Sous-ensembles de R

📋 Plan du Cours

1. Ordre et distance dans R
2. Parties bornées et bornes
3. Sous-ensembles classiques de R
4. Partie entière et approximations
5. Densité dans les réels

📖 1. Ordre et distance dans R

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Relation réflexive, anti-symétrique et transitive.
• Intervalle : Partie I telle que, pour tous a,b appartenant à I avec a ≤ b, le segment [a,b] est inclus dans I.
• Valeur absolue : Définie par $|x|=\max\{x,-x\}$, c’est-à-dire x si x ≥ 0 et −x si x < 0.
• Droite achevée : L’ensemble $\overline{R}=R\cup\{-\infty,+\infty\}=[-\infty,+\infty]$.

★ À maîtriser

📌 Si x ≤ y, alors x + a ≤ y + a pour tout réel a.

📌 La valeur absolue représente la distance entre 0 et x et vérifie $|x-a|\le r\Longleftrightarrow a-r\le x\le a+r$ pour r ≥ 0.

Compléments

• En 1817, Bolzano établit qu’une partie non vide majorée de réels admet une borne supérieure.

📌 Pour tous réels x et y, on a $|x-y|\le |x\pm y|\le |x|+|y|$ dans les inégalités triangulaires correspondantes.

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous ; distance avec |x−a|

📖 2. Parties bornées et bornes

🔑 Notions clés & Définitions