Sommes, produits et binôme

📋 Plan du Cours

1. Familles finies et indices
2. Définition et propriétés des sommes
3. Sommes usuelles et télescopiques
4. Changements d’indice
5. Produits et factorielles
6. Coefficients et binôme de Newton
7. Égalités de Bernoulli

📖 1. Familles finies et indices

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble d’indices : L’ensemble des entiers de p à q inclus se note [[p,q]] et contient $q-p+1$ entiers.
• Famille indicée : Une famille de $q-p+1$ réels se note $(x_i)_{i\in[[p,q]]}$ et contient les éléments $x_p,x_{p+1},\ldots,x_q$.

📝 Points essentiels

• La famille $(x_i)_{i\in[[0,n]]}$ définie par $x_i=2i-1$ contient $n+1$ éléments, de $-1$ à $2n-1$.

📖 2. Définition et propriétés des sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme finie : La somme de la famille $(x_i)_{i\in[[p,q]]}$ se note $\sum_{i=p}^{q}x_i$, ou $\sum_{i\in[[p,q]]}x_i$, et additionne tous ses éléments.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La linéarité des sommes donne $\sum_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=a\sum_{i=p}^{q}x_i+\sum_{i=p}^{q}y_i$.

📌 La relation de Chasles partage une somme selon $\sum_{i=m}^{n}x_i=\sum_{i=m}^{p}x_i+\sum_{i=p+1}^{n}x_i$ pour $m\le p<n$.