Fiche de révision : Sous-ensembles de R

📋 Plan du Cours

1. Ordre et distance dans R
2. Parties bornées et bornes
3. Sous-ensembles classiques de R
4. Partie entière et approximations
5. Densité dans les réels

📖 1. Ordre et distance dans R

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Relation réflexive, anti-symétrique et transitive.
• Intervalle : Partie I telle que, pour tous a,b appartenant à I avec a ≤ b, le segment [a,b] est inclus dans I.
• Valeur absolue : Définie par $|x|=\max\{x,-x\}$, c’est-à-dire x si x ≥ 0 et −x si x < 0.
• Droite achevée : L’ensemble $\overline{R}=R\cup\{-\infty,+\infty\}=[-\infty,+\infty]$.

★ À maîtriser

📌 Si x ≤ y, alors x + a ≤ y + a pour tout réel a.

📌 La valeur absolue représente la distance entre 0 et x et vérifie $|x-a|\le r\Longleftrightarrow a-r\le x\le a+r$ pour r ≥ 0.

Compléments

• En 1817, Bolzano établit qu’une partie non vide majorée de réels admet une borne supérieure.

📌 Pour tous réels x et y, on a $|x-y|\le |x\pm y|\le |x|+|y|$ dans les inégalités triangulaires correspondantes.

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous ; distance avec |x−a|

📖 2. Parties bornées et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant et minorant : Un majorant de X si tout x de X vérifie x ≤ M, tandis que M est un minorant si tout x de X vérifie x ≥ M.
• Partie bornée : À la fois majorée et minorée.
• Maximum et minimum : Un majorant appartenant à X, tandis que le minimum de X est un minorant appartenant à X.
• Borne supérieure : Le plus petit des majorants de X et se note sup(X).
• Borne inférieure : Le plus grand des minorants de X et se note inf(X).

📝 Points essentiels

• Une partie non vide X de R est bornée si et seulement s’il existe C ≥ 0 tel que, pour tout x de X, $|x|\le C$.

• Si X est majorée, alors S=sup(X) si et seulement si S majore X et, pour tout ε>0, il existe x dans X tel que S−ε<x≤S.

• Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure, et toute partie non vide minorée de R admet une borne inférieure.

💡 Astuce mémo

Maximum dans l’ensemble, supremum parmi les majorants

📖 3. Sous-ensembles classiques de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble $N=\{0{,}1{,}2,\ldots\}$.
• Entiers relatifs : L’ensemble $Z=\{\ldots,-2,-1{,}0{,}1{,}2,\ldots\}$.
• Nombres décimaux : L’ensemble $D=\left\{\frac{p}{10^n}:p\in Z,\ n\in N\right\}$.
• Nombres rationnels : L’ensemble $Q=\left\{\frac pq:p\in Z,\ q\in N^*\right\}$.
• Nombres irrationnels : Les nombres réels qui ne sont pas rationnels.

📝 Points essentiels

📌 Toute partie non vide de N admet un minimum, toute partie non vide minorée de Z admet un minimum, et toute partie non vide majorée de N ou de Z admet un maximum.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 4. Partie entière et approximations

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n≤x<n+1 ; cet entier est la partie entière de x, notée ⌊x⌋.

★ À maîtriser

📌 Pour tous réels x et y, on a $\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\le\lfloor x+y\rfloor\le\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1$.

Compléments

📌 Pour tout réel x et tout entier n, on a $\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n$.

💡 Astuce mémo

La partie entière place x entre deux entiers consécutifs

📖 5. Densité dans les réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-ensemble dense : Pour tout x réel et tout ε>0, il existe y dans X tel que |x−y|≤ε.

★ À maîtriser

• Les ensembles D, Q et R\Q sont denses dans R.

Compléments

• La densité d’une partie X dans R signifie que tout intervalle de R contient au moins un élément de X.

💡 Astuce mémo

Rationnels, décimaux et irrationnels sont tous denses

📊 Tableaux de synthèse

Comparer les bornes d’une partie