Fiche de révision : Statique des corps indéformables

📋 Plan du Cours

1. Objet et pratique de la mécanique
2. Notions fondamentales de force
3. Moments de forces
4. Expression analytique du moment
5. Caractéristiques d’un système de forces
6. Réduction et axe central
7. Forces parallèles et modifications
8. Décomposition et transport des forces
9. Systèmes matériels et centre de masse
10. Symétries et calculs de centres
11. Théorèmes de Guldin et subdivision
12. Principe de subdivision des surfaces
13. Définition des moments d’inertie
14. Théorèmes et rayons d’inertie
15. Inertie des systèmes plans
16. Conditions générales d’équilibre
17. Liaisons et réactions d’appui
18. Résolution des problèmes statiques

📖 1. Objet et pratique de la mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanique rationnelle : Étude des lois générales du mouvement et de l’équilibre des corps matériels soumis à l’action des forces qui leur sont appliquées.

★ À maîtriser

• Les trois parties de la mécanique sont:
  • la statique, qui étudie la composition des forces et les conditions d’équilibre
  • la cinématique, qui étudie les propriétés géométriques du mouvement
  • la dynamique, qui étudie les lois du mouvement sous l’action des forces extérieures

Compléments

• Le cours porte sur la mécanique du point matériel et du corps solide, en abordant la statique, la cinématique et la dynamique du point matériel, ainsi qu’une introduction à la cinématique et à la dynamique du corps solide.

• Les méthodes vectorielles sont introduites dès le début du cours et sont utilisées tout au long de celui-ci pour fournir une notation concise et des interprétations géométriques et physiques simples.

📌 L’étude de la mécanique repose sur la maîtrise des lois et principes fondamentaux ainsi que sur leur application à des situations concrètes au moyen d’exemples, d’exercices et de problèmes pratiques.

💡 Astuce mémo

Statique = équilibre, cinématique = mouvement géométrique, dynamique = mouvement sous forces

📖 2. Notions fondamentales de force

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Grandeur vectorielle possédant une direction, un sens, une intensité ou module et un point d’application.

★ À maîtriser

• Une force est nécessaire pour modifier l’état de repos ou de mouvement d’un corps ou pour déformer ce corps.

📌 Un point matériel est une particule de matière sans dimension mais de masse non nulle, tandis qu’un solide est un ensemble fini ou non de points matériels ; un solide parfait est indéformable, car la distance entre deux quelconques de ses points reste constamment inchangée.

• Dans le système international, l’unité de force est le newton, noté N, et l’unité de masse est le kilogramme, noté kg.

📌 Les forces extérieures sont exercées par d’autres corps matériels sur les particules du corps étudié, tandis que les forces intérieures correspondent aux actions réciproques entre les particules de ce corps.

📌 Les forces de contact nécessitent une zone de contact et peuvent être concentrées en un point ou réparties sur une partie ou la totalité d’une surface, tandis que les forces à distance ne nécessitent aucune zone de contact et comprennent les forces de pesanteur, magnétiques et électrostatiques.

Compléments

📐 Formule - Un newton est la force qui communique à une masse de un kilogramme une accélération de $1\ \mathrm{m/s^2}$.

💡 Astuce mémo

Une force possède un DSAp : direction, sens, intensité, point d’application

📖 3. Moments de forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’une force : Grandeur vectorielle qui mesure l’efficacité de cette force à produire une rotation autour de P.
• Moment par rapport à un axe : Projection sur cet axe du moment de la force par rapport à un point quelconque de l’axe ; il est aligné avec cet axe.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment de la force $\vec f$ par rapport au point P vérifie $\vec m_P(\vec f)=\overrightarrow{PA}\times\vec f$, où A est un point quelconque de la ligne d’action de la force.

• Le moment d’une force est perpendiculaire au plan formé par la force et le point P, son sens suit la règle de la main droite et son module vaut $m_P=f d$, où d est le bras de levier.

📌 Le moment d’une force par rapport à un point est nul lorsque le point appartient à la ligne d’action de la force ou lorsque la force est nulle.

📌 Le moment d’une force par rapport à un axe est nul si la ligne d’action de la force rencontre l’axe ou si elle est parallèle à cet axe.

Compléments

📐 Formule - Le moment d’une force par rapport à un point P' se déduit du moment connu par rapport à P grâce à $\vec m_{P'}(\vec f)=\vec m_P(\vec f)+\overrightarrow{P'P}\times\vec f$.

📐 Formule - Le moment de la force $\vec f$ par rapport à l’axe a vérifie $\vec m_a(\vec f)=\left(\vec m_P(\vec f)\cdot\vec 1_a\right)\vec 1_a$, où $\vec 1_a$ est le vecteur unitaire de l’axe.

💡 Astuce mémo

Bras de levier plus grand → efficacité de rotation plus grande

📖 4. Expression analytique du moment

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment par rapport à un axe : Le moment d’une force par rapport à un axe est la projection du moment de cette force sur la direction de l’axe.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les composantes du moment d’une force appliquée en A s’écrivent $m_{Ox}=y_A f_z-z_A f_y$, $m_{Oy}=z_A f_x-x_A f_z$ et $m_{Oz}=x_A f_y-y_A f_x$.

📐 Formule - Le moment au point O se décompose selon les trois axes : $\vec m_O(\vec f)=m_{Ox}\vec 1_x+m_{Oy}\vec 1_y+m_{Oz}\vec 1_z$.

💡 Astuce mémo

Moment au point O, projection sur un axe

📖 5. Caractéristiques d’un système de forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de forces : Ensemble des forces qui agissent simultanément sur un point matériel ou sur un solide.
• Moment résultant : Le moment résultant par rapport à P est la somme vectorielle des moments de chacune des forces par rapport à P : $\vec M_P=\sum_{i=1}^{n}\vec m_P(\vec f_i)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La résultante d’un système de forces est la somme vectorielle des forces : $\vec F=\sum_{i=1}^{n}\vec f_i$, avec $F_x=\sum f_{ix}$, $F_y=\sum f_{iy}$ et $F_z=\sum f_{iz}$.

📌 La résultante $\vec F$ est un invariant vectoriel, tandis que le moment résultant $\vec M_P$ n’est pas un invariant vectoriel car il dépend du point P.

Compléments

📐 Formule - Le produit scalaire $\vec M_P\cdot\vec F$ est un invariant scalaire lors d’un changement de point de calcul.

💡 Astuce mémo

F-M : résultante et moment résultant

📖 6. Réduction et axe central

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction d’un système : Réduire un système de forces en O consiste à le remplacer par sa résultante $\vec F$ et son moment résultant $\vec M_O$.
• Axe central : L’axe central d’un système de forces est le lieu géométrique des points par rapport auxquels le moment résultant est minimum et colinéaire à la résultante.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le changement de centre du moment résultant s’écrit $\vec M_P=\vec M_O-\overrightarrow{OP}\times\vec F$.

• Si $\vec F=\vec 0$ et $\vec M_O=\vec 0$, le système est en équilibre et ne produit ni translation ni rotation.

• Si $\vec F=\vec 0$ et $\vec M_O\neq\vec 0$, le système est équivalent à un couple et son effet est uniquement une rotation.

• Pour des forces concourantes en A, le théorème de Varignon affirme que le moment résultant est égal au moment de la résultante placée sur une ligne d’action passant par A.

💡 Astuce mémo

Réduction en un point → résultante et moment associés

📖 7. Forces parallèles et modifications

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple de forces : Un couple de forces est formé de deux forces parallèles, opposées et de même module, dont la résultante est nulle mais dont le moment est non nul et indépendant du point de calcul.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des forces parallèles à Oy, l’abscisse de l’axe central vérifie $x_{AC}=\frac{\sum x_i f_{iy}}{\sum f_{iy}}$.

📐 Formule - Pour des forces parallèles à Oz dans l’espace, les coordonnées de l’axe central sont $x_{AC}=\frac{\sum x_i f_{iz}}{F_z}$ et $y_{AC}=\frac{\sum y_i f_{iz}}{F_z}$.

📐 Formule - Le moment d’un couple de forces vaut $M=f d$, où d est la distance entre les deux lignes d’action.

Compléments

• Pour transporter une force de A vers un point B qui n’appartient pas à sa ligne d’action, il faut appliquer la même force en B et ajouter un couple de transport égal au moment de la force par rapport à B.

📌 Une force peut être décomposée en plusieurs forces concourantes dont la somme vectorielle est la force initiale, ou en forces parallèles vérifiant à la fois la même résultante et le même moment.

📌 Un moment appliqué en O peut être remplacé par un couple de forces opposées situé dans un plan perpendiculaire au moment et vérifiant $f d=m_O(f)$.

💡 Astuce mémo

Résultante nulle du couple, moment non nul

📖 8. Décomposition et transport des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple de transport : Le couple ajouté lorsqu’une force est transportée d’un point A à un point B, avec un moment égal au moment de la force par rapport à B dans sa position initiale.

★ À maîtriser

📌 Une force dont la ligne d’action passe par A peut être remplacée par plusieurs forces dont les lignes d’action passent aussi par A, à condition que leur somme vectorielle soit égale à la force initiale.

📌 Une force peut être remplacée par plusieurs forces parallèles à sa ligne d’action si leur somme vectorielle vaut la force initiale et si la somme de leurs moments par rapport à un point quelconque de la ligne d’action initiale est nulle.

• Un moment appliqué en O peut être remplacé par un couple de forces opposées, situées dans un plan perpendiculaire au moment et séparées par une distance d telle que le produit de la force par d égale le moment initial.

Compléments

📐 Formule - Pour décomposer une force en deux forces parallèles, les conditions sont $\vec f=\vec f_1+\vec f_2$ et $f_1d_1+f_2d_2=0$, avec une somme algébrique des moments.

💡 Astuce mémo

Force transportée = même force, mais couple de transport ajouté

📖 9. Systèmes matériels et centre de masse

🔑 Notions clés & Définitions

• Point matériel : Un point doué de masse qui idéalise un objet suffisamment petit pour que sa position soit repérée avec précision par trois coordonnées.
• Système matériel : Un ensemble fini ou non de points matériels.
• Centre de masse : Aussi appelé centre d’inertie ou barycentre, est le point G défini par $m\,\overrightarrow{OG}=\sum_i m_i\overrightarrow{OA_i}$ pour un système discret.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système discret de n points, la masse totale est $m=\sum_{i=1}^{n}m_i$.

📐 Formule - Pour une répartition continue, la masse élémentaire vaut $dm=\rho\,d\Omega$ et la masse totale vaut $m=\int_S dm=\int_S\rho\,d\Omega$.

📐 Formule - Les coordonnées du centre de masse d’un système discret vérifient $x_G=\frac{\sum_i m_i x_{A_i}}{m}$, $y_G=\frac{\sum_i m_i y_{A_i}}{m}$ et $z_G=\frac{\sum_i m_i z_{A_i}}{m}$.

📌 Dans un champ gravifique uniforme, le centre de gravité, point d’application de la résultante des poids, coïncide avec le centre de masse.

Compléments

• Pour un solide homogène, le centre de masse coïncide avec le centre de volume.

💡 Astuce mémo

Le centre de masse comme point moyen du système

📖 10. Symétries et calculs de centres

★ À maîtriser

📌 Le centre de masse d’un système possédant un élément de symétrie matérielle appartient à cet élément de symétrie.

📌 Si un système matériel est contenu dans une droite, son centre de masse appartient à cette droite, et s’il est contenu dans un plan, son centre de masse appartient à ce plan.

Compléments

• Pour une huitième de sphère pleine homogène de rayon r₀, les coordonnées du centre de masse sont $x_G=y_G=z_G=\frac{3r_0}{8}$.

• Pour un cône de révolution homogène de rayon de base r₀ et de hauteur h, le centre de masse appartient à l’axe de symétrie et sa coordonnée axiale vaut $z_G=\frac{h}{4}$ à partir de la base.

💡 Astuce mémo

Symétrie matérielle → centre de masse situé sur l’élément de symétrie

📖 11. Théorèmes de Guldin et subdivision

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le premier théorème de Guldin affirme que l’aire de la surface de révolution engendrée par une ligne de longueur l vaut $A_l=2\pi r_Gl$, où r_G est la distance de son centre de masse à l’axe de rotation.

📐 Formule - Le second théorème de Guldin affirme que le volume de révolution engendré par une surface d’aire A vaut $V=2\pi r_GA$.

• Le principe de subdivision permet de calculer le centre de masse d’un système en le décomposant en sous-ensembles disjoints, puis en pondérant les centres de masse de ces sous-ensembles par leurs masses totales.

💡 Astuce mémo

Guldin 1 : ligne → surface ; Guldin 2 : surface → volume

📖 12. Principe de subdivision des surfaces

★ À maîtriser

• Le principe de subdivision permet de calculer le centre de masse d’un système en le décomposant en sous-ensembles disjoints, puis en combinant les centres de masse de ces sous-ensembles pondérés par leurs masses ou leurs surfaces.

📐 Formule - Pour une surface composée, la coordonnée du centre de masse vérifie $x_G=\frac{\sum_i A_i x_i}{\sum_i A_i}$ et la même relation s’applique à $y_G$.

Compléments

• Une équerre homogène peut être traitée soit comme la somme de deux rectangles, soit comme un carré de côté a auquel on soustrait un carré de côté a-b considéré comme une surface négative.

💡 Astuce mémo

Surface négative retirée versus surfaces positives additionnées

📖 13. Définition des moments d’inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : La somme des produits des masses élémentaires par le carré de leurs distances à cet élément.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système discret, le moment d’inertie vaut $J_r=\sum_i m_i d_i^2$, tandis que pour un système continu il vaut $J_r=\int_S d^2\,dm$.

📐 Formule - Les moments d’inertie par rapport aux axes orthogonaux s’écrivent $J_x=\int_S(y^2+z^2)\,dm$, $J_y=\int_S(z^2+x^2)\,dm$ et $J_z=\int_S(x^2+y^2)\,dm$.

Compléments

• Pour trois masses de 3, 5 et 2 kg placées respectivement en A(-1;0;1), B(2;1;3) et C(-2;2;1), les moments calculés sont $J_x=63\ \mathrm{kg\,m^2}$, $J_y=81\ \mathrm{kg\,m^2}$ et $J_z=44\ \mathrm{kg\,m^2}$.

💡 Astuce mémo

Masse éloignée de l’axe → inertie plus grande

📖 14. Théorèmes et rayons d’inertie

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de König-Huyghens donne, pour deux axes parallèles, $J_a=J_{aG}+m d^2$, où $J_{aG}$ est le moment propre autour de l’axe passant par le centre de masse et d la distance entre les axes.

📌 Le moment d’inertie d’un système est minimal lorsque l’élément de référence passe par son centre de masse.

📐 Formule - Le rayon de giration est défini par $i_g=\sqrt{\frac{J_r}{m}}$, ce qui représente la distance à laquelle il faudrait placer toute la masse pour obtenir le même moment d’inertie.

Compléments

📐 Formule - Pour un corps de révolution engendré par des disques minces, le moment d’inertie autour de l’axe de révolution vaut $J_{O O'}=\int_0^H \pi\rho r^4\,dh$.

• Le moment d’inertie d’un cône plein homogène de masse m et de rayon de base r0 autour de son axe de révolution vaut $J_{OO'}=\frac{3}{10}mr_0^2$.

💡 Astuce mémo

Propre → translation parallèle → inertie totale

📖 15. Inertie des systèmes plans

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une surface plane située dans le plan Oxy, les moments d’inertie de surface sont $I_x=\int_D y^2\,dA$ et $I_y=\int_D x^2\,dA$.

📐 Formule - Le produit d’inertie d’une surface par rapport aux axes x et y est $I_{xy}=\int_D xy\,dA$; il est nul si l’un des deux axes est un axe de symétrie de la surface.

📐 Formule - Le moment d’inertie polaire d’une surface plane vaut $I_O=I_x+I_y$.

📐 Formule - Pour une droite faisant un angle α avec l’axe x, le moment de surface vaut $I_a=I_x\cos^2\alpha+I_y\sin^2\alpha-I_{xy}\sin 2\alpha$.

• Pour déterminer les axes centraux principaux d’une figure complexe, on calcule successivement le centre de gravité, les moments $I_x$, $I_y$ et $I_{xy}$, l’angle des axes principaux, puis les moments principaux.

Compléments

• Pour un disque plein homogène de diamètre d, le moment d’inertie polaire au centre vaut $I_O=\frac{\pi d^4}{32}$ et le moment autour de chacun des axes centraux vaut $I_x=I_y=\frac{\pi d^4}{64}$.

📐 Formule - L’angle α des axes principaux vérifie $\tan(2\alpha)=\frac{2I_{xy}}{I_y-I_x}$ lorsque $I_x\ne I_y$.

💡 Astuce mémo

Surface → produit → polaire → axes principaux

📖 16. Conditions générales d’équilibre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre statique : Lorsqu’il ne subit ni translation ni rotation

★ À maîtriser

📐 Formule - Les conditions vectorielles d’équilibre d’un solide indéformable sont $\vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\vec{f_i}=\vec{0}$ et $\vec{M}_P=\sum_{i=1}^{n}\vec{m}_P(\vec{f_i})=\vec{0}$ par rapport à un point quelconque P.

• Dans un espace orthonormé à trois dimensions, l’équilibre d’un solide fournit six équations algébriques et permet donc de déterminer au plus six inconnues scalaires.

📌 Dans le plan, un solide dispose de trois équations d’équilibre, tandis qu’un point dispose de deux équations d’équilibre.

📌 Pour qu’un solide soit en équilibre sous l’action de deux forces, ces forces doivent être opposées et situées sur la même ligne d’action.

Compléments

• La projection sur un plan d’un système de forces en équilibre forme un système de forces coplanaires en équilibre, mais la réciproque n’est pas nécessairement vraie.

💡 Astuce mémo

Translation : résultante des forces nulle ; rotation : moment résultant nul.

📖 17. Liaisons et réactions d’appui

🔑 Notions clés & Définitions

• Liaison : Dispositif matériel qui s’oppose au mouvement d’un solide dans au moins une direction

★ À maîtriser

📌 Les forces extérieures comprennent les forces actives et les réactions d’appui, tandis que les forces intérieures s’exercent entre les parties du système et ne doivent pas être comptabilisées pour l’équilibre de l’ensemble.

• 🔄 L’isolement d’un solide consiste à: le représenter séparément, faire apparaître toutes les actions extérieures, indiquer leur direction, leur intensité et leur sens, indiquer leur point d’application et les distances utiles

• Dans le plan, un encastrement empêche toute translation et toute rotation et introduit trois inconnues : les deux composantes de la réaction et le moment d’encastrement.

Compléments

📌 Un appui mobile possède deux degrés de liberté, rotation et translation parallèle à la surface d’appui, et sa réaction est perpendiculaire à cette surface sans moment réactif.

• Dans le plan, un appui fixe autorise une rotation, empêche toute translation et introduit deux inconnues, la direction et l’intensité de la réaction.

💡 Astuce mémo

Un appui empêche un mouvement → il engendre une réaction correspondante.

📖 18. Résolution des problèmes statiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Adhérence : La situation où deux surfaces tendent à glisser sous l’action des forces mais ne se déplacent pas l’une par rapport à l’autre
• Travail élémentaire : Le travail élémentaire d’une force lors d’un déplacement infinitésimal est le produit scalaire $dW_f=\vec f\cdot d\vec l=f\,dl\cos\alpha$ et s’exprime en joules.
• Déplacement virtuel : Un déplacement infiniment petit imaginé, non réalisé, d’un système en équilibre, sans modification des forces appliquées.
• Système triangulé : Un assemblage de barres droites constituant des triangles juxtaposés, le triangle étant la seule figure simple géométriquement indéformable.

📝 Points essentiels

📌 Un problème est isostatique lorsque le nombre d’inconnues de liaison correspond au nombre d’équations d’équilibre, hyperstatique lorsque les inconnues sont plus nombreuses et hypostatique lorsque les liaisons sont insuffisantes pour empêcher le mouvement.

• La résolution d’un problème de statique consiste à:
  • isoler le solide étudié
  • choisir un système d’axes
  • projeter les forces et les moments
  • résoudre les équations d’équilibre

📐 Formule - Une charge répartie d’intensité uniforme $p$ sur une longueur $a$ peut être remplacée par une force résultante $f_p=pa$ appliquée au milieu de la zone chargée.

📐 Formule - La force de frottement statique vérifie $0\leq t\leq t_{\max}$ et, à la limite de l’adhérence, $t_{\max}=\mu_s n$, où $\mu_s$ est le coefficient de frottement statique et $n$ la composante normale de la réaction.

📐 Formule - L’angle d’adhérence ou angle de frottement statique vérifie $\tan\varphi_0=\mu_s$.

📌 Le basculement se produit lorsque la ligne d’action de la réaction sort de la zone de contact, tandis que le glissement se produit lorsque la force de frottement atteint sa valeur limite.

📌 Pour qu’un solide soit en équilibre sous l’action de trois forces, ces forces doivent être coplanaires, concourantes et chacune opposée à la somme géométrique des deux autres.

• Pour un solide en équilibre soumis à trois forces non parallèles, les trois forces sont coplanaires et leurs lignes d’action sont concourantes.

• Les conditions d’utilisation du théorème sont: connaître une force en grandeur, direction et sens, connaître une force en direction, la troisième force passe par l’intersection des deux autres directions

📐 Formule - Le triangle des forces vérifie la relation vectorielle $\vec f_1+\vec f_2+\vec f_3=\vec 0$ et la loi des sinus $\frac{f_1}{\sin\alpha}=\frac{f_2}{\sin\beta}=\frac{f_3}{\sin\gamma}$.

📐 Formule - Pour une rotation élémentaire autour de l’axe Oz, le travail élémentaire vaut $dW=m_{Oz}(\vec f)\,d\theta$.

📌 Les conditions d’équilibre d’un solide peuvent se traduire par l’annulation du travail virtuel total de toutes les forces extérieures, soit $\delta W=\sum_i\delta W_{f_i}=0$.

💡 Astuce mémo

Isoler → projeter → équilibrer → vérifier.

📊 Tableaux de synthèse

Vecteurs caractéristiques d’un système

Principes de calcul du centre de masse