QCM : Structure et fonctions thermodynamiques — 66 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle conclusion principale les expériences de James Joule ont-elles apportée à l’étude de la chaleur et de l’énergie ?

Elles ont déterminé l’efficacité maximale de toutes les machines thermiques
Elles ont prouvé que la chaleur constitue une grandeur indépendante de l’énergie
Elles ont démontré que l’entropie reste constante pendant toute transformation
Elles ont établi l’équivalence mécanique de la chaleur et la conservation de l’énergie

Elles ont établi l’équivalence mécanique de la chaleur et la conservation de l’énergie

Explication

Les expériences de Joule ont montré que la chaleur et le travail mécanique sont des formes convertibles d’énergie, avec 1 calorie=4,185 J1\,\mathrm{calorie}=4{,}185\,\mathrm{J}. L’entropie et l’efficacité maximale relèvent plutôt des développements associés à Carnot et à Clausius.

2. Quel résultat Sadi Carnot établit-il en 1824 dans ses travaux sur les machines thermiques ?

Il formule l’équivalence entre la chaleur et l’énergie mécanique
Il introduit l’entropie pour décrire les transformations irréversibles
Il établit des résultats sur l’efficacité maximale des machines thermiques
Il construit la première machine thermique connue de l’histoire

Il établit des résultats sur l’efficacité maximale des machines thermiques

Explication

En 1824, Carnot étudie l’efficacité maximale des machines thermiques et pose les bases du second principe. L’introduction de l’entropie est associée à Clausius, tandis que l’équivalence énergétique est liée à Mayer et Joule.

3. Quelle proposition décrit la contribution de Julius Robert Mayer en 1842 ?

Il établit l’efficacité maximale des machines thermiques réversibles
Il formule le premier principe en unifiant chaleur et énergie mécanique
Il invente une machine convertissant la chaleur en mouvement mécanique
Il introduit l’entropie pour caractériser l’évolution des systèmes

Il formule le premier principe en unifiant chaleur et énergie mécanique

Explication

Mayer affirme en 1842 que la chaleur et l’énergie mécanique sont deux formes d’une même grandeur qui se conserve et se transforme. Les autres propositions renvoient respectivement à Carnot, Clausius et Héron d’Alexandrie.

4. Quelle notion Clausius introduit-il en 1865 pour compléter l’interprétation des travaux de Carnot ?

La calorie, définie par une équivalence mécanique précise
L’entropie, liée aux évolutions réversibles et irréversibles
La frontière, utilisée pour séparer un système de son extérieur
Le degré de liberté, associé à la configuration d’un système

L’entropie, liée aux évolutions réversibles et irréversibles

Explication

Clausius introduit l’entropie en 1865 afin de caractériser l’évolution réversible ou irréversible d’un système thermodynamique. La calorie concerne la mesure de la chaleur, tandis que les degrés de liberté et les frontières appartiennent à d’autres cadres conceptuels.

5. Comment la thermodynamique classique décrit-elle les phénomènes étudiés ?

À partir de modèles isolant le système de toute interaction extérieure
À partir de trajectoires individuelles calculées pour chaque constituant
À partir de la structure microscopique détaillée de chaque particule
À partir de grandeurs macroscopiques et de lois empiriques

À partir de grandeurs macroscopiques et de lois empiriques

Explication

La thermodynamique classique est une phénoménologie fondée sur des observables macroscopiques et des lois empiriques, sans recourir à la structure microscopique de la matière. La recherche d’une explication détaillée des particules relève plutôt d’une théorie fondamentale.

6. Que signifie le nombre de degrés de liberté d’un système mécanique ?

Le nombre de grandeurs macroscopiques mesurables à l’équilibre
Le nombre d’échanges d’énergie possibles avec le milieu extérieur
Le nombre minimal de coordonnées indépendantes décrivant sa configuration
Le nombre total de particules présentes dans le système considéré

Le nombre minimal de coordonnées indépendantes décrivant sa configuration

Explication

Les degrés de liberté correspondent au nombre minimal de coordonnées indépendantes nécessaires pour décrire complètement la configuration du système. Ils ne comptent ni les particules, ni les observables thermodynamiques, ni les échanges énergétiques.

7. Pourquoi les observables thermodynamiques sont-elles généralement stables à l’échelle macroscopique ?

Parce que leurs fluctuations deviennent négligeables devant les moyennes pour un grand nombre de constituants
Parce qu’elles sont définies sans aucune interaction entre le système et son environnement
Parce qu’elles restent identiques quelle que soit la taille du système étudié
Parce qu’elles décrivent directement la trajectoire de chaque constituant microscopique

Parce que leurs fluctuations deviennent négligeables devant les moyennes pour un grand nombre de constituants

Explication

Les observables thermodynamiques ont une nature statistique, et leurs fluctuations relatives deviennent négligeables lorsque le nombre de constituants est immense. Elles ne décrivent donc pas les trajectoires individuelles et leur stabilité dépend de l’échelle macroscopique.

8. Laquelle de ces situations illustre une grandeur émergente en thermodynamique ?

Calculer l’énergie échangée lors d’un déplacement de frontière
Attribuer une pression mesurable à une molécule isolée
Attribuer une pression définie à un gaz macroscopique
Décrire la configuration d’un objet par des coordonnées indépendantes

Attribuer une pression définie à un gaz macroscopique

Explication

La pression, comme la température, apparaît à l’échelle macroscopique et possède une signification statistique pour un grand ensemble de constituants. Une molécule isolée ne possède pas, à elle seule, une pression thermodynamique définie.

9. Quel rôle joue l’enveloppe d’un système thermodynamique ?

Elle remplace les variables d’état par les trajectoires des constituants
Elle transforme automatiquement toute chaleur reçue en travail mécanique
Elle impose que le système reste isolé de toute interaction avec l’extérieur
Elle sépare un intérieur et un extérieur afin de définir le contenu matériel et énergétique

Elle sépare un intérieur et un extérieur afin de définir le contenu matériel et énergétique

Explication

L’enveloppe, réelle ou virtuelle, délimite le système et permet d’identifier son contenu matériel et énergétique par rapport à l’extérieur. Elle ne détermine pas à elle seule l’isolation ni la conversion automatique de la chaleur en travail.

10. Comment faut-il distinguer l’énergie interne de la chaleur et du travail ?

L’énergie interne décrit un échange, tandis que chaleur et travail restent contenus dans le système
L’énergie interne correspond à l’entropie, tandis que chaleur et travail mesurent la pression
L’énergie interne appartient au système, tandis que chaleur et travail décrivent des échanges
L’énergie interne mesure la frontière, tandis que chaleur et travail définissent son volume

L’énergie interne appartient au système, tandis que chaleur et travail décrivent des échanges

Explication

L’énergie interne UU est l’énergie inventoriée dans le système, alors que la chaleur et le travail représentent des modes d’échange avec l’extérieur. Confondre ces notions revient à traiter les échanges comme des quantités stockées dans le système.

11. Quelle relation exprime le premier principe de la thermodynamique avec la convention indiquée ?

dU=δQ×δWdU=\delta Q\times\delta W
dU=δQ+δWdU=\delta Q+\delta W
dU=δQ−δWdU=\delta Q-\delta W
dU=δW−δQdU=\delta W-\delta Q

$$dU=\delta Q+\delta W$$

Explication

Avec la convention donnée, la variation d’énergie interne est la somme des échanges de chaleur et de travail, soit dU=δQ+δWdU=\delta Q+\delta W. Les autres relations modifient le signe des échanges ou remplacent leur addition par une opération sans fondement.

12. Dans quelle situation un échange est-il qualifié de travail plutôt que de chaleur ?

Lorsqu’il implique un déplacement imposé de la frontière du système
Lorsqu’il se produit sans déplacement imposé de la frontière du système
Lorsqu’il conserve une température identique dans le système et son extérieur
Lorsqu’il augmente nécessairement l’entropie du système étudié

Lorsqu’il implique un déplacement imposé de la frontière du système

Explication

Un échange est appelé travail lorsqu’il implique un déplacement imposé de la frontière du système. Un échange sans déplacement imposé de cette frontière est, selon la distinction donnée, qualifié de chaleur.

13. Quelle relation exprime le premier principe de la thermodynamique pour une variation infinitésimale d’énergie interne ?

dU=δQ+δWdU=\delta Q+\delta W
dU=T dS−P dVdU=T\,dS-P\,dV
dU=δQ−δWdU=\delta Q-\delta W
dU=δW−δQdU=\delta W-\delta Q

$$dU=\delta Q+\delta W$$

Explication

Le premier principe établit que la variation d’énergie interne est égale à la somme des échanges de chaleur et de travail. La relation dU=T dS−P dVdU=T\,dS-P\,dV concerne une autre écriture thermodynamique et ne constitue pas ici le bilan général des échanges.

14. Quelle distinction caractérise le mieux le travail et la chaleur échangés par un système ?

Le travail traverse une paroi rigide, tandis que la chaleur nécessite une frontière mobile.
Le travail est lié au déplacement imposé d’une frontière, tandis que la chaleur ne l’exige pas.
Le travail concerne les particules, tandis que la chaleur concerne les niveaux d’énergie.
Le travail modifie la température, tandis que la chaleur modifie le volume du système.

Le travail est lié au déplacement imposé d’une frontière, tandis que la chaleur ne l’exige pas.

Explication

Le travail est associé à un déplacement imposé des frontières du système, alors que la chaleur peut être échangée sans ce déplacement. Une paroi rigide peut donc laisser passer de la chaleur sans constituer un échange de travail.

15. Lorsqu’un système est divisé en deux sous-systèmes identiques, quelle propriété distingue une variable extensive d’une variable intensive ?

La variable extensive est divisée, tandis que la variable intensive conserve sa valeur.
La variable extensive conserve sa valeur, tandis que la variable intensive est divisée.
Les deux variables conservent leur valeur parce que l’état thermodynamique reste inchangé.
Les deux variables sont divisées proportionnellement à la taille des sous-systèmes.

La variable extensive est divisée, tandis que la variable intensive conserve sa valeur.

Explication

Une variable extensive varie avec la taille du système, alors qu’une variable intensive ne change pas lors du partage en sous-systèmes. La conservation de la valeur caractérise donc la variable intensive dans cette situation.

16. Quelle différence fondamentale oppose le premier et le second principe de la thermodynamique ?

Le premier concerne les températures, tandis que le second concerne les échanges de matière entre systèmes.
Le premier interdit les cycles thermiques, tandis que le second établit le bilan énergétique de chaque transformation.
Le premier concerne l’irréversibilité, tandis que le second concerne la conservation de la quantité d’énergie.
Le premier concerne la quantité d’énergie, tandis que le second concerne sa qualité et la direction des transformations.

Le premier concerne la quantité d’énergie, tandis que le second concerne sa qualité et la direction des transformations.

Explication

Le premier principe établit un bilan de conservation de l’énergie, tandis que le second précise sa qualité et le sens spontané des transformations. L’irréversibilité et les interdictions de certaines évolutions relèvent donc du second principe.

17. Quelle grandeur scalaire, exprimée en joules par kelvin, quantifie la dispersion de l’énergie et formalise l’irréversibilité ?

L’enthalpie
L’entropie
L’énergie interne
La température

L’entropie

Explication

L’entropie est la grandeur scalaire qui quantifie la dispersion de l’énergie et formalise l’irréversibilité ; son unité est le joule par kelvin. L’énergie interne mesure une quantité d’énergie, mais elle ne joue pas ce rôle spécifique de caractérisation de l’irréversibilité.

18. Que devient généralement la capacité d’un système à fournir du travail au cours d’une transformation spontanée ?

Elle diminue parce que la qualité de l’énergie se dégrade.
Elle reste constante parce que la quantité totale d’énergie est conservée.
Elle disparaît dès qu’un échange de chaleur accompagne la transformation.
Elle augmente parce que l’énergie disponible se concentre davantage.

Elle diminue parce que la qualité de l’énergie se dégrade.

Explication

Une transformation spontanée s’accompagne en général d’une diminution de la qualité de l’énergie, ce qui réduit la capacité du système à fournir du travail. La conservation de l’énergie totale n’implique donc pas la conservation de sa capacité à produire du travail.

19. Une machine thermique réversible fonctionne entre une source chaude à TH=600 KT_H=600\,\mathrm{K} et une source froide à TC=300 KT_C=300\,\mathrm{K}. Quel est son rendement maximal ?

η=0,50\eta=0{,}50
η=0,25\eta=0{,}25
η=0,90\eta=0{,}90
η=0,75\eta=0{,}75

$$\eta=0{,}50$$

Explication

Le rendement maximal vaut η=1−TCTH=1−300600=0,50\eta=1-\frac{T_C}{T_H}=1-\frac{300}{600}=0{,}50. La valeur 0,750{,}75 correspondrait à un rapport entre températures différent de celui imposé par les données.

20. Quelles conditions caractérisent l’équilibre thermique, mécanique et chimique d’un système ?

∇T=0\nabla T=0, ∇P=0\nabla P=0 et ∇μ=0\nabla\mu=0
∇T>0\nabla T>0, ∇P>0\nabla P>0 et ∇μ>0\nabla\mu>0
T=0T=0, P=0P=0 et μ=0\mu=0
T˙=0\dot T=0, P˙=0\dot P=0 et μ˙=0\dot\mu=0

$$\nabla T=0$$, $$\nabla P=0$$ et $$\nabla\mu=0$$

Explication

L’équilibre thermodynamique exige l’annulation des gradients de température, de pression et de potentiel chimique. La condition portant sur les dérivées temporelles décrit une absence d’évolution locale, mais ne garantit pas l’absence de gradients spatiaux.

21. Que permet d’affirmer le principe zéro de la thermodynamique ?

Si A est en équilibre avec B et B avec C, alors A est en équilibre avec C.
Si A évolue spontanément vers B, alors l’entropie de A reste constante.
Si A échange de la chaleur avec B, alors A et B possèdent nécessairement la même énergie interne.
Si A est en équilibre avec B, alors A et B ont nécessairement la même pression partout.

Si A est en équilibre avec B et B avec C, alors A est en équilibre avec C.

Explication

Le principe zéro établit la transitivité de l’équilibre thermodynamique entre trois systèmes. Les autres propositions attribuent à ce principe des conclusions sur l’énergie interne, la pression ou l’entropie qui ne définissent pas sa portée.

22. Quelle affirmation décrit correctement l’équilibre thermodynamique sans le confondre avec l’homogénéité spatiale ?

Des flux constants de chaleur et de matière persistent, tandis que la température devient uniforme.
Il n’y a aucun flux net de chaleur, de matière ou de déformation, mais les grandeurs peuvent rester non homogènes.
Il n’y a aucun flux microscopique, et toutes les grandeurs prennent la même valeur en chaque point.
La température et la pression varient nécessairement dans l’espace, même lorsque tous les flux nets sont nuls.

Il n’y a aucun flux net de chaleur, de matière ou de déformation, mais les grandeurs peuvent rester non homogènes.

Explication

L’équilibre thermodynamique signifie l’absence de flux net, mais il n’impose pas que toutes les grandeurs aient une valeur identique partout. L’homogénéité spatiale est donc une condition plus forte que l’absence de flux net.

23. Quelle distinction caractérise les flux d’énergie thermique et mécanique dans un bilan énergétique ?

Le flux de travail est conservatif, tandis que le flux de chaleur reste indépendant de toute conversion
Le flux total est conservatif, tandis que les flux de chaleur et de travail peuvent se convertir et ne le sont pas séparément
Les flux de chaleur et de travail sont identiques, car ils représentent deux formes équivalentes du même transfert
Les flux de chaleur et de travail sont conservatifs séparément, tandis que leur somme peut varier

Le flux total est conservatif, tandis que les flux de chaleur et de travail peuvent se convertir et ne le sont pas séparément

Explication

Le flux d’énergie total se conserve, alors que les flux de chaleur et de travail peuvent s’échanger de l’énergie et ne sont pas conservatifs pris séparément. Confondre la conservation du total avec celle de chaque contribution conduit à attribuer à chaque flux une propriété qu’il ne possède pas.

24. Un courant de chaleur de puissance Q˙\dot{Q} traverse une frontière à la température TT. Quelle expression donne le courant d’entropie associé ?

S˙=Q˙T\dot{S}=\frac{\dot{Q}}{T}
S˙=Q˙+T\dot{S}=\dot{Q}+T
S˙=TQ˙\dot{S}=\frac{T}{\dot{Q}}
S˙=Q˙T\dot{S}=\dot{Q}T

$$\dot{S}=\frac{\dot{Q}}{T}$$

Explication

Le courant d’entropie transporté par la chaleur est obtenu en divisant la puissance thermique par la température, soit S˙=Q˙T\dot{S}=\frac{\dot{Q}}{T}. La multiplication par la température ne respecte pas cette relation thermodynamique.

25. Dans l’expression de la production d’entropie, quel terme est directement associé à un gradient de température ?

Le terme non isotherme ∇(1T)⋅Q˙\nabla\left(\frac{1}{T}\right)\cdot\dot{Q}
Le terme dissipatif 1T∇⋅Q˙\frac{1}{T}\nabla\cdot\dot{Q}
Le terme de stockage thermique T∇⋅Q˙T\nabla\cdot\dot{Q}
Le terme de transport mécanique ∇T⋅S˙\nabla T\cdot\dot{S}

Le terme non isotherme $$\nabla\left(\frac{1}{T}\right)\cdot\dot{Q}$$

Explication

Le terme non isotherme contient le gradient de l’inverse de la température et s’écrit ∇(1T)⋅Q˙\nabla\left(\frac{1}{T}\right)\cdot\dot{Q}. Le terme comportant la divergence du flux de chaleur décrit plutôt la contribution dissipative.

26. Quelle affirmation compare correctement les bilans d’énergie et d’entropie ?

L’énergie et l’entropie vérifient toutes deux une divergence nulle dans une transformation dissipative
L’énergie vérifie ∇⋅U˙=0\nabla\cdot\dot{U}=0, tandis que l’entropie peut avoir une production non nulle σ˙=∇⋅S˙≠0\dot{\sigma}=\nabla\cdot\dot{S}\neq0
L’entropie est conservée dès qu’un flux d’énergie traverse le système sans échange de matière
L’énergie peut être produite localement, tandis que l’entropie vérifie nécessairement ∇⋅S˙=0\nabla\cdot\dot{S}=0

L’énergie vérifie $$\nabla\cdot\dot{U}=0$$, tandis que l’entropie peut avoir une production non nulle $$\dot{\sigma}=\nabla\cdot\dot{S}\neq0$$

Explication

Le bilan énergétique exprime la conservation de l’énergie par ∇⋅U˙=0\nabla\cdot\dot{U}=0, alors que les phénomènes irréversibles peuvent produire de l’entropie. La dissipation rend donc généralement la divergence du courant d’entropie non nulle.

27. Quelle différence décrit correctement une transformation réversible par rapport à une transformation quasi-statique ?

La transformation réversible est une succession idéale d’états d’équilibre et demanderait une durée infinie, tandis que la transformation quasi-statique se déroule en durée finie
La transformation réversible et la transformation quasi-statique désignent deux évolutions identiques réalisées à la même vitesse
La transformation réversible évolue rapidement entre deux états, tandis que la transformation quasi-statique exige une durée infinie
La transformation réversible comporte des gradients finis, tandis que la transformation quasi-statique impose l’absence de tout échange énergétique

La transformation réversible est une succession idéale d’états d’équilibre et demanderait une durée infinie, tandis que la transformation quasi-statique se déroule en durée finie

Explication

Une transformation réversible est modélisée par une succession infiniment dense d’états d’équilibre et sa durée idéale est infinie. Une transformation quasi-statique reste très lente devant la relaxation microscopique, mais elle se déroule sur une durée finie.

28. Quelle grandeur une condition aux limites de Dirichlet impose-t-elle à un système ?

La valeur d’une grandeur intensive, comme la température fixée par un thermostat
La durée caractéristique de la relaxation microscopique du système
La valeur d’un flux traversant la frontière, comme un flux solaire reçu
La valeur de la capacité thermique globale du système couplé

La valeur d’une grandeur intensive, comme la température fixée par un thermostat

Explication

Une condition de Dirichlet fixe le potentiel ou la grandeur intensive à la frontière, par exemple une température imposée par un thermostat. L’imposition d’un flux correspond plutôt à une condition de Neumann.

29. Un panneau reçoit un flux solaire prescrit à sa surface sans température de surface imposée. Quelle condition aux limites modélise cette situation ?

Une condition de réservoir, car elle rend la capacité thermique du panneau infinie
Une condition de Dirichlet, car elle impose la température d’un thermostat
Une condition de réversibilité, car elle supprime toute production d’entropie
Une condition de Neumann, car elle impose la valeur d’un flux à la frontière

Une condition de Neumann, car elle impose la valeur d’un flux à la frontière

Explication

Une condition de Neumann impose la valeur du flux entrant ou sortant à la frontière, ce qui correspond au flux solaire reçu par le panneau. Une condition de Dirichlet fixerait plutôt une grandeur intensive telle que sa température.

30. Quelle relation associe correctement un flux de transport à son gradient de potentiel ?

Je=σV\mathbf{J}_e=\sigma V pour l’électricité et JQ=κT\mathbf{J}_Q=\kappa T pour la chaleur
Je=−κ∇V\mathbf{J}_e=-\kappa\nabla V pour l’électricité et JQ=−σ∇T\mathbf{J}_Q=-\sigma\nabla T pour la chaleur
Je=σ∇T\mathbf{J}_e=\sigma\nabla T pour l’électricité et JQ=κ∇V\mathbf{J}_Q=\kappa\nabla V pour la chaleur
Je=−σ∇V\mathbf{J}_e=-\sigma\nabla V pour l’électricité et JQ=−κ∇T\mathbf{J}_Q=-\kappa\nabla T pour la chaleur

$$\mathbf{J}_e=-\sigma\nabla V$$ pour l’électricité et $$\mathbf{J}_Q=-\kappa\nabla T$$ pour la chaleur

Explication

Les lois linéaires de transport relient chaque flux au gradient opposé du potentiel correspondant, avec une conductivité propre à chaque phénomène. La loi d’Ohm utilise σ\sigma et le potentiel électrique VV, tandis que la loi de Fourier utilise κ\kappa et la température TT.

31. Quelle situation illustre une convection plutôt qu’une conduction ?

Un matériau sans mouvement de matière échange de l’énergie par agitation locale
Un solide immobile transmet de la chaleur par diffusion entre ses régions voisines
Un fluide en mouvement transporte de la chaleur avec son déplacement macroscopique
Une paroi fixe transfère de l’énergie thermique sans déplacement global du milieu

Un fluide en mouvement transporte de la chaleur avec son déplacement macroscopique

Explication

La convection associe le transfert thermique au mouvement macroscopique d’un fluide. Les autres situations décrivent une conduction, dans laquelle l’énergie diffuse sans mouvement global du milieu.

32. Quelle expression donne la puissance rayonnée par un corps selon la loi de Stefan-Boltzmann ?

Q˙=σAεT4\dot{Q}=\frac{\sigma A}{\varepsilon T^4}
Q˙=σεT4\dot{Q}=\sigma\varepsilon T^4
Q˙=σεAT2\dot{Q}=\sigma\varepsilon A T^2
Q˙=σεAT4\dot{Q}=\sigma\varepsilon A T^4

$$\dot{Q}=\sigma\varepsilon A T^4$$

Explication

La loi de Stefan-Boltzmann donne Q˙=σεAT4\dot{Q}=\sigma\varepsilon A T^4, où la puissance dépend de la surface, de l’émissivité et de la quatrième puissance de la température. Omettre la surface ou modifier la puissance de la température change la loi physique.

33. Comment une grandeur intensive peut-elle être obtenue à partir de grandeurs extensives ?

Par intégration d’une grandeur extensive sur l’ensemble des particules du système
Par dérivation partielle d’une grandeur extensive par rapport à une autre grandeur extensive
Par multiplication de deux grandeurs extensives associées au même système
Par division d’une grandeur intensive par la taille géométrique du système

Par dérivation partielle d’une grandeur extensive par rapport à une autre grandeur extensive

Explication

Une grandeur intensive s’obtient par une dérivée partielle d’une grandeur extensive par rapport à une autre grandeur extensive. Elle ne varie donc pas proportionnellement à la taille du système, contrairement à une grandeur extensive.

34. Quelle propriété mathématique exprime l’extensivité de l’énergie interne lorsqu’un système est agrandi d’un facteur λ\lambda ?

U(λS,λX1,…,λXn)=λ2U(S,X1,…,Xn)U(\lambda S,\lambda X_1,\ldots,\lambda X_n)=\lambda^2U(S,X_1,\ldots,X_n)
U(λS,λX1,…,λXn)=U(S,X1,…,Xn)/λU(\lambda S,\lambda X_1,\ldots,\lambda X_n)=U(S,X_1,\ldots,X_n)/\lambda
U(λS,λX1,…,λXn)=U(S,X1,…,Xn)+λU(\lambda S,\lambda X_1,\ldots,\lambda X_n)=U(S,X_1,\ldots,X_n)+\lambda
U(λS,λX1,…,λXn)=λU(S,X1,…,Xn)U(\lambda S,\lambda X_1,\ldots,\lambda X_n)=\lambda U(S,X_1,\ldots,X_n)

$$U(\lambda S,\lambda X_1,\ldots,\lambda X_n)=\lambda U(S,X_1,\ldots,X_n)$$

Explication

L’extensivité impose une homogénéité du premier ordre : la multiplication de toutes les variables extensives par λ\lambda multiplie l’énergie interne par le même facteur. Une dépendance quadratique correspondrait à une autre loi d’échelle.

35. Quelle relation relie l’énergie interne aux variables d’état d’un système simple ?

U=TS+PV−μNU=TS+PV-\mu N
U=T/S−P/V+μ/NU=T/S-P/V+\mu/N
U=TS−PV+μNU=TS-PV+\mu N
U=−TS−PV+μNU=-TS-PV+\mu N

$$U=TS-PV+\mu N$$

Explication

La relation d’Euler d’un système simple s’écrit U=TS−PV+μNU=TS-PV+\mu N. Les signes des termes de pression et d’énergie chimique distinguent cette relation des expressions proposées.

36. Quelle expression donne la relation de Gibbs pour l’énergie interne d’un système simple ?

dU=−T dS+P dV−μ dNdU=-T\,dS+P\,dV-\mu\,dN
dU=T dS−P dV+μ dNdU=T\,dS-P\,dV+\mu\,dN
dU=T dV−P dS+μ dNdU=T\,dV-P\,dS+\mu\,dN
dU=S dT+V dP+N dμdU=S\,dT+V\,dP+N\,d\mu

$$dU=T\,dS-P\,dV+\mu\,dN$$

Explication

La différentielle de l’énergie interne est dU=T dS−P dV+μ dNdU=T\,dS-P\,dV+\mu\,dN, avec les variables extensives comme différentielles. L’expression S dT+V dP+N dμS\,dT+V\,dP+N\,d\mu appartient à une relation de type Gibbs-Duhem, et non à dUdU.

37. Dans un système isolé composé de deux sous-systèmes, quelle condition caractérise l’équilibre pour un échange extensif autorisé ?

La variation du volume total est positive pour cet échange à l’équilibre
La variation de l’entropie totale est nulle pour cet échange à l’équilibre
La variation de l’énergie interne totale est maximale pour cet échange à l’équilibre
La variation de l’entropie de chaque sous-système est nulle séparément

La variation de l’entropie totale est nulle pour cet échange à l’équilibre

Explication

L’équilibre d’un système isolé s’obtient en imposant la nullité de la variation de l’entropie totale pour chaque échange extensif permis. Les entropies individuelles peuvent varier, même lorsque leur somme est stationnaire.

38. Quelles égalités sont imposées à l’équilibre par une paroi mobile, diathermane et perméable ?

L’égalité de la température, de l’entropie et du volume
L’égalité de l’entropie, du volume et de l’énergie interne
L’égalité de la température, de la pression et du potentiel chimique
L’égalité de la pression, de l’énergie interne et du nombre de particules

L’égalité de la température, de la pression et du potentiel chimique

Explication

Une paroi mobile permet les échanges mécaniques, une paroi diathermane les échanges thermiques et une paroi perméable les échanges de matière : l’équilibre impose donc l’égalité de TT, PP et μ\mu. Avec une paroi fixe, l’égalité des pressions n’est pas nécessaire.

39. Que stipule le troisième principe lorsque la température d’un système en équilibre interne tend vers le zéro absolu ?

Son entropie tend vers une constante indépendante des autres paramètres
Son potentiel chimique tend vers une constante fixée par la quantité de matière
Son entropie tend nécessairement vers une valeur proportionnelle à la température
Son énergie interne devient égale à la pression multipliée par le volume

Son entropie tend vers une constante indépendante des autres paramètres

Explication

Le troisième principe affirme que l’entropie tend vers une constante indépendante des autres paramètres lorsque la température tend vers zéro, cette constante étant nulle pour un cristal pur parfait. Il s’agit d’une propriété physique liée à l’état fondamental, et non d’une simple convention générale.

40. Quelle fonction thermodynamique possède naturellement TT, VV et NN comme variables et vérifie la différentielle indiquée ?

L’énergie libre de Helmholtz, avec F=U−TSF=U-TS et dF=−S dT−P dV+μ dNdF=-S\,dT-P\,dV+\mu\,dN
L’énergie interne, avec U=TS−PV+μNU=TS-PV+\mu N et dU=T dS−P dV+μ dNdU=T\,dS-P\,dV+\mu\,dN
L’enthalpie, avec H=U+PVH=U+PV et dH=T dS+V dP+μ dNdH=T\,dS+V\,dP+\mu\,dN
L’enthalpie libre, avec G=H−TSG=H-TS et dG=−S dT+V dP+μ dNdG=-S\,dT+V\,dP+\mu\,dN

L’énergie libre de Helmholtz, avec $$F=U-TS$$ et $$dF=-S\,dT-P\,dV+\mu\,dN$$

Explication

La transformée de Legendre qui remplace SS par TT est l’énergie libre de Helmholtz, F=U−TSF=U-TS, dont les variables naturelles sont T,V,NT,V,N. L’enthalpie et l’enthalpie libre remplacent d’autres variables et possèdent donc des différentielles différentes.

41. Quelle association entre les chaleurs spécifiques et les contraintes expérimentales est correcte ?

CVC_V correspond à la pression constante et CPC_P au volume constant
CVC_V correspond à l’entropie constante et CPC_P à l’énergie constante
CVC_V correspond à la température constante et CPC_P au nombre de particules constant
CVC_V correspond au volume constant et CPC_P à la pression constante

$$C_V$$ correspond au volume constant et $$C_P$$ à la pression constante

Explication

Par définition, CV=T(∂S∂T)VC_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V est associé au volume constant, tandis que CP=T(∂S∂T)PC_P=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P est associé à la pression constante. Les autres associations confondent les contraintes thermodynamiques.

42. Quelle relation générale relie les chaleurs spécifiques CPC_P et CVC_V ?

CP−CV=1T(∂P∂T)V(∂V∂T)PC_P-C_V=\frac{1}{T}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P
CP−CV=T(∂P∂V)T(∂T∂V)PC_P-C_V=T\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P
CP−CV=T(∂V∂P)T(∂T∂S)VC_P-C_V=T\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_V
CP−CV=T(∂P∂T)V(∂V∂T)PC_P-C_V=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P

$$C_P-C_V=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

Explication

La relation générale est CP−CV=T(∂P∂T)V(∂V∂T)PC_P-C_V=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P. Les autres expressions modifient les variables maintenues constantes ou le facteur de température et ne donnent pas la relation thermodynamique correcte.

43. Quelle loi décrit une compression adiabatique réversible d’un gaz lorsque γ=CP/CV\gamma=C_P/C_V ?

PV=cstePV=\mathrm{cste}
PVγ=cstePV^\gamma=\mathrm{cste}
PγV=csteP^\gamma V=\mathrm{cste}
P+Vγ=csteP+V^\gamma=\mathrm{cste}

$$PV^\gamma=\mathrm{cste}$$

Explication

Pour une transformation adiabatique réversible, le coefficient γ=CP/CV\gamma=C_P/C_V conduit à la relation PVγ=cstePV^\gamma=\mathrm{cste}. La loi PV=cstePV=\mathrm{cste} correspond plutôt à une transformation isotherme d’un gaz parfait.

44. Quelle équation d’état relie la pression, le volume, la quantité de matière et la température d’un gaz parfait ?

PV=nRTPV=nRT
PV=RT/nPV=RT/n
P/V=nRTP/V=nRT
P+V=nRTP+V=nRT

$$PV=nRT$$

Explication

L’équation d’état du gaz parfait est PV=nRTPV=nRT, où nn désigne la quantité de matière et RR la constante des gaz parfaits. Les autres expressions ne respectent pas la structure de cette loi d’état.

45. À conditions finales fixées, quelle grandeur un équilibre thermodynamique stable maximise-t-il dans la représentation entropique ?

Le volume du système
L’entropie du système
La température du système
L’énergie interne du système

L’entropie du système

Explication

À conditions finales fixées, l’équilibre stable correspond à un maximum d’entropie. La confusion fréquente consiste à attribuer ce maximum à l’énergie interne, qui est au contraire minimale dans la représentation appropriée.

46. Quelles conditions de courbure garantissent la stabilité thermodynamique dans les représentations par U(S)U(S) et par S(U)S(U) ?

(∂2U∂S2)>0\left(\frac{\partial^2 U}{\partial S^2}\right)>0 et (∂2S∂U2)>0\left(\frac{\partial^2 S}{\partial U^2}\right)>0
(∂2U∂S2)=0\left(\frac{\partial^2 U}{\partial S^2}\right)=0 et (∂2S∂U2)=0\left(\frac{\partial^2 S}{\partial U^2}\right)=0
(∂2U∂S2)≤0\left(\frac{\partial^2 U}{\partial S^2}\right)\leq 0 et (∂2S∂U2)≥0\left(\frac{\partial^2 S}{\partial U^2}\right)\geq 0
(∂2U∂S2)≥0\left(\frac{\partial^2 U}{\partial S^2}\right)\geq 0 et (∂2S∂U2)≤0\left(\frac{\partial^2 S}{\partial U^2}\right)\leq 0

$$\left(\frac{\partial^2 U}{\partial S^2}\right)\geq 0$$ et $$\left(\frac{\partial^2 S}{\partial U^2}\right)\leq 0$$

Explication

La stabilité exige que l’énergie interne soit convexe en entropie et que l’entropie soit concave en énergie interne. L’inversion simultanée des signes décrirait les courbures opposées à celles requises.

47. Quelle trajectoire caractérise une transformation réversible par rapport à la surface des états d’équilibre ?

Elle suit entièrement la surface des états d’équilibre
Elle traverse des états hors équilibre avant chaque état final
Elle s’éloigne de la surface lors des échanges thermiques
Elle reste proche de la surface sans y appartenir à chaque instant

Elle suit entièrement la surface des états d’équilibre

Explication

Une transformation réversible suit entièrement la surface des états d’équilibre. Une trajectoire arbitrairement proche correspond plutôt à une transformation quasi-statique, tandis qu’une transformation irréversible passe par des états hors équilibre.

48. Quelle propriété géométrique de la surface d’entropie caractérise un équilibre stable ?

La surface possède une courbure variable sans condition géométrique
La surface est concave et située sous ses plans tangents
La surface est convexe et située au-dessus de ses plans tangents
La surface est plane et parallèle à tous ses plans tangents

La surface est concave et située sous ses plans tangents

Explication

Un équilibre stable exige une surface d’entropie concave, située sous ses plans tangents. Une portion convexe favorise au contraire une augmentation d’entropie par séparation en plusieurs phases.

49. Que se produit-il lorsqu’une portion convexe apparaît sur la surface d’entropie d’un système ?

Le système se sépare en plusieurs phases
Le système conserve une phase stable sous les fluctuations
La température devient indépendante de l’énergie interne
La surface d’entropie devient nécessairement plane

Le système se sépare en plusieurs phases

Explication

Dans une portion convexe, les fluctuations peuvent augmenter l’entropie globale en conduisant à plusieurs phases. La concavité, et non la convexité, est associée au maintien d’une phase stable.

50. Quelle relation donne la pente de la surface entropique par rapport à l’énergie interne à volume constant ?

(∂S∂U)V=1T\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_V=\frac{1}{T}
(∂S∂U)V=UT\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_V=\frac{U}{T}
(∂S∂U)V=TU\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_V=\frac{T}{U}
(∂S∂U)V=T\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_V=T

$$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_V=\frac{1}{T}$$

Explication

La pente entropique à volume constant vaut l’inverse de la température, soit 1/T1/T. Elle n’est donc pas égale directement à la température, ce qui constitue la confusion la plus courante.

51. Quelles conditions expriment respectivement la stabilité thermique et la stabilité mécanique d’un système ?

CV<0C_V<0 et χT>0\chi_T>0
CV<0C_V<0 et χT<0\chi_T<0
CV>0C_V>0 et χT>0\chi_T>0
CV>0C_V>0 et χT<0\chi_T<0

$$C_V>0$$ et $$\chi_T>0$$

Explication

La stabilité thermique impose une capacité thermique à volume constant positive, CV>0C_V>0, tandis que la stabilité mécanique impose une compressibilité isotherme positive, χT>0\chi_T>0. Des signes négatifs signaleraient une instabilité dans la propriété correspondante.

52. Selon la règle générale des phases de Gibbs, quelle expression donne la variance d’un système comportant CC constituants et ϕ\phi phases ?

v=C+ϕ+2v=C+\phi+2
v=C−ϕ+2v=C-\phi+2
v=Cϕ+2v=C\phi+2
v=ϕ−C+2v=\phi-C+2

$$v=C-\phi+2$$

Explication

La règle des phases de Gibbs s’écrit v=C−ϕ+2v=C-\phi+2. La variance diminue donc lorsque le nombre de phases augmente, à nombre de constituants fixé.

53. Que signifie l’équilibre entre trois phases d’un corps pur dans le diagramme de phases ?

Il correspond à une phase unique de variance maximale
Il définit une courbe de coexistence à deux degrés de liberté
Il autorise quatre phases à la même température
Il définit un point triple de variance nulle

Il définit un point triple de variance nulle

Explication

Pour un corps pur en équilibre entre trois phases, la règle de Gibbs donne une variance nulle : les conditions définissent le point triple. Deux phases laissent au contraire un degré de liberté, et quatre phases ne peuvent pas coexister à l’équilibre.

54. Dans quelles conditions la relation de Clapeyron décrit-elle la pente d’une courbe de coexistence ?

Lorsque les deux phases ont nécessairement le même volume molaire
Lorsque la chaleur latente est nulle à toute température
Lorsque la différence de volumes molaires vérifie Δv≠0\Delta v\ne 0
Lorsque la pression reste constante le long de la coexistence

Lorsque la différence de volumes molaires vérifie $$\Delta v\ne 0$$

Explication

La relation de Clapeyron s’écrit dP/dT=Δs/Δv=L/(TΔv)dP/dT=\Delta s/\Delta v=L/(T\Delta v) et requiert donc une différence de volumes molaires non nulle. Si Δv=0\Delta v=0, cette forme ne peut pas être utilisée directement en raison de la division par zéro.

55. Dans la règle des paliers de Maxwell appliquée à une isotherme de Van der Waals, comment la portion instable est-elle remplacée ?

Par une courbe convexe dont le volume reste constant
Par une droite verticale dont les pressions sont différentes
Par un segment incliné dont les températures sont égales
Par un segment horizontal dont les deux aires sont égales

Par un segment horizontal dont les deux aires sont égales

Explication

La construction de Maxwell remplace la portion instable par un segment horizontal et impose l’égalité des aires situées au-dessus et au-dessous. Cette égalité traduit la condition de coexistence des phases sur l’isotherme corrigée.

56. Quelle condition caractérise l’équilibre entre deux phases A et B à température et pression constantes ?

L’égalité de leurs potentiels chimiques
L’égalité de leurs températures internes
L’égalité de leurs volumes massiques
L’égalité de leurs entropies molaires

L’égalité de leurs potentiels chimiques

Explication

L’équilibre de phases exige que les potentiels chimiques soient égaux, soit μA=μB\mu_A=\mu_B. Une simple égalité de température ne suffit pas à caractériser cet équilibre.

57. Un mélange liquide-vapeur possède un volume massique uu situé entre ulu_l et uvu_v. Quelle expression donne sa fraction massique de vapeur ?

xv=u−uvul−uvx_v=\frac{u-u_v}{u_l-u_v}
xv=uv−uuv−ulx_v=\frac{u_v-u}{u_v-u_l}
xv=uluv−ux_v=\frac{u_l}{u_v-u}
xv=u−uluv−ulx_v=\frac{u-u_l}{u_v-u_l}

$$x_v=\frac{u-u_l}{u_v-u_l}$$

Explication

La fraction massique de vapeur est obtenue par interpolation entre les volumes massiques des phases liquide et vapeur : xv=u−uluv−ulx_v=\frac{u-u_l}{u_v-u_l}. Le volume massique uu décrit l’état global du mélange et ne représente pas directement une fraction massique.

58. Pour un système comportant CC constituants, rr réactions indépendantes, kk contraintes, nn variables intensives indépendantes et Φ\Phi phases, quelle formule donne la variance ?

V=C−r+k−n+ΦV=C-r+k-n+\Phi
V=C−r−k+n−ΦV=C-r-k+n-\Phi
V=C+r+k+n+ΦV=C+r+k+n+\Phi
V=Φ−C+r+k−nV=\Phi-C+r+k-n

$$V=C-r-k+n-\Phi$$

Explication

La variance s’écrit V=C−r−k+n−ΦV=C-r-k+n-\Phi en tenant compte des constituants, réactions, contraintes, variables indépendantes et phases. Ajouter les réactions ou les phases conduirait à une dépendance incorrecte entre les paramètres.

59. À pression constante, quelle relation exprime la chaleur latente molaire d’une transition entre les phases A et B ?

QAB=nT(sA−sB)=n(hA−hB)Q_{AB}=nT(s_A-s_B)=n(h_A-h_B)
QAB=nT(sB−sA)=n(hB−hA)Q_{AB}=nT(s_B-s_A)=n(h_B-h_A)
QAB=nT(sA+sB)=n(hA+hB)Q_{AB}=nT(s_A+s_B)=n(h_A+h_B)
QAB=n(sB−sA)+T(hB−hA)Q_{AB}=n(s_B-s_A)+T(h_B-h_A)

$$Q_{AB}=nT(s_B-s_A)=n(h_B-h_A)$$

Explication

À pression constante, la chaleur latente vérifie QAB=nLAB(T)=nT(sB−sA)=n(hB−hA)Q_{AB}=nL_{AB}(T)=nT(s_B-s_A)=n(h_B-h_A). Inverser les états A et B changerait le signe associé à la transition considérée.

60. Que se passe-t-il lorsqu’un germe formé par nucléation homogène reste inférieur au rayon critique ?

Il atteint l’équilibre après absorption d’une quantité fixe de matière
Il se transforme spontanément en une phase stable de même volume
Il disparaît en raison de la variation défavorable de l’énergie libre
Il croît progressivement grâce à la diminution de son énergie de surface

Il disparaît en raison de la variation défavorable de l’énergie libre

Explication

Un germe dont le rayon reste inférieur au rayon critique est thermodynamiquement défavorisé et disparaît. La croissance devient possible lorsque le rayon critique est dépassé dans des conditions favorables.

61. Quelle distinction oppose correctement la nucléation homogène à la nucléation hétérogène ?

La première se produit sans impureté, tandis que la seconde est favorisée par une surface ou une impureté
La première concerne les liquides, tandis que la seconde concerne les changements entre solides
La première exige une surface, tandis que la seconde apparaît dans un milieu dépourvu d’impuretés
La première produit des germes instables, tandis que la seconde produit des germes à rayon nul

La première se produit sans impureté, tandis que la seconde est favorisée par une surface ou une impureté

Explication

La nucléation homogène se produit dans l’absence d’impuretés, alors que la nucléation hétérogène est favorisée par des surfaces ou des impuretés servant de sites de germination. La distinction repose donc sur la présence d’un site externe, et non sur la nature de la phase.

62. Selon l’expression approchée du rayon critique, comment évolue rCr_C lorsque la différence PG−Peq(T)P_G-P_{eq}(T) augmente à température fixée ?

Il devient nul, car la tension interfaciale disparaît avec la surpression
Il diminue, car il est inversement proportionnel à PG−Peq(T)P_G-P_{eq}(T)
Il augmente, car il est directement proportionnel à PG−Peq(T)P_G-P_{eq}(T)
Il reste constant, car la pression n’intervient pas dans le rayon critique

Il diminue, car il est inversement proportionnel à $$P_G-P_{eq}(T)$$

Explication

L’expression rC≃2γLGvLRTPeq(T)PG−Peq(T)r_C\simeq\frac{2\gamma_{LG}}{v_L}\frac{RTP_{eq}(T)}{P_G-P_{eq}(T)} montre que le rayon critique diminue lorsque la surpression augmente. La tension interfaciale reste présente et ne devient pas nulle pour cette raison.

63. Quelle propriété caractérise un cycle thermodynamique représenté par un contour fermé dans le diagramme P,VP,V ?

La pression reste constante, tandis que le volume revient à sa valeur initiale
La chaleur échangée est nulle, tandis que l’énergie interne change après le cycle
Toute fonction d’état augmente, tandis que le travail total est nécessairement nul
Toute fonction d’état retrouve sa valeur initiale, tandis que le travail peut être non nul

Toute fonction d’état retrouve sa valeur initiale, tandis que le travail peut être non nul

Explication

Sur un contour fermé, les fonctions d’état reviennent à leur valeur initiale, mais le travail peut être non nul et correspond à l’aire du cycle dans le diagramme P,VP,V. Le travail et la chaleur ne sont donc pas des fonctions d’état.

64. Dans quel ordre les transformations apparaissent-elles dans un cycle de Carnot réversible ?

Détente isotherme, compression isotherme, détente adiabatique, compression adiabatique
Compression isotherme, compression adiabatique, détente isotherme, détente adiabatique
Détente adiabatique, détente isotherme, compression adiabatique, compression isotherme
Détente isotherme, détente adiabatique, compression isotherme, compression adiabatique

Détente isotherme, détente adiabatique, compression isotherme, compression adiabatique

Explication

Le cycle de Carnot réversible enchaîne une détente isotherme, une détente adiabatique, une compression isotherme puis une compression adiabatique. Cet ordre alterne les échanges thermiques isothermes et les transformations adiabatiques.

65. Une machine thermique réversible fonctionne entre une source chaude à Tc=600 KT_c=600\,\mathrm{K} et une source froide à Tf=300 KT_f=300\,\mathrm{K}. Quel est son rendement maximal ?

η=0,25\eta=0{,}25
η=0,75\eta=0{,}75
η=2,00\eta=2{,}00
η=0,50\eta=0{,}50

$$\eta=0{,}50$$

Explication

Le rendement maximal vaut η=1−TfTc=1−300600=0,50\eta=1-\frac{T_f}{T_c}=1-\frac{300}{600}=0{,}50. Il dépend du rapport des températures absolues et non d’une différence exprimée en degrés Celsius.

66. Quelle affirmation décrit correctement l’inégalité de Clausius pour un cycle thermodynamique ?

∮δQT≥0\oint\frac{\delta Q}{T}\geq0, avec égalité pour un cycle irréversible
∮δQT<0\oint\frac{\delta Q}{T}<0 pour tout cycle réversible et irréversible
∮δQT=0\oint\frac{\delta Q}{T}=0 pour tout cycle, quelle que soit sa réversibilité
∮δQT≤0\oint\frac{\delta Q}{T}\leq0, avec égalité pour un cycle réversible

$$\oint\frac{\delta Q}{T}\leq0$$, avec égalité pour un cycle réversible

Explication

L’inégalité de Clausius impose ∮δQT≤0\oint\frac{\delta Q}{T}\leq0, et l’égalité correspond au cas réversible. Un cycle irréversible donne une valeur strictement négative.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 90 flashcards sur Structure et fonctions thermodynamiques.

Quelle machine thermique Héron d’Alexandrie a-t-il construit au 1er siècle ?

L’éolipyle, première machine thermique connue.

Quelle équivalence mécanique de la chaleur James Joule a-t-il établi ?

1 calorie=4,185 J1\,\mathrm{calorie}=4{,}185\,\mathrm{J}.

Quelle loi fondamentale James Joule a-t-il montré concernant l’énergie ?

L’énergie se conserve en se transformant entre ses formes.

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