

Elle diverge grossièrement

Elle converge seulement si

|x|=R

Explication

Pour $|x|<R$ , une série entière converge absolument. La divergence grossière concerne au contraire le cas $|x|>R$ .

Answer

Elle converge absolument

Question 10

10. Que peut-il se passer pour une série entière au bord du disque, lorsque $|x|=R$ ?

Elle diverge toujours grossièrement

Elle converge toujours absolument

Elle est forcément nulle

Elle peut converger ou diverger selon les coefficients

Explication

Au bord $|x|=R$ , le cours indique que la série peut soit converger, soit diverger selon le cas. Il n’existe donc pas de règle unique dans cette situation.

Answer

Elle peut converger ou diverger selon les coefficients

QCM : Séries entières : convergence et rayon (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment appelle-t-on une série de fonctions dont chaque terme s’écrit sous la forme $f_n(x)=a_nx^n$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ?

2. Que représentent les coefficients $a_n$ dans l’écriture $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ d’une série entière ?

3. Quel est le domaine de convergence d’une série entière ?

4. Quelle fonction est associée à la série entière $\sum_{n\ge0} x^n$ sur son domaine de convergence réel ?

5. Quelle condition du lemme d’Abel permet de conclure que $\sum_{n\ge0} a_n z^n$ est absolument convergente pour $|z|<|z_0|$ ?

6. Si le lemme d’Abel s’applique en $z_0$ , quelle inégalité sur $z$ assure la convergence absolue de la série ?

7. Comment est défini le rayon de convergence $R$ d’une série entière ?

8. Quel rayon de convergence a la série $\sum_{n\ge0} x^n$ ?

9. Que peut-on affirmer si une série entière de rayon $R>0$ est évaluée en un réel ou complexe $x$ tel que $|x|<R$ ?

10. Que peut-il se passer pour une série entière au bord du disque, lorsque $|x|=R$ ?

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Crée tes propres QCM

QCM : Séries entières : convergence et rayon (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment appelle-t-on une série de fonctions dont chaque terme s’écrit sous la forme fn(x)=anxnf_n(x)=a_nx^nfn​(x)=an​xn sur R\mathbb{R}R ou C\mathbb{C}C ?

2. Que représentent les coefficients ana_nan​ dans l’écriture ∑n≥0anxn\sum_{n\ge0} a_nx^n∑n≥0​an​xn d’une série entière ?

3. Quel est le domaine de convergence d’une série entière ?

4. Quelle fonction est associée à la série entière ∑n≥0xn\sum_{n\ge0} x^n∑n≥0​xn sur son domaine de convergence réel ?

5. Quelle condition du lemme d’Abel permet de conclure que ∑n≥0anzn\sum_{n\ge0} a_n z^n∑n≥0​an​zn est absolument convergente pour ∣z∣<∣z0∣|z|<|z_0|∣z∣<∣z0​∣ ?

6. Si le lemme d’Abel s’applique en z0z_0z0​, quelle inégalité sur zzz assure la convergence absolue de la série ?

7. Comment est défini le rayon de convergence RRR d’une série entière ?

8. Quel rayon de convergence a la série ∑n≥0xn\sum_{n\ge0} x^n∑n≥0​xn ?

9. Que peut-on affirmer si une série entière de rayon R>0R>0R>0 est évaluée en un réel ou complexe xxx tel que ∣x∣<R|x|<R∣x∣<R ?

10. Que peut-il se passer pour une série entière au bord du disque, lorsque ∣x∣=R|x|=R∣x∣=R ?

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1. Comment appelle-t-on une série de fonctions dont chaque terme s’écrit sous la forme $f_n(x)=a_nx^n$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ?

2. Que représentent les coefficients $a_n$ dans l’écriture $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ d’une série entière ?

4. Quelle fonction est associée à la série entière $\sum_{n\ge0} x^n$ sur son domaine de convergence réel ?

5. Quelle condition du lemme d’Abel permet de conclure que $\sum_{n\ge0} a_n z^n$ est absolument convergente pour $|z|<|z_0|$ ?

6. Si le lemme d’Abel s’applique en $z_0$ , quelle inégalité sur $z$ assure la convergence absolue de la série ?

7. Comment est défini le rayon de convergence $R$ d’une série entière ?

8. Quel rayon de convergence a la série $\sum_{n\ge0} x^n$ ?

9. Que peut-on affirmer si une série entière de rayon $R>0$ est évaluée en un réel ou complexe $x$ tel que $|x|<R$ ?

10. Que peut-il se passer pour une série entière au bord du disque, lorsque $|x|=R$ ?