Fiche de révision : Synthèse des notions clés en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques et vocabulaire
2. Variation et limites des suites
3. Fonctions du second degré
4. Équations et factorisation du second degré
5. Produit scalaire et premières propriétés
6. Orthogonalité, normes et calculs
7. Travail d’une force et distances
8. Taux de variation et nombre dérivé
9. Tangentes et applications de la dérivation
10. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

📖 1. Suites numériques et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction définie pour tout entier naturel n (ou à partir d’un certain rang) et qui renvoie des réels.
• Terme général : Le terme général d’une suite est la valeur u(n) associée à l’entier n, notée aussi u_n.
• Suite indexée : Une suite peut être notée (u_n) avec une plage d’indices, par exemple (u_n){n∈N} ou (u_n){n≥k} quand elle commence à un rang k.
• Formule explicite : Une suite est donnée de façon explicite quand son terme u_n s’exprime directement en fonction de n.
• Suite définie par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on connaît un premier terme puis une relation calculant u_{n+1} à partir de u_n.

📝 Points essentiels

• Le terme u_n est appelé terme de rang n de la suite, c’est-à-dire l’image de n par la fonction qui définit la suite.
• Une suite peut être notée (u_n){n∈N} si elle est définie sur tous les entiers naturels, ou (u_n){n≥k} si elle ne commence qu’à partir d’un rang k.
• Une formule explicite permet de calculer u_n directement à partir de n, sans calculer tous les termes précédents.
• Une suite définie par récurrence nécessite de connaître le premier terme et la règle qui relie u_{n+1} à u_n pour construire les termes successifs.
• La suite u(n)=3n−7 admet la notation u_n=u(n), utile pour retrouver u_0 et u_{100} rapidement.

💡 Astuce mémo

Formule explicite = “direct en n”, récurrence = “à partir de u_n puis u_{n+1}”.

📖 2. Variation et limites des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations de suites : Ensemble des classements d’une suite selon le comportement de ses termes consécutifs, via des inégalités entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
• Suite monotone : Suite dont la suite des termes est soit toujours non décroissante soit toujours non croissante, ce qui regroupe croissante et décroissante.
• Limite finie : Valeur vers laquelle les termes d’une suite se rapprochent quand l’indice $n$ devient très grand.
• Limite infinie : Cas où les termes d’une suite deviennent sans borne, en tendant vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ quand $n$ augmente.
• Suite sans limite : Suite pour laquelle il n’existe aucune valeur unique vers laquelle les termes se rapprochent quand $n$ tend vers $+\infty$.

📝 Points essentiels

• Une suite est croissante si et seulement si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}\ge u_n$.
• Une suite est décroissante si et seulement si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}\le u_n$.
• Une suite est constante si et seulement si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n$.
• On obtient la stricte croissance ou décroissance en remplaçant $\ge$ et $\le$ par $>$ et $<$, et la suite peut être croissante ou décroissante seulement à partir d’un rang $p$.
• Si la suite est croissante ou décroissante, on dit qu’elle est monotone, et on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour déterminer le sens de variation.
• Quand $n\to+\infty$, on note $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ si la suite tend vers $0$, et $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ ou $-\infty$ dans les cas de limite infinie.

📖 3. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme degré 2 : Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$."
• Coefficients a b c : Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont les paramètres de l’expression $ax^2+bx+c$ d’une fonction polynôme de degré 2.
• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction du second degré est une écriture du type $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Sommet de la parabole : Le sommet $S(\alpha;\beta)$ d’une parabole associé à $f(x)=ax^2+bx+c$ est le point où la courbe atteint son extremum et vérifie $x=\alpha$."

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on a $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$, ce qui donne la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Si $a>0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$, avec un minimum égal à $\beta$ atteint en $x=\alpha$.
• Si $a<0$, alors $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$, avec un maximum égal à $\beta$ atteint en $x=\alpha$.
• La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d’axe d’équation $x=\alpha$.
• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et si $a<0$, elle est tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $a>0$ extrémum bas, $a<0$ extrémum haut ; dans les deux cas, le pivot est $x=\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📖 4. Équations et factorisation du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant ∆ d’un trinôme ax2+bx+c vaut ∆=b2−4ac et sert à déterminer le nombre de solutions réelles de l’équation ax2+bx+c=0.
• Racines du trinôme : Les racines d’un trinôme ax2+bx+c sont les valeurs de x qui rendent ax2+bx+c égal à 0.
• Factorisation du trinôme : La factorisation d’un trinôme du second degré consiste à l’écrire sous forme a(x−x1)(x−x2) ou a(x−x0)2 selon ses racines.

📝 Points essentiels

• Si ∆>0, l’équation ax2+bx+c=0 admet deux solutions réelles distinctes x1=(−b−√∆)/(2a) et x2=(−b+√∆)/(2a), appelées racines du trinôme.
• Si ∆=0, l’équation ax2+bx+c=0 admet une unique solution réelle x0=−b/(2a), racine double.
• Si ∆<0, l’équation ax2+bx+c=0 n’admet pas de solution réelle.
• Si ∆>0, on factorise ax2+bx+c en a(x−x1)(x−x2) avec x1=(−b+√∆)/(2a) et x2=(−b−√∆)/(2a).
• Si ∆=0, on factorise ax2+bx+c en a(x−x0)2 avec x0=−b/(2a).
• Pour les racines x1 et x2 d’un trinôme ax2+bx+c, on a x1+x2=−b/a et x1×x2=c/a.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux racines ; Δ=0 : racine double ; Δ<0 : pas de racine réelle.

📖 5. Produit scalaire et premières propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est un réel noté $\vec u\cdot\vec v$ calculé à partir de leurs longueurs et de l’angle entre eux.
• Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est le point $H$ tel que la perpendiculaire issue de $C$ coupe $(AB)$ en $H$.
• Orthogonalité de vecteurs : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si les droites qu’ils dirigent sont perpendiculaires.

📝 Points essentiels

• Si $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$, alors $\vec u\cdot\vec v=AB\times AC\times \cos(\widehat{BAC}$, et si $\vec u=\vec0$ ou $\vec v=\vec0$ alors $\vec u\cdot\vec v=0$.
• Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires de même sens, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC$.
• Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires de sens contraires, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AC$.
• Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ quand $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens, et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$ sinon.
• Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ et $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$, et $\vec u\cdot(\lambda\vec v)=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$.
• Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec u\cdot\vec v=0$.

💡 Astuce mémo

Même sens ⇒ produit positif, sens contraire ⇒ produit négatif (et avec le projeté orthogonal : même sens $+$, sens contraire $-$).

📖 6. Orthogonalité, normes et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux quand leurs droites support sont perpendiculaires ; le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur mesure sa longueur et, dans un repère orthonormé, vaut
  8x^2+y^2 pour un vecteur $(x;y)$.
• Carré scalaire d’un vecteur : Le carré scalaire d’un vecteur u est le produit scalaire de u par lui-même, noté $u^2$ et égal à $u\cdot u$.
• Identités remarquables : Les identités relient les carrés de la somme et de la différence de deux vecteurs à leurs normes et à leur produit scalaire.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si $u\cdot v=0$.
• Dans une base orthonormée, deux vecteurs $u(x;y)$ et $v(x';y')$ sont orthogonaux ssi $xx'+yy'=0$.
• Dans une base orthonormée, la norme d’un vecteur $u(x;y)$ vaut $\|u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Pour tous vecteurs u et v, $(u+v)^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2$.
• Pour tous vecteurs u et v, $u\cdot v=\frac12(\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2)$.
• Pour tous vecteurs u et v, $u\cdot v=\frac12(\|u\|^2+\|v\|^2-\|u-v\|^2)$.

💡 Astuce mémo

Angle droit ↔ produit scalaire nul : $u\perp v \iff u\cdot v=0$ (et on peut aussi tester avec $xx'+yy'=0$).

📖 7. Travail d’une force et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : Le travail d’une force sur un déplacement rectiligne est le produit scalaire de la force par le vecteur déplacement.
• Vecteur déplacement : Le vecteur déplacement relie le point de départ et le point d’arrivée du mouvement rectiligne.
• Poids : Le poids est la force de pesanteur, de norme $mg$ avec $g=9{,}8\,\text{N·kg}^{-1}$.

📝 Points essentiels

• Le travail $W$ d’une force $\vec F$ sur le déplacement $\overrightarrow{AB}$ est $W=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}$ et s’exprime en joule si $\vec F$ est en newton et $AB$ en mètre.
• Si la force est perpendiculaire au déplacement, alors le produit scalaire vaut 0 et le travail est nul.
• Dans l’exercice, le poids gêne le déplacement car le produit scalaire $\vec P\cdot\overrightarrow{AB}$ est négatif.
• Pour une poutre de masse $60\,\text{kg}$ tirée sur $AB=30\,\text{m}$ avec une pente de $15^\circ$, l’angle entre $\vec P$ et $\overrightarrow{AB}$ vaut $105^\circ$, donc $W=9{,}8\times60\times30\times\cos(105^\circ)\approx-4566\,\text{J}$.
• Le signe du travail indique si la force favorise ($W>0$) ou freine ($W<0$) le mouvement rectiligne.

💡 Astuce mémo

Travail = produit scalaire = $|\vec F|\,|\overrightarrow{AB}|\,\cos(\text{angle})$ : cos et signe donnent si la force aide ou freine.

📖 8. Taux de variation et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre a et b est le rapport (f(b)−f(a))/(b−a) qui mesure la pente de la sécante.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux de variation (f(a+h)−f(a))/h quand h tend vers 0, si elle existe.
• Fonction affine : Une fonction affine s’écrit sous la forme f(x)=mx+p, avec une pente m constante et donc un taux de variation constant.
• Non-dérivabilité en un point : Une fonction peut ne pas être dérivable en a si le taux de variation ne tend pas vers une valeur unique quand h tend vers 0.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation de f entre a et b s’exprime par (f(b)−f(a))/(b−a), avec a≠b.
• Pour une fonction affine f(x)=mx+p, le taux de variation entre deux réels distincts a et b vaut toujours m.
• Si f est croissante sur l’intervalle, alors le taux de variation entre a et b est positif, et s’il est décroissant, il est négatif.
• Les réciproques ne sont pas vraies : un taux de variation positif (ou négatif) ne garantit pas que f est croissante (ou décroissante) sur tout l’intervalle.
• f est dérivable en a si et seulement si le taux de variation (f(a+h)−f(a))/h admet une limite unique quand h→0.
• Les fonctions x↦√x et x↦|x| ne sont pas dérivables en 0.

📖 9. Tangentes et applications de la dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : La tangente à une courbe en $a$ est la droite de pente égale au nombre dérivé $f'(a)$ et passant par le point $A(a;f(a))$.
• Équation de la tangente : L’équation réduite de la tangente en $a$ s’écrit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, avec $A(a;f(a))$ sur la droite.

📝 Points essentiels

• Quand $h\to 0$, la pente de la sécante vaut $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et tend vers $f'(a$), qui devient la pente de la tangente.
• Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente au point $A(a;f(a))$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Pour $x$ proche de $a$, la courbe est approximée localement par la tangente : $f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Pour tester si un point $S(x_S;y_S)$ appartient à la tangente en $a$, on vérifie que $y_S=f'(a)(x_S-a)+f(a)$.
• Pour déterminer une tangente, on combine $f(a)$ et la pente $f'(a)$ dans la formule $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Si $f(x)$ et la tangente sont évaluées près de $a$ avec des valeurs différentes de part et d’autre, la tangente et la courbe ne coïncident pas localement.

💡 Astuce mémo

Tangente = pente $f'(a)$ fois déplacement $(x-a)$ plus hauteur $f(a)$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 10. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la chance que B se produise sachant que A est déjà réalisé, pour P(A) non nul.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est une représentation où chaque branche porte une probabilité et où chaque chemin correspond à l’intersection d’évènements.
• Évènements composés : Les évènements composés correspondent à plusieurs étapes successives, dont la probabilité se calcule en suivant l’arbre.

📝 Points essentiels

• Si P(A) ≠ 0, alors $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ pour donner la probabilité de B sachant A.
• On a $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ et aussi $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$, donc en général $P_A(B)\neq P_B(A)$.
• Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un évènement correspondant à un chemin est le produit des probabilités des branches de ce chemin.
• Si $A_1,\dots,A_n$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout évènement B on a $P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i\cap B)$.
• Sur un arbre, si un évènement correspond à plusieurs chemins, sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = fraction : intersection sur probabilité de la condition ; arbre = produit le long d’un chemin.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant et factorisation

Variations d’une fonction du second degré selon a

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “croissante” (u_{n+1}≥u_n) et “strictement croissante” (u_{n+1}>u_n).
2. Croire qu’un taux de variation positif implique forcément une fonction croissante sur l’intervalle (réciproque fausse).
3. Oublier le cas spécial ∆=0 : il donne une racine double et la factorisation en carré (x−x0)^2.
4. Se tromper entre α=−b/(2a) (forme canonique) et les coordonnées du sommet S(α;β).
5. Utiliser une mauvaise formule du produit scalaire : confondre u·v et (u+v)^2, ou oublier le “1/2” des identités en normes.
6. Erreur de signe sur le travail : W=F⃗ ·AB⃗ est positif si la force “aide” (cos>0) et négatif si elle “freine” (cos<0).
7. Penser qu’une tangente “passe” toujours par un point S donné : il faut vérifier l’équation y=f'(a)(x−a)+f(a).

✅ Checklist Examen

1. Suites : définir un_n comme terme de rang n, savoir noter (u_n){n∈N} ou (u_n){n≥k}, distinguer formule explicite et définition par récurrence.
2. Sens de variation : décider croissante/décroissante/constante via u_{n+1}≥u_n, u_{n+1}≤u_n, u_{n+1}=u_n (et le critère strict).
3. Limite : reconnaître “lim n→+∞ u_n=0”, “=+∞/−∞” et “suite sans limite” (exemple u_n=(−1)^n).
4. Second degré : écrire f(x)=ax^2+bx+c, calculer α=−b/(2a) et β=f(α) pour la forme canonique, puis déterminer décroissance/croissance selon le signe de a.
5. Équations/factorisation : calculer ∆=b^2−4ac, donner les racines selon ∆>0/∆=0/∆<0 et factoriser en conséquence (avec somme et produit x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a).
6. Produit scalaire : utiliser la définition avec cos(∠) et les cas colinéaires, puis l’orthogonalité (u·v=0) et le critère en coordonnées xx'+yy'=0.
7. Normes et identités : appliquer ||u||=√(x^2+y^2) en base orthonormée, puis les identités (u+v)^2=||u||^2+2u·v+||v||^2 et les deux formules pour u·v via normes.
8. Travail (mécanique) : calculer W=F⃗ ·AB⃗ et interpréter le signe ; utiliser W=|F||AB|cos(angle).
9. Dérivation : calculer le taux de variation (f(b)−f(a))/(b−a) ; donner f'(a) comme limite et reconnaître l’absence de dérivabilité en 0 pour √x et |x|.
10. Tangente : écrire y=f'(a)(x−a)+f(a), déterminer l’équation à partir de f(a) et f'(a), et vérifier l’appartenance d’un point S(x_S;y_S) par substitution.
11. Probabilités conditionnelles : utiliser P_A(B)=P(A∩B)/P(A), relier P(A∩B)=P(A)×P_A(B) et savoir que P_A(B)≠P_B(A) en général.
12. Arbres pondérés : vérifier que les branches issues d’un nœud somment à 1, calculer une probabilité de chemin par produit des probabilités, et sommer sur plusieurs chemins (probabilités totales).