Fiche de révision : Statistique descriptive et distributions

📋 Plan du Cours

1. Rôle et démarches statistiques
2. Population et variables statistiques
3. Séries et distributions statistiques
4. Effectifs et fréquences cumulés
5. Regroupement des données en classes
6. Choix des représentations graphiques
7. Représentations graphiques des données
8. Mesures de position et quantiles
9. Mesures de dispersion
10. Forme et asymétrie des distributions

📖 1. Rôle et démarches statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Discipline scientifique qui développe et utilise des méthodes pour recueillir, organiser, résumer, analyser et interpréter des données afin d’en tirer des conclusions.
• Statistiques : Données observées ou résultats numériques obtenus à partir de ces données, comme un taux de chômage, une moyenne ou un indice.

★ À maîtriser

• La statistique transforme des données en information, puis l’information en aide à la décision malgré la variabilité et l’incertitude.

• 🔄 Une étude statistique suit six étapes :

  1. Définir la problématique et les objectifs.
  2. Déterminer la population et les caractères.
  3. Collecter les données.
  4. Dépouiller et organiser les données.
  5. Décrire les données par des tableaux, graphiques et indicateurs.
  6. Interpréter les résultats et décider.

📌 La statistique descriptive décrit les données effectivement observées, tandis que la statistique inférentielle utilise un échantillon pour tirer des conclusions sur une population avec une incertitude quantifiée.

Compléments

• La statistique descriptive comprend le recueil, l’organisation, la représentation et le résumé des données, ainsi que la première phase de leur interprétation fidèle.

• Les étapes de problématique, de définition de la population et des caractères, et de collecte précèdent l’analyse ; une erreur à ce stade ne peut pas être corrigée par des calculs ultérieurs.

📖 2. Population et variables statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble Ω des éléments sur lesquels porte l’étude ; si elle est finie, sa taille est $N=\operatorname{card}(\Omega)$.
• Individu : Élément ω de la population sur lequel on observe ou mesure le caractère étudié.
• Caractère : Propriété observée ou mesurée sur chaque individu de la population.
• Variable statistique : Application $X:\Omega\to M$ qui associe à chaque individu ω la valeur du caractère appartenant à l’ensemble M des modalités.

• Échantillon : Partie de la population constituée de n individus effectivement observés, avec $n\leq N$ lorsque la population est finie.
• Modalités : Différentes valeurs qualitatives ou quantitatives qu’un caractère peut prendre.

★ À maîtriser

• Un caractère qualitatif décrit des catégories, tandis qu’un caractère quantitatif prend des valeurs numériques issues d’une mesure ou d’un dénombrement.

• Un caractère qualitatif nominal a des modalités sans ordre naturel, tandis qu’un caractère qualitatif ordinal a des modalités naturellement ordonnées dont les écarts n’ont pas de valeur numérique.

• Un caractère quantitatif discret prend un ensemble fini ou dénombrable de valeurs isolées, tandis qu’un caractère quantitatif continu peut prendre en principe toute valeur d’un intervalle réel.

Compléments

📌 La population doit être définie sans ambiguïté en précisant le domaine de l’étude, le lieu et la période, et elle doit inclure tous les individus concernés par la question.

📌 Lorsque l’échantillon comprend toute la population, $n=N$ et l’étude est un recensement.

• Un code postal peut être écrit avec des chiffres sans être quantitatif, car la somme ou la moyenne de ces codes n’a pas de signification.

• Les observations x₁,…,xₙ correspondent aux valeurs relevées, une par individu et avec répétitions, tandis que les modalités distinctes a₁,…,aₚ sont les valeurs différentes effectivement observées et vérifient p≤n.

📖 3. Séries et distributions statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série univariée : Série qui étudie une seule caractéristique X mesurée sur un ensemble d’individus.
• Distribution : Ensemble des valeurs observées associées à leurs effectifs ou à leurs fréquences.
• Effectif : Nombre d’observations égales à la modalité aᵢ.

★ À maîtriser

📌 Une série brute conserve les observations dans l’ordre de leur collecte, tandis qu’une série ordonnée les classe par ordre croissant.

📐 Formule - La fréquence relative d’une modalité est $f_i=\frac{n_i}{n}$ et son pourcentage est $100f_i\,\%$.

Compléments

• Les caractères qualitatifs et les caractères quantitatifs discrets sont regroupés par modalités distinctes, tandis que les caractères continus ou discrets à très nombreuses valeurs peuvent être regroupés en classes.

📐 Formule - Pour un système exhaustif de modalités incompatibles, la somme des effectifs vaut $\sum_{i=1}^{p}n_i=n$.

📐 Formule - Les fréquences vérifient $0\leq f_i\leq1$ et $\sum_{i=1}^{p}f_i=1$ lorsque les modalités sont exhaustives et incompatibles.

📌 Pour comparer des distributions de tailles différentes, on compare leurs fréquences plutôt que leurs seuls effectifs.

📖 4. Effectifs et fréquences cumulés

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif cumulé croissant : Pour des modalités ordonnées, l’effectif cumulé croissant Nᵢ compte les observations inférieures ou égales à aᵢ et vaut $N_i=\sum_{k=1}^{i}n_k$.
• Effectif cumulé décroissant : Pour des modalités ordonnées, l’effectif cumulé décroissant compte les observations supérieures ou égales à aᵢ et vaut $N_i^{\downarrow}=\sum_{k=i}^{p}n_k$.

★ À maîtriser

📌 Les cumuls nécessitent un ordre et s’utilisent pour les caractères quantitatifs ou qualitatifs ordinaux, mais pas pour les caractères qualitatifs nominaux.

Compléments

📐 Formule - La fréquence cumulée croissante est $F_i=\frac{N_i}{n}=\sum_{k=1}^{i}f_k$.

📐 Formule - Les cumuls décroissants vérifient $N_i^{\downarrow}=n-N_{i-1}$ et $F_i^{\downarrow}=1-F_{i-1}$.

• Dans une question de cumul, « au plus » correspond à une inégalité inférieure ou égale, « au moins » à une inégalité supérieure ou égale, « moins de » à une inégalité stricte inférieure et « plus de » à une inégalité stricte supérieure.

💡 Astuce mémo

« Au plus » suit le cumul croissant ; « au moins » suit le cumul décroissant.

📖 5. Regroupement des données en classes

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe : Pour des bornes e₀<e₁<⋯<eₚ, la classe Cᵢ est l’intervalle $[e_{i-1};e_i[$ et les classes partitionnent l’intervalle contenant les observations.
• Amplitude de classe : L’amplitude de la classe $[e_{i-1};e_i[$ est $\ell_i=e_i-e_{i-1}>0$.
• Centre de classe : Valeur représentative de la classe $[e_{i-1};e_i[$, donnée par $c_i=\frac{e_{i-1}+e_i}{2}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des classes d’amplitudes différentes, la densité d’effectif est $d_i=\frac{n_i}{\ell_i}$ et les densités, non les effectifs seuls, servent à comparer les classes.

Compléments

• Dans la convention de classes $[e_{i-1};e_i[$, la borne inférieure est incluse et la borne supérieure exclue.

📐 Formule - La règle de Sturges conseille $J\approx1+3{,}3\log_{10}(n)$ classes, tandis que la règle de Yule conseille $J\approx2{,}5n^{1/4}$ classes.

📐 Formule - L’amplitude souhaitée est approximativement l’étendue divisée par le nombre de classes, soit $\ell\approx\frac{x_{\max}-x_{\min}}{J}$, puis elle est arrondie par excès à une valeur commode.

• Le regroupement en classes simplifie une série en remplaçant des valeurs voisines par une catégorie plus large, mais fait perdre l’information sur les valeurs individuelles.

📖 6. Choix des représentations graphiques

★ À maîtriser

📌 Pour un caractère qualitatif nominal, les représentations indiquées sont le diagramme en barres et le diagramme circulaire, tandis que les cumuls n’ont pas de sens.

📌 Pour un caractère quantitatif discret, la représentation indiquée pour les effectifs ou les fréquences est le diagramme en bâtons, et celle des cumuls est l’escalier de fréquence cumulée F(x).

Compléments

📌 Pour un caractère qualitatif ordinal, on peut représenter les modalités par des barres en respectant leur ordre naturel et utiliser des cumuls.

📖 7. Représentations graphiques des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en barres : Associe à chaque modalité un rectangle de base constante, séparé des autres, dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence.
• Diagramme en bâtons : Associe à chaque valeur d’un caractère quantitatif discret un segment vertical placé à cette abscisse et dont la hauteur représente l’effectif ou la fréquence.
• Fonction de répartition empirique : Définie par $F(x)=\frac{\operatorname{card}\{k:x_k\le x\}}{n}$ et représente la proportion d’observations inférieures ou égales à x.
• Histogramme : Formé de rectangles contigus dont l’aire représente l’effectif ou la fréquence de chaque classe.
• Polygone des fréquences cumulées : La ligne brisée reliant les points (e₀,0), (e₁,F₁), …, (eₚ,1), où chaque fréquence cumulée est placée à la borne supérieure correspondante.

★ À maîtriser

📌 Le choix d’un graphique dépend du type de caractère, de la question posée (part, comparaison, forme ou cumul) et du nombre de modalités.

📐 Formule - Dans un diagramme circulaire, l’angle du secteur associé à la modalité i vérifie $\alpha_i=360^\circ f_i=360^\circ\frac{n_i}{n}$ et la somme des angles vaut $\sum_i\alpha_i=360^\circ$.

📐 Formule - Pour un histogramme d’effectifs, la hauteur de la classe i est $h_i=\frac{n_i}{\ell_i}$ ; pour un histogramme de fréquences, elle est $h_i=\frac{f_i}{\ell_i}$.

Compléments

📌 Le diagramme circulaire met en évidence la part de chaque modalité et convient surtout à un petit nombre de modalités, tandis que le diagramme en barres facilite la comparaison des effectifs et peut représenter de nombreuses modalités.

• Pour une distribution discrète de modalités ordonnées, la fonction de répartition est croissante, continue à droite, constante par morceaux, prend ses valeurs dans [0,1] et saute en chaque modalité d’une quantité égale à sa fréquence.

• Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, les hauteurs de l’histogramme sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences.

📖 8. Mesures de position et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : La modalité d’effectif maximal ; plusieurs modalités peuvent partager cet effectif maximal.
• Classe modale : La classe de densité maximale ; si les amplitudes sont égales, c’est aussi la classe d’effectif maximal.
• Médiane : Un réel tel qu’au moins la moitié des observations lui sont inférieures ou égales et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

★ À maîtriser

📌 Pour une série ordonnée de taille impaire, la médiane est la valeur de rang (n+1)/2 ; pour une taille paire, la convention du cours est la moyenne des valeurs de rang n/2 et n/2+1.

📐 Formule - Pour une série brute, la moyenne arithmétique est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k$ ; elle n’est définie que pour un caractère quantitatif dont la somme des valeurs a un sens.

📐 Formule - Pour 0<r<1, le quantile d’ordre r d’une série ordonnée vaut $q_r=x_{(\lceil nr\rceil)}$ si nr n’est pas entier, et $q_r=\frac{x_{(nr)}+x_{(nr+1)}}{2}$ si nr est entier.

Compléments

📐 Formule - Pour une classe modale [eₘ₋₁;eₘ[, l’estimation du mode est $Mo\approx e_{m-1}+\ell_m\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}$, avec Δ₁=dₘ−dₘ₋₁ et Δ₂=dₘ−dₘ₊₁.

📐 Formule - Pour une distribution discrète, si Fᵢ₋₁<1/2<Fᵢ, alors Me=aᵢ ; si Fᵢ=1/2, alors $Me=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$.

📐 Formule - Pour une classe médiane [eᵢ₋₁;eᵢ[ d’effectif nᵢ et d’effectif cumulé antérieur Nᵢ₋₁, l’interpolation uniforme donne $Me\approx e_{i-1}+\ell_i\frac{n/2-N_{i-1}}{n_i}$.

📐 Formule - Pour une distribution discrète, la moyenne vaut $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_i a_i=\sum_{i=1}^{p}f_i a_i$.

📐 Formule - Pour des données regroupées en classes de centres cᵢ, la moyenne approchée est $\bar{x}_c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_i c_i=\sum_{i=1}^{p}f_i c_i$ et vérifie $|\bar{x}-\bar{x}_c|\le\frac{1}{2}\max_i\ell_i$.

📌 Une valeur extrême peut déplacer fortement la moyenne, alors que la médiane est généralement moins sensible aux valeurs extrêmes.

• Les quartiles sont Q₁=q₁/₄, Q₂=q₁/₂=Me et Q₃=q₃/₄ ; les déciles sont Dₖ=qₖ/₁₀ pour k=1,…,9 et les centiles sont Cₖ=qₖ/₁₀₀ pour k=1,…,99.

📐 Formule - Pour une classe contenant le quantile d’ordre r, l’interpolation uniforme donne $q_r\approx e_{i-1}+\ell_i\frac{nr-N_{i-1}}{n_i}$.

📖 9. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type : La racine carrée de la variance, $\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$, et s’exprime dans la même unité que le caractère.
• Boîte à moustaches : Selon la convention simple, résume le minimum, Q₁, la médiane, Q₃ et le maximum ; la boîte va de Q₁ à Q₃ et les moustaches rejoignent les valeurs extrêmes.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’étendue d’une série est $E=x_{(n)}-x_{(1)}=\max-\min$, dans la même unité que le caractère.

📌 L’intervalle interquartile [Q₁;Q₃] contient au moins 50 % des observations centrales, et l’écart interquartile vaut IQ=Q₃−Q₁.

📐 Formule - La variance descriptive d’une série est $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k-\bar{x})^2$ ; elle est positive ou nulle et s’exprime dans le carré de l’unité du caractère.

Compléments

📌 Une valeur extrême peut modifier l’étendue, tandis que l’écart interquartile ne dépend pas des 25 % de valeurs les plus petites ni des 25 % les plus grandes.

📐 Formule - La formule de Koenig–Huygens s’écrit $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k^2-\bar{x}^{\,2}$.

📐 Formule - Si yₖ=axₖ+b, alors $\bar{y}=a\bar{x}+b$ et $\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$.

📐 Formule - Pour un caractère strictement positif, le coefficient de variation est $CV=\frac{\sigma_X}{\bar{x}}$ ; il est sans unité et mesure la dispersion relative à la moyenne.

📌 Le coefficient de variation convient aux comparaisons de dispersion relative entre caractères de même nature, mais il est inadapté si la moyenne est nulle ou proche de zéro ou si le caractère n’a pas de zéro absolu, comme une température en degrés Celsius.

💡 Astuce mémo

L’étendue suit les extrêmes ; l’écart interquartile résiste aux valeurs extrêmes.

📖 10. Forme et asymétrie des distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution symétrique : Si, pour tout t, les valeurs c+t et c−t ont le même effectif.
• Asymétrie : Une distribution unimodale est asymétrique à droite si sa queue s’allonge vers les grandes valeurs et asymétrique à gauche si sa queue s’allonge vers les petites valeurs.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour σ>0, le coefficient d’asymétrie de Fisher est $\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{x_k-\bar{x}}{\sigma}\right)^3$ ; γ₁>0 indique une asymétrie à droite et γ₁<0 une asymétrie à gauche.

Compléments

• Pour une distribution symétrique de centre c, la moyenne et la médiane valent c, et tous les moments centrés d’ordre impair sont nuls ; si la distribution est unimodale, son mode vaut aussi c.

• Pour une distribution unimodale asymétrique à droite, l’ordre Mo<Me< moyenne est fréquent ; pour une distribution étalée à gauche, l’ordre moyenne<Me<Mo est fréquent, mais ces relations ne sont pas des théorèmes.

📐 Formule - Le coefficient d’aplatissement de Fisher est $\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3$ ; γ₂>0 indique une distribution leptokurtique et γ₂<0 une distribution platykurtique.

• Le coefficient d’aplatissement mesure l’aplatissement et non la symétrie, et il est très sensible aux valeurs extrêmes.

💡 Astuce mémo

La queue tire la moyenne vers elle : à droite, la moyenne tend à dépasser la médiane.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations selon le caractère