Fiche de révision : Sommes, produits et binôme

📋 Plan du Cours

1. Familles finies et indices
2. Définition et propriétés des sommes
3. Sommes usuelles et télescopiques
4. Changements d’indice
5. Produits et factorielles
6. Coefficients et binôme de Newton
7. Égalités de Bernoulli

📖 1. Familles finies et indices

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble d’indices : L’ensemble des entiers de p à q inclus se note [[p,q]] et contient $q-p+1$ entiers.
• Famille indicée : Une famille de $q-p+1$ réels se note $(x_i)_{i\in[[p,q]]}$ et contient les éléments $x_p,x_{p+1},\ldots,x_q$.

📝 Points essentiels

• La famille $(x_i)_{i\in[[0,n]]}$ définie par $x_i=2i-1$ contient $n+1$ éléments, de $-1$ à $2n-1$.

📖 2. Définition et propriétés des sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme finie : La somme de la famille $(x_i)_{i\in[[p,q]]}$ se note $\sum_{i=p}^{q}x_i$, ou $\sum_{i\in[[p,q]]}x_i$, et additionne tous ses éléments.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La linéarité des sommes donne $\sum_{i=p}^{q}(ax_i+y_i)=a\sum_{i=p}^{q}x_i+\sum_{i=p}^{q}y_i$.

📌 La relation de Chasles partage une somme selon $\sum_{i=m}^{n}x_i=\sum_{i=m}^{p}x_i+\sum_{i=p+1}^{n}x_i$ pour $m\le p<n$.

• Dans une somme, l’indice de sommation est muet : remplacer i par j ou k ne change pas la valeur de la somme.

📖 3. Sommes usuelles et télescopiques

📝 Points essentiels

📐 Formule — La somme de $n-p+1$ termes constants a vaut $\sum_{i=p}^{n}a=a(n-p+1)$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, $\sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}=(n+1)u_0+\frac{n(n+1)}{2}r$.

📐 Formule — Les sommes d’entiers vérifient $\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\sum_{k=p}^{n}k=\frac{(p+n)(n-p+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q, si $q\ne1$ alors $\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, tandis que si q=1 alors $\sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)u_0$.

📐 Formule — Une somme télescopique vérifie $\sum_{i=p}^{q-1}(x_{i+1}-x_i)=x_q-x_p$.

💡 Astuce mémo

Réécrire le terme général fait apparaître les annulations en chaîne.

📖 4. Changements d’indice

★ À maîtriser

• 🔄 Pour changer l’indice d’une somme, il faut: choisir le décalage, calculer les nouvelles bornes à partir des anciennes, réécrire le terme général avec le nouvel indice

Compléments

📌 Le changement d’indice $i=k+1$ transforme $k\in[[0,n]]$ en $i\in[[1,n+1]]$ et remplace k par i-1 dans le terme général.

💡 Astuce mémo

Repérer le décalage → modifier les bornes → réécrire le terme général.

📖 5. Produits et factorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit fini : Le produit de la famille $(x_i)_{i\in[[p,q]]}$ se note $\prod_{i=p}^{q}x_i$ et multiplie tous ses éléments.
• Factorielle : Pour tout entier naturel non nul n, la factorielle est définie par $n!=\prod_{i=1}^{n}i=1\times2\times\cdots\times n$, avec par convention $0!=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un produit télescopique de termes non nuls vérifie $\prod_{i=p}^{q-1}\frac{x_{i+1}}{x_i}=\frac{x_q}{x_p}$.

Compléments

📌 Les produits vérifient $\prod_{i=p}^{q}(\alpha x_i)=\alpha^{q-p+1}\prod_{i=p}^{q}x_i$ et $\prod_{i=p}^{q}(x_iy_i)=\left(\prod_{i=p}^{q}x_i\right)\left(\prod_{i=p}^{q}y_i\right)$.

💡 Astuce mémo

La somme est linéaire, le produit ne l’est pas.

📖 6. Coefficients et binôme de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Pour $0\le k\le n$, le coefficient binomial « k parmi n » est l’entier naturel $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $\binom n0=1$, $\binom n1=n$, $\binom n2=\frac{n(n-1)}2$ et $\binom nk=\binom n{n-k}$.

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^k b^{n-k}$ pour $n\in\mathbb N$ et $a,b\in\mathbb R$.

Compléments

📐 Formule — La relation de Pascal est $\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ pour $n\ne0$ et $0\le k\le n-1$.

💡 Astuce mémo

Le triangle de Pascal place chaque coefficient entre les deux coefficients situés au-dessus.

📖 7. Égalités de Bernoulli

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $n\in\mathbb N^*$, la différence de puissances vérifie $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}$.

📐 Formule — Si n est impair, la somme de puissances vérifie $a^n+b^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k a^k b^{n-1-k}$.

💡 Astuce mémo

Une différence se factorise toujours ; une somme se factorise lorsque n est impair.