QCM : Séries numériques — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’une série de terme général \(u_n\) ?

La suite des sommes partielles \(S_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n\)
Le scalaire obtenu uniquement lorsque les termes sont positifs
La limite des termes \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini
La suite des termes \(u_n\) considérée sans sommation

La suite des sommes partielles \(S_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n\)

Explication

Une série est définie comme la suite de ses sommes partielles. Sa somme, lorsqu’elle existe, est au contraire un scalaire égal à leur limite.

2. Quand dit-on que la série \(\sum u_n\) converge ?

Lorsque la suite des sommes partielles converge
Lorsque la somme des valeurs absolues est finie
Lorsque la suite des termes \(u_n\) est bornée
Lorsque chaque terme \(u_n\) est positif

Lorsque la suite des sommes partielles converge

Explication

La convergence d’une série est celle de la suite de ses sommes partielles. La positivité ou la convergence absolue peuvent intervenir dans certains critères, mais ne constituent pas la définition générale.

3. Si les sommes partielles d’une série convergent vers \(L\), que représente \(L\) ?

La somme de la série
La limite du terme général uniquement
Le reste d’ordre zéro de la série
Le premier terme de la série

La somme de la série

Explication

Lorsque la série converge, sa somme est la limite de ses sommes partielles : \(\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{N\to+\infty}S_N=L\).

4. Quelle condition nécessaire doit vérifier le terme général d’une série convergente \(\sum u_n\) ?

Il doit être croissant
Il doit tendre vers zéro
Il doit avoir une limite non nulle
Il doit être strictement positif

Il doit tendre vers zéro

Explication

La convergence d’une série implique nécessairement \(u_n\to0\). Cette condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas à assurer la convergence.

5. Pourquoi la série harmonique \(\sum_{n=1}^{+\infty}1/n\) constitue-t-elle un contre-exemple à la réciproque de la condition nécessaire ?

Parce que \(1/n\) ne tend pas vers zéro
Parce que ses termes deviennent alternativement positifs et négatifs
Parce que \(1/n\) tend vers zéro alors que la série diverge
Parce que la série harmonique converge vers zéro

Parce que \(1/n\) tend vers zéro alors que la série diverge

Explication

Le terme général \(1/n\) tend bien vers zéro, mais la série harmonique diverge. Ainsi, la condition \(u_n\to0\) est nécessaire sans être suffisante.

6. Une série dont le terme général ne tend pas vers zéro est nécessairement…

Télescopique
Convergente par comparaison
Convergente absolument
Divergente grossièrement

Divergente grossièrement

Explication

Si \(u_n\not\to0\), la condition nécessaire de convergence n’est pas satisfaite : la série diverge grossièrement. Cette situation se distingue de la série harmonique, dont le terme général tend vers zéro.

7. Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent, quelle est la somme de \(\sum(\lambda u_n+\mu v_n)\) ?

\(\sum(\lambda u_n)\sum(\mu v_n)\)
\(\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n\)
\(\lambda\mu\sum u_n\sum v_n\)
\(\sum u_n+\sum v_n\), indépendamment de \(\lambda\) et \(\mu\)

\(\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n\)

Explication

La linéarité de la sommation donne \(\sum(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n\), dès lors que les deux séries initiales convergent.

8. Pour une série convergente de somme \(S_\infty\), comment exprime-t-on le reste d’ordre \(N\) ?

\(R_N=S_\infty-S_N=\sum_{n=N+1}^{+\infty}u_n\)
\(R_N=S_N-S_\infty\)
\(R_N=S_\infty+S_N\)
\(R_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n\)

\(R_N=S_\infty-S_N=\sum_{n=N+1}^{+\infty}u_n\)

Explication

Le reste est la différence entre la somme totale et la somme partielle : \(R_N=S_\infty-S_N\). Il correspond aussi à la série des termes situés après l’indice \(N\) et tend vers zéro.

9. Que vaut la série télescopique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty}(u_{n+1}-u_n)\) lorsque \(u_n\) admet une limite ?

\(u_{n_0}-\lim_{n\to+\infty}u_n\)
\(\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n\)
\(\lim_{n\to+\infty}u_n+u_{n_0}\)
\(\lim_{n\to+\infty}u_n-u_{n_0}\)

\(\lim_{n\to+\infty}u_n-u_{n_0}\)

Explication

Après compensation des termes successifs dans les sommes partielles, il reste la limite du dernier terme moins le premier : \(\lim_{n\to+\infty}u_n-u_{n_0}\).

10. Pour quelle condition sur le nombre complexe z la série géométrique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} z^n\) converge-t-elle, et quelle est alors sa somme ?

Elle converge si \(|z|>1\) et sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{z-1}\)
Elle converge si \(|z|\leq 1\) et sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{1+z}\)
Elle converge pour tout \(z\) et sa somme vaut \(e^{z^{n_0}}\)
Elle converge si \(|z|<1\) et sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{1-z}\)

Elle converge si \(|z|<1\) et sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{1-z}\)

Explication

La série géométrique converge exactement lorsque \(|z|<1\), et sa somme est \(z^{n_0}/(1-z)\). Pour \(|z|\geq 1\), elle diverge grossièrement.

11. Quelle affirmation distingue correctement la série exponentielle de la série géométrique ?

La série exponentielle converge pour tout \(z\in\mathbb C\), tandis que la série géométrique exige \(|z|<1\)
Les deux séries convergent uniquement pour les nombres réels positifs
Les deux séries convergent uniquement lorsque \(|z|<1\)
La série géométrique converge pour tout \(z\), tandis que la série exponentielle exige \(|z|<1\)

La série exponentielle converge pour tout \(z\in\mathbb C\), tandis que la série géométrique exige \(|z|<1\)

Explication

La série exponentielle \(\sum z^n/n!\) converge pour tout nombre complexe \(z\), contrairement à la série géométrique, soumise à la condition \(|z|<1\).

12. Pour quelle valeur de \(\alpha\) la série de Riemann \(\sum_{n=1}^{+\infty}1/n^\alpha\) converge-t-elle ?

Pour \(\alpha\geq 0\)
Pour \(0<\alpha<1\)
Pour toute valeur réelle de \(\alpha\)
Pour \(\alpha>1\)

Pour \(\alpha>1\)

Explication

La série de Riemann converge si et seulement si \(\alpha>1\). En particulier, le cas limite \(\alpha=1\) diverge.

13. Pourquoi une série à termes positifs converge-t-elle lorsque sa suite de sommes partielles est majorée ?

Parce que ses sommes partielles sont décroissantes et minorées
Parce que ses sommes partielles sont croissantes et majorées, donc convergentes
Parce que toute série à termes positifs converge automatiquement
Parce que ses termes deviennent nécessairement nuls après un certain rang

Parce que ses sommes partielles sont croissantes et majorées, donc convergentes

Explication

Les sommes partielles d’une série à termes positifs sont croissantes. Si elles sont aussi majorées, elles convergent, ce qui équivaut à la convergence de la série.

14. On sait que \(0\leq u_n\leq v_n\) à partir d’un certain rang et que \(\sum v_n\) converge. Quelle conclusion peut-on tirer ?

La série \(\sum u_n\) converge
La série \(\sum v_n\) doit être alternée
Les deux séries ont nécessairement la même somme
La série \(\sum u_n\) diverge vers \(+\infty\)

La série \(\sum u_n\) converge

Explication

La convergence de la grande série à termes positifs \(\sum v_n\) entraîne, par comparaison, celle de la petite série \(\sum u_n\). Cela ne signifie pas que leurs sommes sont égales.

15. Si \(0\leq u_n\leq v_n\) à partir d’un certain rang et si \(\sum u_n\) diverge, quelle série diverge nécessairement ?

Aucune conclusion ne peut être tirée sur \(\sum v_n\)
La série \(\sum v_n\)
La série \(\sum (v_n-u_n)\)
La série \(\sum u_n^2\)

La série \(\sum v_n\)

Explication

La divergence de la petite série impose la divergence de la grande série \(\sum v_n\), selon le critère de comparaison par minoration. La conclusion porte donc sur la série majorante.

16. Deux suites positives à partir d’un certain rang vérifient \(u_n\sim v_n\). Quelle relation existe entre les séries correspondantes ?

La série \(\sum v_n\) converge toujours, quelle que soit \(u_n\)
Les deux séries ont nécessairement des sommes égales
La série \(\sum u_n\) converge toujours plus rapidement
Les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont la même nature

Les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont la même nature

Explication

L’équivalence asymptotique de termes positifs permet d’appliquer le critère d’équivalence : les deux séries convergent ou divergent simultanément. Elle n’implique pas l’égalité de leurs sommes.

17. Que signifie la convergence absolue de la série \(\sum u_n\) ?

La convergence de la série \(\sum |u_n|\)
La convergence de la série \(\sum u_n^2\)
La convergence de la série \(\sum u_n\) sans autre condition
La positivité de tous les termes \(u_n\)

La convergence de la série \(\sum |u_n|\)

Explication

Une série est absolument convergente lorsque la série formée des valeurs absolues de ses termes, \(\sum |u_n|\), converge. Cette propriété est plus forte que la simple convergence.

18. Quelle implication générale relie la convergence absolue et la convergence d’une série ?

Toute série convergente est absolument convergente
La convergence absolue concerne uniquement les séries à termes positifs
Toute série absolument convergente est convergente
Une série absolument convergente diverge si ses termes changent de signe

Toute série absolument convergente est convergente

Explication

La convergence de \(\sum |u_n|\) entraîne celle de \(\sum u_n\). La réciproque n’est pas générale, car certaines séries convergent sans converger absolument.

19. On sait que \(v_n\geq0\), que \(u_n=O(v_n)\) et que \(\sum v_n\) converge. Quelle conclusion est correcte ?

La série \(\sum |u_n|\) est nécessairement égale à \(\sum v_n\)
La série \(\sum u_n\) diverge nécessairement
La convergence de \(\sum v_n\) n’apporte aucune information sur \(u_n\)
La série \(\sum u_n\) converge absolument

La série \(\sum u_n\) converge absolument

Explication

La domination \(u_n=O(v_n)\), avec une série majorante positive convergente, permet de comparer \(|u_n|\) à un multiple de \(v_n\). Ainsi, \(\sum u_n\) converge absolument.

20. Quelle condition supplémentaire, en plus de l’alternance des signes, garantit la convergence d’une série alternée selon le critère correspondant ?

Les modules des termes sont décroissants et tendent vers zéro
Les signes alternent, sans condition sur les modules
Les modules des termes sont croissants et tendent vers zéro
Les termes positifs sont tous supérieurs aux termes négatifs

Les modules des termes sont décroissants et tendent vers zéro

Explication

Le critère des séries alternées exige simultanément que la suite des modules soit décroissante et qu’elle tende vers zéro. L’alternance seule ne suffit pas.

21. Une série alternée converge vers une somme dont le premier terme est négatif. Que peut-on en déduire concernant la somme et le reste après le terme d’indice n ?

La somme est négative et le reste a le signe de uₙ₊₁
La somme est positive et le reste a le signe opposé à uₙ₊₁
La somme est nulle et le reste est toujours positif
La somme est négative et le reste a toujours le signe opposé à uₙ₊₁

La somme est négative et le reste a le signe de uₙ₊₁

Explication

La somme d’une série alternée a le signe de son premier terme. Le reste Rₙ a le signe de son premier terme uₙ₊₁, avec |Rₙ| ≤ |uₙ₊₁|.

22. Sous quelles hypothèses la comparaison série-intégrale permet-elle de comparer la nature de ∑ f(n) à celle des intégrales correspondantes ?

Lorsque f est continue, négative et croissante à partir d’un certain rang
Lorsque f est périodique et positive à partir d’un certain rang
Lorsque f est continue, positive et décroissante à partir d’un certain rang
Lorsque f est quelconque mais bornée sur tout intervalle

Lorsque f est continue, positive et décroissante à partir d’un certain rang

Explication

La comparaison série-intégrale s’applique lorsque f est continue, positive et décroissante sur un intervalle de la forme [n₀,+∞[. Ces hypothèses permettent d’établir les encadrements nécessaires.

23. Pour quelle valeur de α la série de Riemann ∑ 1/n^α converge-t-elle ?

Pour α = 1
Pour α < 1
Pour α ≥ 0
Pour α > 1

Pour α > 1

Explication

Le critère de Riemann affirme que ∑ 1/n^α converge si et seulement si α > 1. Ce résultat découle de la comparaison avec l’intégrale de 1/t^α.

24. Pourquoi les intégrales sur les intervalles [k,k+1] permettent-elles d’établir la comparaison série-intégrale pour une fonction positive et décroissante ?

Parce que f(k) est inférieur ou égal à f(t), lui-même inférieur ou égal à f(k+1) sur [k,k+1]
Parce que l’intégrale de f sur chaque intervalle est toujours égale à f(k)
Parce que f(k+1) est inférieur ou égal à f(t), lui-même inférieur ou égal à f(k) sur [k,k+1]
Parce que f(t) est constant sur chaque intervalle [k,k+1]

Parce que f(k+1) est inférieur ou égal à f(t), lui-même inférieur ou égal à f(k) sur [k,k+1]

Explication

La décroissance de f donne f(k+1) ≤ f(t) ≤ f(k) sur [k,k+1]. En intégrant puis en sommant ces inégalités, on obtient les encadrements reliant la série aux intégrales.

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Qu'est-ce qu'une série de terme général u_n ?

C'est la suite des sommes partielles S_N = ∑_{n=n_0}^N u_n.

Quand une série ∑ u_n est-elle dite convergente ?

Quand la suite de ses sommes partielles converge.

Comment définit-on la somme d'une série convergente ?

C'est la limite des sommes partielles quand N tend vers l'infini.

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