Fiche de révision : Systèmes, polynômes et statistiques

📋 Plan du Cours

1. Nombres et opérations élémentaires
2. Fractions, décimaux et pourcentages
3. Puissances et racines carrées
4. Expressions, équations et systèmes
5. Résolution des systèmes linéaires
6. Polynômes du second degré
7. Statistiques descriptives
8. Premières notions sur les fonctions
9. Fonctions de référence et translations
10. Dérivée et tangente
11. Règles de dérivation et variations
12. Probabilités et dénombrement
13. Variables aléatoires discrètes
14. Lois de Bernoulli et binomiale
15. Inéquations et tableaux de signe
16. Limites et asymptotes
17. Asymptotes des courbes
18. Continuité et valeurs intermédiaires

📖 1. Nombres et opérations élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Giuseppe Peano — sont les entiers positifs ou nuls tels que 0, 1, 2, 3 et 4

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour poser une addition, il faut: aligner les nombres en colonnes par la droite, additionner chaque colonne en commençant par les unités, reporter chaque retenue dans la colonne suivante

• Pour multiplier 123 par 7, on calcule successivement 7 × 3 = 21, puis 7 × 2 augmenté de la retenue, et enfin 7 × 1 augmenté de la retenue restante.

• Dans une expression contenant une addition et une multiplication, la multiplication est prioritaire sur l’addition, tandis que les opérations entre parenthèses sont prioritaires sur celles qui les entourent.

• La soustraction 4 − 7 n’est pas définie dans $\mathbb{N}$, car son résultat −3 appartient à l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$. — M. Dedekind

• Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs valeurs numériques et on applique la règle des signes : des signes identiques donnent un résultat positif et des signes différents donnent un résultat négatif.

💡 Astuce mémo

Additionner, multiplier, soustraire

📖 2. Fractions, décimaux et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : exprime le dividende comme le produit du diviseur par le quotient augmenté du reste, par exemple $456 = 123 × 3 + 87$
• Nombres décimaux : s’écrivent avec une partie entière avant la virgule et une partie décimale après la virgule
• Fraction : représente exactement une division et se note avec un numérateur au-dessus d’un dénominateur, comme $\frac{4}{3}$

📝 Points essentiels

📌 Une fraction ne peut pas avoir zéro au dénominateur, car il est impossible de diviser par zéro.

📐 Formule — Deux fractions sont égales lorsque le numérateur et le dénominateur sont multipliés par un même nombre non nul : $\frac{k×a}{k×b}=\frac{a}{b}$.

📐 Formule — Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut 100 ; ainsi 30 % de 90 € se calcule par $\frac{30}{100}×90=27$.

💡 Astuce mémo

Fraction exacte ≠ approximation décimale

📖 3. Puissances et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : indique qu’un nombre est multiplié par lui-même autant de fois que l’exposant le précise, par exemple $10^2=10×10=100$
• Racine carrée : est le nombre dont le carré est égal au nombre de départ, par exemple $\sqrt{9}=3$

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un même nombre $x$, les puissances vérifient $x^a×x^b=x^{a+b}$ et $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ lorsque les expressions sont définies.

Compléments

📌 La racine carrée de 2 n’est pas une fraction et appartient donc à l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, plus large que $\mathbb{Q}$.

💡 Astuce mémo

Le carré produit → la racine carrée défait

📖 4. Expressions, équations et systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : contient des lettres représentant des variables, comme $E(x)=x^2+x$, où $x$ est la variable
• Réduction : consiste à regrouper les monômes de même degré et à les ordonner généralement par degrés décroissants

📝 Points essentiels

• Évaluer une expression littérale en une valeur consiste à remplacer chaque occurrence de la variable par cette valeur puis à effectuer les calculs, par exemple $E(5)=5^2+5=30$.

📐 Formule — Développer une expression applique la distributivité : $k(a+b)=ka+kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

• Factoriser consiste à mettre un facteur commun en évidence ou à reconnaître une identité remarquable, par exemple $2x^3-3x^2=x^2(2x-3)$.

📌 Pour résoudre une équation, toute opération effectuée sur un membre de l’égalité doit être effectuée sur l’autre membre afin de conserver l’équivalence.

📌 Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul ; ainsi $(x-1)(2x+4)=0$ donne $x=1$ ou $x=-2$.

• Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution, on isole une inconnue dans une équation, on la remplace dans l’autre équation, puis on détermine la seconde inconnue.

💡 Astuce mémo

Évaluer, réduire, développer, factoriser, résoudre

📖 5. Résolution des systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de deux équations : Un système de deux équations à deux inconnues associe deux équations portant sur les mêmes inconnues, généralement notées x et y.

📝 Points essentiels

• Dans l'exemple des achats, le prix x d'un croissant et le prix y d'un pain au chocolat vérifient $2x+3y=5{,}60$ et $4x+y=5{,}20$.

• 🔄 La méthode de substitution suit trois étapes:

  1. Isoler une inconnue dans une équation
  2. Remplacer cette inconnue dans l'autre équation
  3. Calculer l'inconnue restante par substitution

• Pour le système des achats, la solution est x=1 et y=1,20, donc un croissant coûte 1 € et un pain au chocolat coûte 1,20 €.

• La méthode de Gauss consiste à multiplier les lignes par des nombres adaptés, puis à les additionner ou les soustraire afin d'éliminer une inconnue et de ramener le système à une équation à une inconnue. — Carl Gustav Friedrich Gauss, 1777-1855

📐 Formule — Pour le système $ax+by=\alpha$ et $cx+dy=\beta$, la méthode de Cramer donne $x=\frac{\alpha d-b\beta}{ad-bc}$ et $y=\frac{a\beta-\alpha c}{ad-bc}$. — Gabriel Cramer, 1704-1752

📌 Lorsque $ad-bc=0$, une réduction donnant une égalité vraie comme $0=0$ correspond à une infinité de solutions, tandis qu'une égalité impossible comme $0=1$ correspond à aucune solution.

💡 Astuce mémo

Substituer, combiner, appliquer Cramer

📖 6. Polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : Expression littérale de la forme $ax^n$, où x est l'inconnue, a le coefficient et n un entier positif ou nul.
• Polynôme : Expression composée d'une somme de monômes.
• Discriminant : Pour le polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'admet aucune solution réelle.

• Si $\Delta=0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Si $\Delta>0$, le polynôme se factorise selon $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Le discriminant détermine le nombre de solutions

📖 7. Statistiques descriptives

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique unidimensionnelle : Une étude statistique unidimensionnelle porte sur une seule caractéristique, appelée caractère ou variable, présente chez chaque individu d'une population.
• Médiane : La médiane est la modalité qui sépare l'effectif ordonné en deux parties, et elle vaut la moyenne des deux modalités centrales lorsqu'elle se trouve exactement entre elles.
• Variance : La variance d'une série statistique mesure les écarts quadratiques des modalités à la moyenne selon $V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\bar{x})^2$.
• Classe modale : Pour une série statistique continue, la classe modale est la classe dont l'effectif est le plus grand.
• Histogramme : Dans un histogramme, chaque classe est représentée par un rectangle dont la base correspond à l'intervalle de la classe et dont la hauteur est sa densité d'effectif.

📝 Points essentiels

📌 Une variable qualitative prend des valeurs littérales ou codées sans opérations arithmétiques pertinentes, tandis qu'une variable quantitative prend des valeurs numériques sur lesquelles ces opérations ont un sens.

📌 Une variable quantitative discrète prend un nombre fini de valeurs appelées modalités, tandis qu'une variable quantitative continue prend ses valeurs dans un intervalle découpé en classes.

📐 Formule — La fréquence relative d'une modalité $x_i$ est $f_i=\frac{n_i}{n}$, où $n_i$ est son effectif et n l'effectif total.

📐 Formule — La moyenne d'une série statistique est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_ix_i$.

📐 Formule — L'écart-type d'une série statistique est la racine carrée de sa variance, soit $\sigma=\sqrt{V}$.

💡 Astuce mémo

Position pour situer, dispersion pour étaler

📖 8. Premières notions sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Leonhard Euler, 1707-1783 — Une fonction associe à chaque valeur autorisée d'une variable une unique valeur, notée f(x), obtenue par une règle de transformation.
• Image : L'image d'un réel x par une fonction f est le réel f(x).
• Antécédent : Réel x tel que f(x)=y.
• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur ℝ par $f(x)=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

📝 Points essentiels

📌 Le domaine de définition exclut les valeurs qui annulent un dénominateur ou rendent négative l'expression sous une racine carrée.

📐 Formule — La droite passant par deux points distincts A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) a pour coefficient directeur $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

💡 Astuce mémo

Une fonction comme un four transforme une entrée en sortie

📖 9. Fonctions de référence et translations

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbes de référence : Les courbes de référence sont la droite de la fonction affine, la parabole de la fonction carré $f(x)=x^2$, l’hyperbole de la fonction inverse $f(x)=1/x$, la demi-parabole couchée de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ et les deux demi-droites de la fonction valeur absolue $f(x)=|x|$.

★ À maîtriser

• Pour tracer une droite représentative d’une fonction affine, il suffit de calculer les coordonnées de deux points distincts de la droite.

📐 Formule — Pour deux points distincts $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ avec $x_A\ne x_B$, le coefficient directeur de la droite qui les relie est $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

📌 La transformation $g(x)=f(x)+\beta$ translate la courbe de $f$ verticalement de $\beta$ unités, vers le haut si $\beta>0$ et vers le bas si $\beta<0$.

📌 La transformation $g(x)=f(x-\alpha)$ translate la courbe de $f$ horizontalement de $\alpha$ unités, vers la droite si $\alpha>0$ et vers la gauche si $\alpha<0$.

Compléments

• La droite passant par les points $(2{,}1)$ et $(1,-1)$ a pour équation $f(x)=2x-3$.

💡 Astuce mémo

La droite est affine, la parabole carrée, l’hyperbole inverse.

📖 10. Dérivée et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : La limite finie commune des taux de variation à gauche et à droite, lorsqu’elle existe, et se note $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
• Tangente : La droite à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour la fonction carré $f(x)=x^2$, la fonction dérivée est $f'(x)=2x$.

Compléments

• Pour la fonction carré, le calcul de la limite en $a=3$ donne $f'(3)=6$.

📐 Formule — Pour la fonction cube $g(x)=x^3$, la fonction dérivée est $g'(x)=3x^2$.

💡 Astuce mémo

Limite du taux de variation → nombre dérivé → tangente.

📖 11. Règles de dérivation et variations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un entier strictement positif $n$, la dérivée de $f(x)=x^n$ est $f'(x)=nx^{n-1}$.

📌 La dérivée d’une somme vérifie $(f+g)'=f'+g'$ et la dérivée d’un multiple constant vérifie $(\lambda f)'=\lambda f'$.

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(fg)'=f'g+g'f$.

📐 Formule — La dérivée d’un quotient vérifie $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}$ lorsque $g\ne0$.

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(f\circ g)'=(f'\circ g)\times g'$.

📌 Si une fonction dérivable a une dérivée positive sur un intervalle, elle y est croissante, et si sa dérivée est négative, elle y est décroissante.

💡 Astuce mémo

Dériver, étudier le signe, conclure sur les variations.

📖 12. Probabilités et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers des possibilités : L’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire, noté généralement $\Omega$.
• Événement : Un sous-ensemble de l’univers des possibilités $\Omega$.
• Indépendance : Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Probabilité conditionnelle : Si $P(B)\ne0$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

★ À maîtriser

• Pour des issues équiprobables, la probabilité d’un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

📐 Formule — Pour un entier strictement positif $n$, la factorielle est définie par $n!=1\times2\times\cdots\times n$, avec $0!=1$.

📐 Formule — L’arrangement de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ et la combinaison de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

📌 Pour un tirage de $p$ éléments parmi $n$, le nombre de possibilités est $n^p$ avec remise, $A_n^p$ sans remise lorsque l’ordre compte, et $C_n^p$ en tirage simultané lorsque l’ordre ne compte pas.

📐 Formule — Les probabilités vérifient $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$, $P(A^c)=1-P(A)$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📐 Formule — Pour une partition $(\Omega_i)_i$ de l’univers, la formule des probabilités totales est $P(A)=\sum_i P(A\mid\Omega_i)P(\Omega_i)$.

Compléments

📐 Formule — La probabilité d’un événement $A$ est définie par $P(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{\text{nombre de succès}}{\text{nombre de tentatives}}$.

💡 Astuce mémo

Univers → événements → dénombrement → probabilités conditionnelles.

📖 13. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Fonction qui associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel.
• Support : Ensemble des valeurs x telles que la probabilité P(X=x) est non nulle.
• Loi d’une variable aléatoire : Donne la probabilité P(X=x) pour chaque valeur x de son support.
• Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire discrète est sa valeur moyenne et se calcule par $E(X)=\sum_{x\in\mathrm{Supp}(X)}xP(X=x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des probabilités de toutes les valeurs du support vaut $\sum_{x\in\mathrm{Supp}(X)}P(X=x)=1$.

📐 Formule — La variance d’une variable aléatoire X est $V(X)=E\left((X-E(X))^2\right)$ et son écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Compléments

• Pour deux dés non truqués, la variable aléatoire correspondant à la somme associe à chaque couple de résultats la somme des deux valeurs obtenues.

📐 Formule — La formule de König-Huygens donne $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$.

💡 Astuce mémo

Univers → variable → support → loi

📖 14. Lois de Bernoulli et binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, notée $X\sim\mathcal{B}(p)$, lorsque son support est {0,1} et que $P(X=1)=p$.
• Loi binomiale : Variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de n épreuves indépendantes de probabilité de succès p.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une loi de Bernoulli de paramètre p, $P(X=0)=1-p$, $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.

📐 Formule — Pour $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, on a $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

Compléments

• Dans le jeu décrit, gagner exige d’obtenir un nombre pair au premier lancer puis un 6 au second, donc la probabilité de gagner est $\frac12\times\frac16=\frac1{12}$.

• Pour 8 réponses choisies au hasard parmi 4 propositions, le nombre de bonnes réponses suit $X\sim\mathcal{B}(8,\frac14)$ et la probabilité d’obtenir exactement 4 bonnes réponses est d’environ 0,087, soit environ 9 %.

💡 Astuce mémo

Bernoulli : un succès-échec ; binomiale : plusieurs essais

📖 15. Inéquations et tableaux de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs réelles pour lesquelles elle a un sens.

📝 Points essentiels

• Une union d’intervalles correspond à un « ou » et se note ∪, tandis qu’une intersection correspond à un « et » et se note ∩.

• Pour déterminer le domaine de définition, il faut exclure les valeurs qui annulent un dénominateur et imposer que le contenu de chaque racine carrée soit positif ou nul.

• Pour étudier le signe d’un produit ou d’un quotient, on ordonne les valeurs qui annulent les facteurs ou les dénominateurs, puis on combine les signes dans un tableau de signe.

• Pour un trinôme ax²+bx+c avec a≠0, si le discriminant est négatif, le trinôme garde le signe de a ; s’il est nul, il garde ce signe sauf en sa racine double ; s’il est positif, il a le signe de a à l’extérieur des deux racines et le signe opposé entre elles.

💡 Astuce mémo

Valeurs interdites → domaine → tableau de signe → solutions

📖 16. Limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : Décrit le comportement de ses valeurs lorsque la variable se rapproche d’une valeur ou tend vers un infini, sans nécessairement atteindre cette valeur.
• Asymptote horizontale : Droite y=b telle que la limite de f(x) vaut b lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞.
• Asymptote verticale : La droite x=a est une asymptote verticale lorsque f(x) tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers a par la droite ou par la gauche.
• Asymptote oblique : La droite y=ax+b est une asymptote oblique lorsque $\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-(ax+b))=0$.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction continue en a appartenant à son domaine de définition, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

• Les quatre formes indéterminées nécessitant une transformation de l’expression sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac00$ et $\frac\infty\infty$.

• À l’infini, la limite d’un polynôme est déterminée par son terme de plus haut degré.

💡 Astuce mémo

Horizontale : y=b ; verticale : x=a ; oblique : y=ax+b

📖 17. Asymptotes des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : La droite $y=b$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ ou en $-\text{∞}$ lorsque la limite de $f(x)$ à l’infini considéré vaut $b$.
• Asymptote oblique : La droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique lorsque $f(x)-(ax+b)$ tend vers 0 à l’infini considéré.

📝 Points essentiels

📌 Les droites asymptotes d’une courbe sont de trois types : horizontale d’équation $y=b$, verticale d’équation $x=a$ et oblique d’équation $y=ax+b$.

• Pour déterminer une asymptote oblique, on calcule d’abord $a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$, puis $b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$ ; si ces deux limites existent, l’asymptote est $y=ax+b$.

💡 Astuce mémo

Horizontale à l’infini, verticale au voisinage d’un point, oblique par différence nulle

📖 18. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Si une fonction est continue sur un intervalle $I$, avec $f(a)=\alpha$ et $f(b)=\beta$, alors tout réel $\gamma$ situé entre $\alpha$ et $\beta$ est l’image d’au moins un réel $c$ situé entre $a$ et $b$.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, où $r$ est sa raison, et son terme général est $u_n=u_0+nr$.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$, où $q$ est sa raison, et son terme général est $u_n=u_0q^n$.
• Logarithme népérien : Pour $a>0$, le logarithme népérien $\ln(a)$ est l’aire algébrique comprise entre l’axe des abscisses, les droites $x=1$ et $x=a$, et la courbe de la fonction inverse.
• Exponentielle : L’unique solution de l’équation ln(x)=a

📝 Points essentiels

• Si la fonction est en plus strictement monotone sur l’intervalle, le réel $c$ tel que $f(c)=\gamma$ est unique.

• Une suite explicite donne directement $u_n$ en fonction de $n$, tandis qu’une suite récurrente calcule un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents et nécessite une valeur initiale.

• Pour une suite arithmétique, si $r>0$ elle est strictement croissante et tend vers $+\text{∞}$, si $r<0$ elle est strictement décroissante et tend vers $-\text{∞}$, et si $r=0$ elle est constante.

📐 Formule — La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q$ est $u_\alpha+\cdots+u_\beta=u_\alpha\frac{1-q^{\beta-\alpha+1}}{1-q}$.

📌 Le logarithme népérien est défini sur $]0,+\infty[\mathclose{}$, vérifie $\ln(1)=0$, est négatif sur $]0{,}1[\mathclose{}$ et positif sur $]1,+\infty[\mathclose{}$.

📐 Formule — Pour tout $x>0$, la dérivée du logarithme népérien est $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.

📐 Formule — Si $u(x)>0$, alors $\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$.

📐 Formule — Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

📌 Le logarithme népérien est strictement croissant sur $]0,+\infty[\mathclose{}$, tend vers $-\infty$ lorsque $x\to0^+$ et tend vers $+\text{∞}$ lorsque $x\to+\text{∞}$.

📐 Formule — Pour tout $\alpha>0$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0$.

💡 Astuce mémo

Continuité sur un intervalle → toute valeur intermédiaire est atteinte

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et solutions

Types de tirages