Fiche de révision : Signaux déterministes et circuits

📋 Plan du Cours

1. Histoire et objectifs du signal
2. Rôles du traitement du signal
3. Signaux élémentaires et distributions
4. Mesures et espaces de signaux
5. Classification des signaux
6. Approximation et orthogonalité
7. Développements de Fourier
8. Analyse temporelle et fréquentielle

📖 1. Histoire et objectifs du signal

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal : Support physique d’une information représenté mathématiquement par une fonction d’une ou plusieurs variables, généralement le temps.

★ À maîtriser

• L’objectif majeur du cours est d’apprendre des outils de traitement du signal et de les appliquer à l’analyse de circuits électriques.

Compléments

• Au XIXe siècle, le télégraphe électrique, puis le téléphone et les premières liaisons radio ont marqué l’exploitation des signaux électriques.

• Fourier a développé en 1822 une méthode d’analyse liée à la propagation de la chaleur, généralisée aux phénomènes et signaux aléatoires par Wiener et Khinchine en 1930.

💡 Astuce mémo

Télégraphe → téléphone → radio → électronique

📖 2. Rôles du traitement du signal

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtrage : Consiste à éliminer certaines composantes indésirables d’un signal.

📝 Points essentiels

• Le traitement du signal regroupe les fonctions suivantes:

  • Analyse
  • Mesure
  • Filtrage
  • Régénération
  • Détection
  • Identification
  • Synthèse

• En radar Doppler, la durée entre l’émission d’une impulsion et la réception de son écho donne la distance à la cible, tandis que l’écart de fréquence entre l’onde émise et reçue donne sa vitesse radiale.

💡 Astuce mémo

AMFRDISS : Analyse, Mesure, Filtrage, Régénération, Détection, Identification, Synthèse

📖 3. Signaux élémentaires et distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelon unité : L’échelon unité vérifie $u(t)=0$ si $t<0$ et $u(t)=1$ si $t\ge 0$.
• Impulsion de Dirac : Distribution nulle sauf en zéro, d’intégrale totale un, qui vérifie $\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La rampe unité est définie par $\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,d\tau=t\,u(t)$.

• La multiplication d’un signal par une fonction peigne prélève périodiquement des échantillons à la cadence $\nu_e=1/T_e$.

Compléments

📐 Formule — La fonction rectangle centrée en zéro et de largeur unitaire vérifie $r(t)=u\left(t+\frac{1}{2}\right)-u\left(t-\frac{1}{2}\right)$.

💡 Astuce mémo

Une rampe monte depuis l’échelon, puis une impulsion prélève un point

📖 4. Mesures et espaces de signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie du signal : Carré de sa norme et, pour un signal continu, $E=\int_a^b|f(t)|^2\,dt$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un signal complexe, la puissance instantanée vaut $p(t)=x(t)x^*(t)$.

📐 Formule — La puissance moyenne d’un signal vaut $P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)x^*(t)\,dt$.

Compléments

📌 Deux signaux sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul, et le théorème de Pythagore donne alors $\|f+g\|^2=\|f\|^2+\|g\|^2$.

💡 Astuce mémo

Énergie finie pour les signaux transitoires, puissance finie pour les signaux persistants

📖 5. Classification des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal déterministe : Signal dont l’évolution peut être prédite parfaitement par une représentation mathématique appropriée.
• Signal causal : Nul pour toute valeur négative du temps, c’est-à-dire $f(t)=0$ si $t<0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Un signal périodique vérifie $f(t+T)=f(t)$, où $T$ est sa période.

📌 Tout signal se décompose en une partie paire $f_P(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}$ et une partie impaire $f_I(t)=\frac{f(t)-f(-t)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Déterministe prévisible, aléatoire imprévisible ; causal avant zéro, non causal ailleurs

📖 6. Approximation et orthogonalité

★ À maîtriser

• L’approximation d’un signal $f(t)$ par des fonctions linéairement indépendantes s’écrit $\tilde f(t)=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\psi_k(t)$, avec une erreur $e(t)=f(t)-\tilde f(t)$.

📌 L’approximation aux moindres carrés est optimale lorsque l’énergie de l’erreur est minimale.

📌 L’énergie de l’erreur est minimale lorsque l’erreur est orthogonale à chacune des fonctions de base, soit $\langle e,\psi_k\rangle=0$ pour tout $k$.

Compléments

📐 Formule — La forme matricielle des équations de projection est $\Psi\alpha=f$, d’où $\alpha=\Psi^{-1}f$ lorsque l’inversion est possible.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité de l’erreur → approximation optimale aux moindres carrés

📖 7. Développements de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de Fourier : Combinaison de fonctions exponentielles complexes représentant une fonction périodique de carré intégrable selon $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X_n e^{j2\pi nt/T}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coefficients de la série de Fourier sont $X_n=\frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_1+T}x(t)e^{-j2\pi nt/T}\,dt$ et sont classés selon les fréquences harmoniques $\nu_n=n/T$.

Compléments

📌 Lorsque le signal périodique $x(t)$ est réel, les coefficients de Fourier vérifient $X_{-n}=X_n^*$.

💡 Astuce mémo

Signal périodique → fonctions exponentielles → coefficients harmoniques

📖 8. Analyse temporelle et fréquentielle

★ À maîtriser

📌 L’analyse temporelle observe le comportement d’un signal ou d’un système en fonction du temps, tandis que l’analyse fréquentielle l’observe en fonction de la fréquence.

📐 Formule — Pour un signal continu, la transformée de Fourier est $F(\nu)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j2\pi\nu t}\,dt$.

📐 Formule — Pour un signal causal continu, la transformée de Laplace est $F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt$.

📐 Formule — Pour un signal discret, la transformée en z bilatérale est $F(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(nT_e)z^{-n}$, tandis que la transformée en z unilatérale commence à $n=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour un signal de durée finie ou périodique échantillonné, la transformée de Fourier discrète est $F_k=\sum_{n=0}^{N-1}f_n e^{-j2\pi kn/N}$.

💡 Astuce mémo

Temps : évolution temporelle ; fréquence : contenu spectral

📊 Tableaux de synthèse

Classification énergétique des signaux

Transformations selon le signal