Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Notions et génération des suites
2. Variations d’une suite
3. Suites arithmétiques
4. Sommes arithmétiques
5. Suites géométriques
6. Sommes géométriques

📖 1. Notions et génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste indexée de nombres possédant un premier terme, un deuxième terme et ainsi de suite.

★ À maîtriser

• Le terme d'indice n ou de rang n est noté uₙ, tandis que la suite dans sa globalité est notée u ou (uₙ).

📌 Une suite peut être générée par une formule explicite, qui donne uₙ en fonction de n, ou par une relation de récurrence, qui donne uₙ₊₁ en fonction du terme précédent.

Compléments

• Pour uₙ = n² − 2n − 3, on obtient u₀ = −3, u₁ = −4 et u₂ = −3.

• Pour uₙ₊₁ = 3uₙ + 4 avec u₀ = −1, on obtient u₁ = 1, u₂ = 7 et u₃ = 25.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : n → terme ; récurrence : terme → terme suivant

📖 2. Variations d’une suite

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d'une suite, on étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ : un signe positif indique une croissance, un signe négatif une décroissance et un signe nul une constance.

📌 Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ, strictement croissante si uₙ₊₁ > uₙ, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ, strictement décroissante si uₙ₊₁ < uₙ et constante si uₙ₊₁ = uₙ.

Compléments

• Pour uₙ = n² + 2, on a uₙ₊₁ − uₙ = 2n + 1, donc la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

Signe de uₙ₊₁ − uₙ → sens de variation

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un nombre r tel que, pour tout entier n, uₙ₊₁ = uₙ + r, où r est la raison de la suite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, on a $u_n = u_0 + nr$ et plus généralement $u_n = u_p + (n-p)r$.

📌 Une suite est arithmétique si et seulement si la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante pour tout n, cette constante étant sa raison r.

Compléments

• Une suite arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison 5 commence par u₀ = 3, u₁ = 8, u₂ = 13 et u₃ = 18.

💡 Astuce mémo

Ajouter r : U₀, U₀+r, U₀+2r

📖 4. Sommes arithmétiques

📝 Points essentiels

📐 Formule — La somme des entiers de 1 à n est $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, la somme de uₚ à uₙ vaut $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = \frac{(u_p+u_n)\times(n-p+1)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Associer le premier et le dernier terme autour de la moyenne

📖 5. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un nombre q tel que, pour tout entier n, uₙ₊₁ = quₙ, où q est la raison de la suite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, on a $u_n = u_0q^n$ et plus généralement $u_n = u_pq^{n-p}$.

Compléments

• Une suite géométrique de premier terme u₀ = 5 et de raison 2 commence par u₀ = 5, u₁ = 10, u₂ = 20 et u₃ = 30.

💡 Astuce mémo

Multiplier par q : U₀, U₀q, U₀q²

📖 6. Sommes géométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour q ≠ 1, la somme des puissances successives vérifie $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1, la somme de uₚ à uₙ vaut $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques