Qu'est-ce qu'une série de terme général u_n ?
C'est la suite des sommes partielles S_N = ∑_{n=n_0}^N u_n.
Quand une série ∑ u_n est-elle dite convergente ?
Quand la suite de ses sommes partielles converge.
Comment définit-on la somme d'une série convergente ?
C'est la limite des sommes partielles quand N tend vers l'infini.
Quelle valeur exacte donne la série de Bâle ?
Elle vaut π²/6.
Quelle série est appelée série de Bâle ?
La série ∑_{n=1}^{∞} 1/n².
Qui a étudié la série de Bâle en 1735 ?
Euler dans le problème de Bâle.
Qu'impose la convergence d'une série sur son terme général ?
Le terme général tend vers zéro.
Que montre l'exemple de la série harmonique sur la convergence ?
Elle diverge malgré que son terme général tende vers zéro.
Que se passe-t-il si le terme général d'une série ne tend pas vers zéro ?
La série diverge grossièrement.
Quelle est la formule de la somme de combinaisons linéaires de séries convergentes ?
La somme est la combinaison linéaire des sommes des séries.
Quelle opération sur un nombre fini de termes change la nature d'une série ?
Aucune opération sur un nombre fini de termes ne change la nature d'une série.
Qu'est-ce que le reste d'une série convergente d'ordre N ?
C'est la différence entre la somme totale et la somme partielle d'ordre N.
Quelle limite vérifie le reste d'ordre N d'une série convergente ?
Le reste d'ordre N tend vers zéro.
Quelle formule exprime la somme d'une série télescopique ?
La somme est la limite de u_n moins u_{n_0} quand n tend vers l'infini.
Quelle condition est nécessaire pour appliquer la formule de la série télescopique ?
La limite de u_n quand n tend vers l'infini doit exister.
Quelle est la première étape pour calculer une somme télescopique ?
Développer les sommes partielles.
Que fait-on après avoir développé les sommes partielles dans une somme télescopique ?
On supprime les termes qui se compensent.
Quelle est la dernière étape du calcul d'une somme télescopique ?
Passer à la limite.
Quelle condition assure la convergence de la série géométrique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} z^n\) ?
La série converge si et seulement si \(|z|<1\).
Quelle est la somme de la série géométrique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} z^n\) quand elle converge ?
Sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{1-z}\).
Quelle formule exprime la série exponentielle pour tout \(z\in\mathbb{C}\) ?
\(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = e^z\).
La série de Riemann \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\) converge sous quelle condition sur \(\alpha\) ?
Elle converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
Comment est définie la fonction zêta de Riemann pour \(\alpha > 1\) ?
Par \(\zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\).
Quelle valeur spéciale prend la fonction zêta de Riemann en 2 ?
\(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\).
Qu'impose la convergence d'une série à termes positifs sur ses sommes partielles ?
Les sommes partielles sont croissantes et majorées.
Quelle condition sur et garantit la convergence de si converge ?
Si à partir d'un certain rang et converge, alors converge.
Que peut-on conclure si et diverge ?
Alors diverge aussi.
Que signifie pour la nature des séries et ?
Elles ont la même nature si est positive à partir d'un certain rang.
Qu'est-ce qu'une série absolument convergente ?
Une série dont la série des valeurs absolues converge.
Quelle propriété relie convergence absolue et convergence simple ?
Toute série absolument convergente est convergente.
Quelle condition sur et assure la convergence absolue de ?
Si avec et converge, alors converge absolument.
Quelle condition suffit pour montrer la convergence d'une série par une série de Riemann ?
Trouver tel que .
Qu'est-ce qu'une série alternée ?
Une série dont les termes changent de signe successivement.
Quelle condition assure la convergence d'une série alternée ?
La suite des modules est décroissante et tend vers zéro.
Quel est le signe de la somme d'une série alternée selon le critère ?
Le signe du premier terme.
Quelle inégalité vérifie la somme d'une série alternée ?
La somme est inférieure ou égale au module du premier terme considéré.
Quelle inégalité vérifie le reste d'une série alternée ?
Le reste est inférieur ou égal au module du terme suivant.
Quel est le signe du reste d'une série alternée ?
Le même que celui de son premier terme.
Quelle condition doit remplir f pour la comparaison série-intégrale ?
f doit être continue, positive et décroissante sur [n₀,+∞[.
Quelle relation existe entre la série Σf(n) et l'intégrale ∫f(t)dt selon la comparaison série-intégrale ?
Elles ont la même nature (convergence ou divergence).
Comment obtient-on la comparaison série-intégrale ?
En encadrant chaque intégrale sur [k,k+1] entre f(k+1) et f(k) puis en sommant.
Quand la limite de ∫(1/t^α) dt de t₀ à x est-elle finie ?
Si et seulement si α > 1.
Que dit le critère de Riemann sur la série Σ1/n^α ?
Elle converge si et seulement si α > 1.
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1. Qu’est-ce qu’une série de terme général \(u_n\) ?
2. Quand dit-on que la série \(\sum u_n\) converge ?
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