Fiche de révision : Techniques fondamentales en suites et limites

📋 Plan du Cours

1. Récurrence et démonstration
2. Point fixe et limite
3. Comparaison de limites
4. Théorème des gendarmes
5. Formes indéterminées
6. Bornes et encadrement
7. Variations de suites
8. Théorèmes et définitions des suites
9. Suites géométriques
10. Suites arithmétiques

📖 1. Récurrence et démonstration

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence : Méthode de preuve où l’on montre qu’une propriété vraie au rang initial reste vraie d’un rang au suivant, donc pour tous les rangs suivants.
• Initialisation : Étape de récurrence où l’on vérifie que la propriété est vraie au premier rang (souvent $n=0$ ou $n=1$).
• Hérédité : Étape de récurrence où, en supposant la propriété vraie pour un rang $n$, on prouve qu’elle est vraie pour $n+1$.
• Conclusion : Étape où l’on combine initialisation et hérédité pour conclure que la propriété est vraie pour tout $m \ge m_0$.

📝 Points essentiels

• Pour une récurrence, on structure la preuve en trois blocs : initialisation, hérédité, puis conclusion générale.
• En pratique, l’initialisation porte sur un rang de départ $n_0$ et l’hérédité prouve $P_n\Rightarrow P_{n+1}$.
• Exemple : avec $U_0=5$ et $U_{m+1}=2U_m-1$, la récurrence sur $P_m:U_m\ge 2$ donne $U_{m+1}\ge 2$ et donc la minorisation par $2$.
• Dans l’exemple, de $U_m\ge 2$ on déduit $2U_m\ge 4$ puis $2U_m-1\ge 3\ge 2$.
• La conclusion s’écrit sous la forme : si $P_{m_0}$ est vraie et si $P_m$ vraie implique $P_{m+1}$ vraie, alors $P_m$ vraie pour tout $m\ge m_0$.

💡 Astuce mémo

Schéma récurrence : Initialiser (base) → Hérédité (pont $n\to n+1$) → Conclure (tout le train de rangs).

📖 2. Point fixe et limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème du point fixe : Résultat qui garantit, pour une suite définie par $u_{m+1}=f(u_m)$, que sa limite
  l (si elle existe) vérifie $f(l)=l$.
• Intervalle $I$ : Ensemble de départ dans lequel $f$ est définie et continue, et qui contient la valeur initiale $u_0$.
• Équation du point fixe : Équation $f(x)=x$ dont les solutions peuvent être des limites de la suite quand la convergence est assurée.

📝 Points essentiels

• On pose $U_{m+1}=g(U_m)$ et on cherche les solutions de $g(x)=x$ pour identifier la limite.
• Le point fixe s’applique si $g$ est continue sur un intervalle $I$ contenant toutes les valeurs possibles de la suite, et si la suite converge vers
  l.
• Si $U_m\to \ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell$ est une solution de $f(x)=x$.
• Exemple : $U_{m+1}=\tfrac12\big(U_m+\tfrac{2}{U_m}\big)$, avec $U_m>1$, mène à $g(x)=x\Rightarrow x^2=2$, donc $\ell=+\sqrt2$ car $-\sqrt2\notin]1,+\infty[$.
• Dans l’exemple, la fonction $g(x)=\tfrac12\big(x+\tfrac{2}{x}\big)$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$, intervalle compatible avec les valeurs de la suite.

💡 Astuce mémo

Point fixe = limite qui s’auto-valide : si $\ell$ est limite, alors $\ell=g(\ell)$.

📖 3. Comparaison de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de comparaison : Résultat qui déduit la limite d’une suite à partir d’une inégalité de comparaison avec une autre suite, dont la limite est connue.
• Majorant / minorant : Inégalité de la forme $U_m\le V_m$ ou $U_m\ge V_m$ qui permet de transférer des divergences vers $\pm\infty$.

📝 Points essentiels

• Si $U_m\le V_m$ pour tout $m$ et si $V_m\to +\infty$, alors $U_m\to +\infty$.
• Si $U_m\le V_m$ pour tout $m$ et si $V_m\to -\infty$, alors $U_m\to -\infty$.
• Le sens de l’inégalité et le signe de l’infini déterminent le transfert correct de la limite.
• La comparaison se fait à partir d’un certain rang : on établit des inégalités stables puis on regarde la limite du terme comparé.
• Le théorème est formulé pour conclure des limites infinies à partir d’une borne (pas une valeur finie dans l’extrait).

💡 Astuce mémo

Comparaison : même direction d’infini via l’inégalité $U_m\le V_m$ : si $V_m\to$ un infini, $U_m$ suit dans le même sens.

📖 4. Théorème des gendarmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des gendarmes : Résultat où une suite prise entre deux autres ayant la même limite permet d’en déduire la limite commune.
• Encadrement : Situation où, pour tout $m$, on a $u_m\le v_m\le w_m$ afin de contrôler $v_m$ par $u_m$ et $w_m$.

📝 Points essentiels

• Si $u_m\le v_m\le w_m$ pour tout $m$ et si $u_m\to L$ et $w_m\to L$ avec $L\in\mathbb{R}$, alors $v_m\to L$.
• La méthode consiste à trouver deux suites $(l_m)$ et $(W_m)$ telles que $U_m\le l_m\le W_m$ à partir d’un certain rang.
• La limite $\ell$ doit être finie et commune aux deux bornes pour conclure $\lim l_m=\ell$.
• Exemple : $\ell_m=\tfrac{3m^2+(-1)^m}{m^2}$ s’écrit avec $-1\le(-1)^m\le 1$, donc l’encadrement mène à $\ell_m\to 3$.
• Dans l’exemple, on utilise $\lim(\tfrac{\pm1}{m^2}+3)=3$ pour les deux bornes afin d’obtenir la limite du quotient original.

💡 Astuce mémo

Gendarmes : deux barrières qui finissent au même endroit forcent la suite du milieu à y arriver.

📖 5. Formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Situation où, en évaluant directement l’expression, on obtient une valeur non déterminée comme $\infty-\infty$ ou $+\infty/+\infty$.
• Quantité conjuguée : Expression obtenue en multipliant par la somme quand on rencontre une différence de racines du type $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.
• Factorisation : Technique de mise en évidence d’un facteur commun (ici une puissance dominante) pour simplifier puis lever l’indétermination.

📝 Points essentiels

• Pour $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ de type $\infty-\infty$, on multiplie par la quantité conjuguée pour transformer la différence en quotient plus simple.
• L’identité utilisée est de la forme $(a-b)(a-b)=a^2-b^2$, appliquée via la multiplication par la somme dans l’extrait.
• Exemple : $U_m=\sqrt{m}-\sqrt{m+1}$ se transforme en $U_m=-\tfrac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{m+1}}$ puis tend vers $0$ car le dénominateur tend vers $+\infty$.
• Pour une forme indéterminée $\, +\infty / +\infty\,$, on factorise par la plus grande puissance de $m$ pour obtenir une expression dont la limite est évidente.
• Exemple : $U_m=\tfrac{3m^3+2}{m^4+2m}$ se ramène à une expression du type $\tfrac{\frac{3}{m}+\frac{2}{m^4}}{1+\frac{2}{m^3}}$ et tend vers $0$.
• Exemple : $U_m=\tfrac{\sqrt{m}}{m}$ s’écrit $U_m=\tfrac{1}{\sqrt{m}}$ et donc $U_m\to 0$.

💡 Astuce mémo

Lever une indétermination : différence de racines → conjuguée ; fraction de polynômes → on factorise la puissance dominante.

📖 6. Bornes et encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Suite pour laquelle il existe un réel $M$ tel que $u_m\le M$ pour tous les indices considérés.
• Suite minorée : Suite pour laquelle il existe un réel $m$ tel que $u_m\ge m$ pour tous les indices considérés.

📝 Points essentiels

• Pour montrer qu’une suite est majorée, on exhibe un majorant $M$ puis on conclut que $U_m\le M$ (à partir des indices concernés).
• Pour montrer qu’une suite est minorée, on exhibe un minorant $m$ puis on conclut que $U_m\ge m$.
• Dans l’exemple $U_m=\tfrac{2m^2+4}{m^2}=2+\tfrac{4}{m^2}$ avec $m\in\mathbb{N}^*$, on a $0<\tfrac{1}{m^2}<1$ donc $0<\tfrac{4}{m^2}<4$.
• On en déduit $2<2+\tfrac{4}{m^2}<6$, donc la suite est majorée par $6$ et minorée par $2$.
• Le test clé dans l’exemple est l’encadrement de $\tfrac{1}{m^2}$ grâce à $m^2>1$ pour $m\in\mathbb{N}^*$.

💡 Astuce mémo

Cherche deux bornes faciles : réécriture + encadrement de la fraction restante (souvent $\tfrac{1}{m^2}$).

📖 7. Variations de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Propriété d’une suite monotone à déterminer : croissante, décroissante, ou les deux selon le rang.
• Suite croissante : Suite vérifiant $u_{m+1}\ge u_m$ pour tout $m$ de l’ensemble d’étude.
• Suite décroissante : Suite vérifiant $u_{m+1}\le u_m$ pour tout $m$ de l’ensemble d’étude.
• Suite monotone : Suite qui est soit croissante soit décroissante sur son domaine d’étude.

📝 Points essentiels

• La méthode dépend du type d’expression : on peut comparer $u_{m+1}$ à $u_m$ (différence) ou étudier un rapport $u_{m+1}/u_m$ (produit).
• Pour une suite affine $u_m=g(m)$, le signe du coefficient directeur de $g$ fixe le sens : coefficient négatif implique décroissance.
• Exemple : $U_m=2-\tfrac{m}{4}$ donne $g(x)=-\tfrac14 x+2$ donc $g$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty]$ et la suite aussi.
• Exemple : pour $U_m=2m^2-7m-2$, on étudie $g(x)=2x^2-7x-2$ ; le minimum est en $x=\tfrac{7}{4}=1{,}75$ et la suite est strictement croissante à partir de $n=2$.
• En méthode “variation”, on peut utiliser une étude de fonction via l’encadrement des valeurs entières $m$ (remplacement $m\mapsto x$) pour conclure sur les variations de la suite.

💡 Astuce mémo

Variations : décroissance par coefficient directeur < 0 ; montée après le sommet quand $g$ est un trinôme avec $a>0$.

📖 8. Théorèmes et définitions des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Suite dont la suite des termes admet une limite finie.
• Suite divergente : Suite dont la limite n’est pas finie : elle diverge vers $\pm\infty$ ou n’a pas de limite.
• Point clé convergence : Association d’une propriété de monotonie et d’une propriété de bornes menant à la convergence dans l’extrait.

📝 Points essentiels

• Définitions : $u_{m+1}\ge u_m$ caractérise une suite croissante et $u_{m+1}\le u_m$ une suite décroissante.
• Une suite convergente admet une limite finie, tandis qu’une suite divergente n’admet pas de limite finie (elle peut aller vers $\pm\infty$).
• Règle de convergence citée : suite croissante + majorée implique convergence.
• Règle de convergence citée : suite décroissante + minorée implique convergence.
• Le tableau de limites rappelle notamment que si $u_m\to 0$ et $v_m\to \ell\ne 0$, alors $\tfrac{u_m}{v_m}\to 0$ (et indique aussi des cas “FI” en cas d’indétermination).

💡 Astuce mémo

Croissante bornée (haut) → convergence ; décroissante bornée (bas) → convergence.

📖 9. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite où le quotient $\tfrac{U_{m+1}}{U_m}$ est constant (et où $U_m\ne 0$).
• **Raison $q** : Constante de la suite géométrique donnée par$q=\tfrac{U_{m+1}}{U_m}$.
• Formule explicite : Expression directe de $U_m$ en fonction de $U_0$ et de $q^m$ pour les suites géométriques.

📝 Points essentiels

• Pour montrer qu’une suite est géométrique, il faut prouver que $\tfrac{U_{m+1}}{U_m}=q$ est indépendante de $m$ et que $U_m\ne 0$.
• Formules : on a $U_{m+1}=U_m\,q$ et $U_m=U_0\,q^m$ (ou variantes à partir de $U_1$ ou $U_p$).
• Raison : $R=\tfrac{U_{m+1}}{U_m}$ ; si $q>1$ alors la suite augmente, si $0<q<1$ elle diminue, et si $q<0$ le sens n’est pas celui d’une seule suite monotone.
• Somme géométrique : $\sum_{k=0}^m U_k=U_0\,\tfrac{1-q^{m+1}}{1-q}$ pour $q\ne 1$, formule aussi donnée sous forme $\sum q^k=\tfrac{1-q^{m+1}}{1-q}$.
• Limites quand $U_m$ est positive : si $-1<q<1$ alors $U_m\to 0$, si $q=1$ alors $U_m\to 1$, si $q>1$ alors $U_m\to +\infty$ et si $q\le -1$ la limite n’existe pas.

💡 Astuce mémo

Géo : même quotient $q$ ; puis limite selon $q$ : entre -1 et 1 → 0, égal 1 → 1, >1 → $+\infty$.

📖 10. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont la différence consécutive $U_{m+1}-U_m$ est constante et indépendante de $m$.
• **Raison $R** : Constante d’incrément dans une suite arithmétique, donnée par$R=U_{m+1}-U_m$.

📝 Points essentiels

• Pour montrer qu’une suite est arithmétique, il faut vérifier que $U_{m+1}-U_m=R$ est indépendante de $m$.
• Formules : $U_{m+1}=U_m+R$ et $U_m=U_0+mR$ (ou variantes à partir de $U_1$ ou $U_p$).
• Raison : $R=U_{m+1}-U_m$ ; si $R>0$ la suite est croissante, si $R<0$ elle est décroissante.
• Somme arithmétique : $\sum_{k=0}^m U_k=(m+1)\,\tfrac{U_0+U_m}{2}$, et $\sum_{k=0}^m k=\tfrac{m(m+1)}{2}$.
• Limites : si $U_m=U_0+mR$ et $R>0$ alors $U_m\to +\infty$, et si $R<0$ alors $U_m\to -\infty$.

💡 Astuce mémo

Arith : même incrément $R$ à chaque pas ; somme = moyenne des extrêmes × nombre de termes.

📊 Tableaux de synthèse

Limites des suites géométriques (positives)

Limites des suites arithmétiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. En récurrence, confondre l’hérédité (passer de $n$ à $n+1$) avec l’initialisation (vérification au rang de départ) fait perdre la logique de preuve.
2. Pour le point fixe, oublier de choisir la solution de $g(x)=x$ compatible avec l’intervalle où vivent les valeurs (comme $-\sqrt2$ incompatible avec $]1,+\infty[$).
3. Dans le théorème des gendarmes, utiliser deux bornes dont les limites ne coïncident pas en $\ell$ empêche de conclure la limite de la suite du milieu.
4. Avec la comparaison, inverser l’inégalité (par exemple prendre $U_m\ge V_m$ au lieu de $U_m\le V_m$) peut conduire à une conclusion sur le mauvais sens de $\pm\infty$.
5. Lorsqu’on applique la méthode conjuguée, ne pas rationaliser correctement laisse une expression encore sous forme non exploitable pour la limite.
6. Pour une suite géométrique, oublier la condition $U_m\ne 0$ rend invalide la définition de la raison $q=U_{m+1}/U_m$.
7. Pour une suite arithmétique, confondre $R=U_{m+1}-U_m$ avec un autre écart mène à une formule explicite incorrecte.

✅ Checklist Examen

1. Savoir structurer une preuve par récurrence : initialisation au rang $n_0$, hérédité $P_n\Rightarrow P_{n+1}$, puis conclusion pour tout $m\ge m_0$.
2. Être capable d’utiliser l’exemple $U_0=5$, $U_{m+1}=2U_m-1$ pour montrer $U_m\ge 2$ par récurrence.
3. Savoir appliquer le théorème du point fixe : écrire $U_{m+1}=g(U_m)$, résoudre $g(x)=x$, puis choisir la solution dans l’intervalle des valeurs.
4. Pour l’exemple du point fixe $g(x)=\tfrac12(x+\tfrac{2}{x})$, calculer les solutions ($\pm\sqrt2$) et justifier le choix $+\sqrt2$ via $U_m>1$.
5. Savoir appliquer le théorème de comparaison quand $U_m\le V_m$ : déduire $U_m\to+\infty$ si $V_m\to+\infty$ et $U_m\to-\infty$ si $V_m\to-\infty$.
6. Savoir appliquer le théorème des gendarmes : encadrer $u_m\le v_m\le w_m$ puis conclure $v_m\to L$ si $u_m\to L$ et $w_m\to L$.
7. Être capable de lever une indétermination $\infty-\infty$ avec une quantité conjuguée et l’exemple $\sqrt{m}-\sqrt{m+1}\to 0$.
8. Être capable de lever une indétermination $+\infty/+\infty$ par factorisation (puissance dominante) et d’obtenir une expression dont la limite vaut $0$ dans les exemples donnés.
9. Savoir démontrer qu’une suite est majorée ou minorée en calculant et en encadrant la forme réécrite (exemple $2+\tfrac{4}{m^2}$).
10. Maîtriser les définitions : croissante, décroissante, majorée, minorée, convergente, divergente.
11. Savoir déterminer le sens de variation via $u_{m+1}-u_m$ (P1) et via $\tfrac{u_{m+1}}{u_m}$ avec condition $u_m>0$ (P2), et via passage à une fonction $g(x)$ (P3).
12. Connaître les critères de convergence cités : croissante + majorée, décroissante + minorée.
13. Savoir caractériser une suite géométrique : $\tfrac{U_{m+1}}{U_m}=q$ constant et $U_m\ne 0$, puis utiliser les formules et les limites selon $q$ (cas $-1<q<1$, $q=1$, $q>1$, $q\le-1$).
14. Savoir caractériser une suite arithmétique : $U_{m+1}-U_m=R$ constant, puis utiliser les formules, la somme et les limites selon le signe de $R$.