QCM : Suites arithmétiques et géométriques — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de premier terme u0u_0 et de raison rr ?

un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r
un+1=un+n×ru_{n+1}=u_n+n\times r
un=u0×rnu_n=u_0\times r^n
un+1=un×ru_{n+1}=u_n\times r

$$u_{n+1}=u_n+r$$

Explication

Une suite arithmétique ajoute la même raison rr pour passer d’un terme au suivant. La multiplication par une raison caractérise plutôt une suite géométrique.

2. Une suite arithmétique vérifie u0=5u_0=5 et r=3r=3. Quelle expression donne son terme général ?

un=5×3nu_n=5\times 3^n
un=5+3nu_n=5+3n
un=3+5nu_n=3+5n
un=5+n3u_n=5+n^3

$$u_n=5+3n$$

Explication

Le terme général d’une suite arithmétique s’obtient avec un=u0+n×ru_n=u_0+n\times r, donc ici un=5+3nu_n=5+3n. L’expression 5×3n5\times3^n correspond à une dépendance géométrique.

3. Une suite arithmétique de raison r=−4r=-4 présente quel comportement ?

Elle est croissante.
Elle est décroissante.
Elle est constante.
Elle alterne entre deux valeurs.

Elle est décroissante.

Explication

Une raison négative signifie que chaque terme est inférieur au précédent, donc la suite est décroissante. Une suite arithmétique constante aurait une raison nulle.

4. Quelle formule permet de calculer u0+u1+⋯+unu_0+u_1+\cdots+u_n pour une suite arithmétique ?

(n+1)(u0+un)2\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}
(n+1)(u0−un)(n+1)(u_0-u_n)
u0×1−rn+11−ru_0\times\frac{1-r^{n+1}}{1-r}
u0+unn+1\frac{u_0+u_n}{n+1}

$$\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$$

Explication

La somme arithmétique est le nombre de termes, n+1n+1, multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. La formule utilisant une puissance et la raison correspond à une somme géométrique.

5. Quelle relation caractérise une suite géométrique de premier terme u0u_0 et de raison qq ?

un=u0+n×qu_n=u_0+n\times q
un+1=un+n×qu_{n+1}=u_n+n\times q
un+1=un+qu_{n+1}=u_n+q
un+1=un×qu_{n+1}=u_n\times q

$$u_{n+1}=u_n\times q$$

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la raison qq. L’addition d’une raison caractérise une suite arithmétique.

6. Une suite géométrique vérifie u0=2u_0=2 et q=3q=3. Quelle expression donne son terme général ?

un=2+3nu_n=2+3n
un=2n3u_n=2n^3
un=3×2nu_n=3\times2^n
un=2×3nu_n=2\times3^n

$$u_n=2\times3^n$$

Explication

Le terme général d’une suite géométrique est un=u0×qnu_n=u_0\times q^n, ce qui donne ici 2×3n2\times3^n. L’expression 2+3n2+3n décrit une évolution arithmétique.

7. Pour une suite géométrique dont la raison vérifie 0<q<10<q<1, quel comportement observe-t-on ?

La suite est constante.
La suite alterne entre des termes positifs et négatifs.
La suite est croissante.
La suite est décroissante.

La suite est décroissante.

Explication

Lorsque 0<q<10<q<1, chaque terme positif est obtenu en le multipliant par un facteur inférieur à un, ce qui produit une décroissance. La croissance correspond au cas q>1q>1.

8. Quelle formule donne la somme u0+u1+⋯+unu_0+u_1+\cdots+u_n d’une suite géométrique de raison q≠1q\ne1 ?

u0+1−qn1−qu_0+\frac{1-q^n}{1-q}
u0×1−qn+11−qu_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
u0×1−q1−qn+1u_0\times\frac{1-q}{1-q^{n+1}}
(n+1)(u0+un)2\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}

$$u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Explication

La somme géométrique s’obtient avec u0×1−qn+11−qu_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. La formule faisant intervenir la moyenne du premier et du dernier terme est celle d’une suite arithmétique.

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Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite où un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r avec raison rr.

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?

un=u0+n×ru_n=u_0+n\times r

Quand une suite arithmétique est-elle croissante ?

Quand la raison rr est strictement positive.

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