QCM : Sommes, produits et binôme — 20 questions

Question 1

1. Combien d’entiers contient l’ensemble [[p,q]] lorsque p et q sont des entiers avec p≤q ?

q-p+1

q+p+1

p-q+1

q-p

Explication

L’ensemble des entiers de p à q inclus contient q-p+1 éléments. Il faut le distinguer de l’intervalle réel [p,q], qui contient une infinité de nombres.

Answer

(x_i)_{i∈[[p,q]]}

Answer

∑_{i=p}^{q} x_i

Answer

Elle reste inchangée

Answer

∑_{i=m}^{n}x_i=∑_{i=m}^{p}x_i+∑_{i=p+1}^{n}x_i

Answer

∑_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=a∑_{i=p}^{q}x_i+∑_{i=p}^{q}y_i

Answer

(p+n)(n-p+1)/2

Answer

u_0(1-q^{n+1})/(1-q) si q≠1, et (n+1)u_0 si q=1

Answer

Choisir un décalage, recalculer les bornes, puis réécrire le terme général

Answer

i∈[[1,n+1]] et k est remplacé par i−1

Answer

La multiplication de tous les éléments x_p jusqu’à x_q

Answer

n!/[k!(n−k)!]

Answer

C(n,k)=C(n,n−k)

Answer

∑_{k=0}^{n} C(n,k)a^k b^{n−k}

Answer

a^n-b^n=(a-b)∑_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}

Answer

Lorsque n est impair

Question 2

2. Quelle écriture désigne une famille composée des éléments $x_p,x_{p+1},…,x_q$ ?

(x_i)_{i∈[[p,q]]}

(x_p)_{i∈[[0,q]]}

(x_i)_{p≤i<q}

(x_i)_{i∈[p,q]}

Explication

La notation $(x_i)_{i∈[[p,q]]}$ indique que l’indice parcourt les entiers de p à q inclus. Elle décrit donc q-p+1 éléments, de x_p à x_q.

Question 3

3. Quelle expression représente la somme de la famille $(x_i)_{i∈[[p,q]]}$ ?

∏_{i=p}^{q} x_i

∑_{i=p}^{q} x_i

∑_{i=p}^{q-1} x_i

∑_{i∈[p,q]} i x_i

Explication

La notation $∑_{i=p}^{q}x_i$ additionne tous les termes dont l’indice est un entier compris entre p et q. Le symbole produit et les bornes modifiées décrivent d’autres opérations.

Question 4

4. Que devient la valeur de la somme $∑_{i=p}^{q}x_i$ si l’indice muet i est remplacé par j ?

Elle perd son premier terme

Elle devient une somme de produits

Elle est multipliée par j

Elle reste inchangée

Explication

L’indice de sommation est muet : son nom n’influence pas la valeur obtenue. Ainsi, $∑_{i=p}^{q}x_i$ et $∑_{j=p}^{q}x_j$ représentent la même somme.

Question 5

5. Quelle décomposition applique correctement la relation de Chasles lorsque m≤p<n ?

∑_{i=m}^{n}x_i=∑_{i=m}^{p}x_i+∑_{i=p+1}^{n}x_i

∑_{i=m}^{n}x_i=∑_{i=m}^{p}x_i+∑_{i=p}^{n}x_i

∑_{i=m}^{n}x_i=∑_{i=m}^{n-p}x_i+∑_{i=p+1}^{n}x_i

∑_{i=m}^{n}x_i=∑_{i=m}^{p-1}x_i+∑_{i=p}^{n}x_i

Explication

La coupure après l’indice p donne une première somme de m à p et une seconde de p+1 à n. Cette écriture compte chaque terme une fois sans en omettre.

Question 6

6. Quelle égalité exprime la linéarité d’une somme pour des réels a, x_i et y_i ?

∑_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=a∑_{i=p}^{q}x_i+∑_{i=p}^{q}y_i

∑_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=a∑_{i=p}^{q}x_i∑_{i=p}^{q}y_i

∑_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=∑_{i=p}^{q}x_i+a∑_{i=p}^{q}y_i

∑_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=a∑_{i=p}^{q}(x_i+y_i)

Explication

La somme distribue l’addition terme à terme et permet de sortir le facteur constant a. La multiplication des deux sommes, proposée dans une autre formule, ne traduit pas cette propriété de linéarité.

Question 7

7. Quelle est la valeur de la somme de n-p+1 termes constants égaux à a, pour p≤n ?

a(n+p+1)

a(n-p+1)

a(n-p)

(n-p+1)/a

Explication

Chaque terme vaut a et il y a n-p+1 indices entiers de p à n. La somme est donc le produit de a par ce nombre de termes.

Question 8

8. Une suite arithmétique possède u_0=3, u_n=11 et n=4. Quelle est la somme $∑_{k=0}^{4}u_k$ ?

44

35

14

28

Explication

Une suite arithmétique a pour somme le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier : 5×(3+11)/2=35. La moyenne des termes est donc 7, et non le seul premier terme.

Question 9

9. Quelle formule donne la somme des entiers de p à n inclus ?

(p+n)(n+p+1)/2

(n-p)(p+n)/2

n(n+1)/2-p

(p+n)(n-p+1)/2

Explication

La somme de p à n est le nombre de termes, n-p+1, multiplié par la moyenne des premier et dernier entiers, (p+n)/2. On obtient ainsi (p+n)(n-p+1)/2.

Question 10

10. Quelle expression décrit correctement la somme géométrique $∑_{k=0}^{n}u_k lorsqu'u_0$ est le premier terme et q la raison ?

u_0(1-q^n)/(1-q) si q≠1, et nu_0 si q=1

(n+1)(u_0+u_n)/2 pour toute valeur de q

u_0(1-q^{n+1})/(1-q)

si q≠1, et (n+1)u_0 si q=1

u_0(q^{n+1}-1)/(q-1)

si q=1, et (n+1)u_0 si q≠1

Explication

La formule géométrique comporte n+1 termes et utilise $1-q^{n+1}$ au dénominateur 1-q lorsque q≠1. Pour q=1, tous les termes valent u_0, d’où (n+1)u_0.

Question 11

11. Pour effectuer un changement d’indice dans une somme, quelle démarche faut-il suivre ?

Remplacer l’indice dans le terme général sans modifier les bornes de sommation

Conserver les bornes, modifier le décalage, puis supprimer l’indice initial

Choisir un décalage, recalculer les bornes, puis réécrire le terme général

Calculer le terme général, fixer les bornes, puis choisir arbitrairement l’indice

Explication

Un changement d’indice exige de choisir le décalage, de déterminer les nouvelles bornes à partir des anciennes et de réécrire le terme général. Modifier l’indice sans adapter les bornes peut changer la somme considérée.

Question 12

12. Dans la substitution i=k+1 appliquée à k∈[[0,n]], quelles sont les nouvelles bornes et le nouveau terme général ?

i∈[[1,n]] et k est remplacé par i

i∈[[1,n+1]] et k est remplacé par i−1

i∈[[0,n]] et k est remplacé par i+1

i∈[[-1,n−1]] et k est remplacé par i+1

Explication

Comme i=k+1, la borne 0 devient 1 et la borne n devient n+1, tandis que k=i−1 dans le terme général. Le nouvel indice commence donc à 1, et non à 0.

Question 13

13. Que représente le produit $∏_{i=p}^{q}x_i$ pour une famille $(x_i)_{i∈[[p,q]]}$ ?

Le quotient entre le dernier et le premier élément de la famille

La multiplication des seuls éléments d’indices pairs

L’addition de tous les éléments x_p jusqu’à x_q

La multiplication de tous les éléments x_p jusqu’à x_q

Explication

La notation $∏_{i=p}^{q}x_i$ désigne la multiplication successive de tous les termes dont l’indice va de p à q. Elle ne représente ni une somme ni un quotient.

Question 14

14. Si tous les x_i sont non nuls, quelle expression simplifie le produit télescopique $∏_{i=p}^{q−1}(x_{i+1}/x_i)$ ?

x_p+x_q

x_q−x_p

x_p/x_q

x_q/x_p

Explication

Dans le produit, les facteurs intermédiaires se simplifient deux à deux, laissant le dernier terme au numérateur et le premier au dénominateur. La confusion avec une somme télescopique conduit à rechercher une différence, ce qui ne convient pas ici.

Question 15

15. Quelle valeur la convention usuelle attribue-t-elle à 0! ?

−1

0

Elle n’est pas définie

1

Explication

Par convention, 0!=1, tandis que pour n≥1, n! est le produit des entiers de 1 à n. La valeur 0 ne correspond donc pas à la définition de la factorielle nulle.

Question 16

16. Quelle formule définit le coefficient binomial « k parmi n » pour 0≤k≤n ?

(n−k)!/[n!k!]

n!/[k!(n−k)!]

k!/[n!(n−k)!]

n!/[k!(n+k)!]

Explication

Le coefficient binomial est donné par n! divisé par k!(n−k)!. Les deux factorielles du dénominateur sont nécessaires pour tenir compte de k et de n−k.

Question 17

17. Quelle identité exprime la symétrie des coefficients binomiaux ?

C(n,k)=C(n−k,k)

C(n,k)=C(n+1,k+1)

C(n,k)=C(n,n−k)

C(n,k)=C(n,k+1)+C(n−1,k)

Explication

La symétrie binomiale échange k et n−k dans une même ligne du triangle de Pascal. La relation reliant deux lignes consécutives est, elle, la relation de Pascal.

Question 18

18. Quelle écriture correspond au développement de (a+b)^n par la formule du binôme de Newton ?

∑_{k=0}^{n} C(n,k)a^k b^{n−k}

∑_{k=0}^{n} C(n,k)a^k b^k

∑_{k=0}^{n} C(n,k)a^{n−k} b^n

∑_{k=1}^{n} C(n,k)a^{k−1} b^{n−k}

Explication

Le binôme de Newton associe à chaque k le coefficient C(n,k), la puissance a^k et la puissance $b^{n−k}$ , avec k allant de 0 à n. Les autres expressions ne conservent pas cette complémentarité des exposants.

Question 19

19. Quelle factorisation est valable pour la différence de puissances lorsque n appartient à ℕ* ?

a^n-b^n=(a+b)∑_{k=0}^{n-1}(-1)^k a^k b^{n-1-k}

a^n-b^n=(a+b)∑_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}

a^n-b^n=(a-b)∑_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}

a^n-b^n=(a-b)∑_{k=0}^{n}a^k b^{n-k}

Explication

La différence de puissances se factorise par a-b, avec une somme allant de k=0 à n-1. La factorisation faisant intervenir a+b concerne la somme de puissances et requiert que l’exposant soit impair.

Question 20

20. Pour quelles valeurs de n la somme a^n+b^n peut-elle être factorisée par a+b selon l’égalité de Bernoulli ?

Lorsque n est nul

Lorsque n est impair

Pour toute valeur réelle de n

Lorsque n est pair

Explication

La somme de puissances a^n+b^n est divisible par a+b lorsque n est impair, selon la somme alternée correspondante. La différence a^n-b^n, quant à elle, admet une factorisation par a-b sans condition de parité sur n.

QCM : Sommes, produits et binôme — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Combien d’entiers contient l’ensemble [[p,q]] lorsque p et q sont des entiers avec p≤q ?

2. Quelle écriture désigne une famille composée des éléments $x_p,x_{p+1},…,x_q$ ?

3. Quelle expression représente la somme de la famille $(x_i)_{i∈[[p,q]]}$ ?

4. Que devient la valeur de la somme $∑_{i=p}^{q}x_i$ si l’indice muet i est remplacé par j ?

5. Quelle décomposition applique correctement la relation de Chasles lorsque m≤p<n ?

6. Quelle égalité exprime la linéarité d’une somme pour des réels a, x_i et y_i ?

7. Quelle est la valeur de la somme de n-p+1 termes constants égaux à a, pour p≤n ?

8. Une suite arithmétique possède u_0=3, u_n=11 et n=4. Quelle est la somme $∑_{k=0}^{4}u_k$ ?

9. Quelle formule donne la somme des entiers de p à n inclus ?

10. Quelle expression décrit correctement la somme géométrique $∑_{k=0}^{n}u_k lorsqu'u_0$ est le premier terme et q la raison ?

11. Pour effectuer un changement d’indice dans une somme, quelle démarche faut-il suivre ?

12. Dans la substitution i=k+1 appliquée à k∈[[0,n]], quelles sont les nouvelles bornes et le nouveau terme général ?

13. Que représente le produit $∏_{i=p}^{q}x_i$ pour une famille $(x_i)_{i∈[[p,q]]}$ ?

14. Si tous les x_i sont non nuls, quelle expression simplifie le produit télescopique $∏_{i=p}^{q−1}(x_{i+1}/x_i)$ ?

15. Quelle valeur la convention usuelle attribue-t-elle à 0! ?

16. Quelle formule définit le coefficient binomial « k parmi n » pour 0≤k≤n ?

17. Quelle identité exprime la symétrie des coefficients binomiaux ?

18. Quelle écriture correspond au développement de (a+b)^n par la formule du binôme de Newton ?

19. Quelle factorisation est valable pour la différence de puissances lorsque n appartient à ℕ* ?

20. Pour quelles valeurs de n la somme a^n+b^n peut-elle être factorisée par a+b selon l’égalité de Bernoulli ?

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QCM : Sommes, produits et binôme — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Combien d’entiers contient l’ensemble [[p,q]] lorsque p et q sont des entiers avec p≤q ?

2. Quelle écriture désigne une famille composée des éléments xp,xp+1,…,xqx_p,x_{p+1},…,x_qxp​,xp+1​,…,xq​ ?

3. Quelle expression représente la somme de la famille (xi)i∈[[p,q]](x_i)_{i∈[[p,q]]}(xi​)i∈[[p,q]]​ ?

4. Que devient la valeur de la somme ∑i=pqxi∑_{i=p}^{q}x_i∑i=pq​xi​ si l’indice muet i est remplacé par j ?

5. Quelle décomposition applique correctement la relation de Chasles lorsque m≤p<n ?

6. Quelle égalité exprime la linéarité d’une somme pour des réels a, x_i et y_i ?

7. Quelle est la valeur de la somme de n-p+1 termes constants égaux à a, pour p≤n ?

8. Une suite arithmétique possède u_0=3, u_n=11 et n=4. Quelle est la somme ∑k=04uk∑_{k=0}^{4}u_k∑k=04​uk​ ?

9. Quelle formule donne la somme des entiers de p à n inclus ?

10. Quelle expression décrit correctement la somme géométrique ∑k=0nuklorsqu′u0∑_{k=0}^{n}u_k lorsqu'u_0∑k=0n​uk​lorsqu′u0​ est le premier terme et q la raison ?

11. Pour effectuer un changement d’indice dans une somme, quelle démarche faut-il suivre ?

12. Dans la substitution i=k+1 appliquée à k∈[[0,n]], quelles sont les nouvelles bornes et le nouveau terme général ?

13. Que représente le produit ∏i=pqxi∏_{i=p}^{q}x_i∏i=pq​xi​ pour une famille (xi)i∈[[p,q]](x_i)_{i∈[[p,q]]}(xi​)i∈[[p,q]]​ ?

14. Si tous les x_i sont non nuls, quelle expression simplifie le produit télescopique ∏i=pq−1(xi+1/xi)∏_{i=p}^{q−1}(x_{i+1}/x_i)∏i=pq−1​(xi+1​/xi​) ?

15. Quelle valeur la convention usuelle attribue-t-elle à 0! ?

16. Quelle formule définit le coefficient binomial « k parmi n » pour 0≤k≤n ?

17. Quelle identité exprime la symétrie des coefficients binomiaux ?

18. Quelle écriture correspond au développement de (a+b)^n par la formule du binôme de Newton ?

19. Quelle factorisation est valable pour la différence de puissances lorsque n appartient à ℕ* ?

20. Pour quelles valeurs de n la somme a^n+b^n peut-elle être factorisée par a+b selon l’égalité de Bernoulli ?

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2. Quelle écriture désigne une famille composée des éléments $x_p,x_{p+1},…,x_q$ ?

3. Quelle expression représente la somme de la famille $(x_i)_{i∈[[p,q]]}$ ?

4. Que devient la valeur de la somme $∑_{i=p}^{q}x_i$ si l’indice muet i est remplacé par j ?

8. Une suite arithmétique possède u_0=3, u_n=11 et n=4. Quelle est la somme $∑_{k=0}^{4}u_k$ ?

10. Quelle expression décrit correctement la somme géométrique $∑_{k=0}^{n}u_k lorsqu'u_0$ est le premier terme et q la raison ?

13. Que représente le produit $∏_{i=p}^{q}x_i$ pour une famille $(x_i)_{i∈[[p,q]]}$ ?

14. Si tous les x_i sont non nuls, quelle expression simplifie le produit télescopique $∏_{i=p}^{q−1}(x_{i+1}/x_i)$ ?