f(bb)=bb
Explication
La limite d'une suite définie par itération d'une fonction continue est un point fixe de cette fonction. On doit donc avoir f(bb)=bb.
La différence U_{m+1}-U_m est constante
Explication
Une suite arithmétique est définie par une différence constante entre deux termes consécutifs. Le quotient constant définit au contraire une suite géométrique.
Étudier le signe de la dérivée ou la monotonie de g sur l’intervalle considéré
Explication
Quand une suite est donnée par U_m = g(m), on peut étudier les variations de la fonction g pour en déduire celles de la suite. Le point fixe et les gendarmes concernent d’autres problèmes.
Les deux suites encadrantes doivent tendre vers le même réel L
Explication
Le théorème des gendarmes fonctionne quand la suite du milieu est prise entre deux suites ayant la même limite finie. Alors la suite encadrée a la même limite L.
Que la propriété vraie au rang n entraîne sa vérité au rang n+1
Explication
L'hérédité établit l'implication P_n P_{n+1}. C'est le pont logique qui permet, avec l'initialisation, de conclure pour tous les rangs suivants.
Une suite dont la limite est finie
Explication
Une suite convergente admet une limite finie. Le fait d’être croissante ou positive ne suffit pas à garantir la convergence.
u_n v_n et v_n -
Explication
Si u_n v_n et que v_n tend vers - , alors u_n est encore plus petit et tend aussi vers - . C'est le cas de comparaison mentionné pour les limites infinies.
Il existe un réel M tel que tous ses termes soient inférieurs ou égaux à M
Explication
Une suite majorée est définie par l’existence d’un majorant réel M vérifiant u_m M pour tous les indices considérés. La positivité ou l’existence d’une limite finie ne caractérisent pas à elles seules la majoration.
En factorisant par la plus grande puissance de m
Explication
Pour une fraction de polynômes, on factorise par la puissance dominante afin de faire apparaître des termes en 1/m qui s'annulent à la limite. C'est la méthode utilisée pour obtenir une limite évidente, souvent 0.
+fty
Explication
Quand la raison R est positive, les termes augmentent sans borne et la suite tend vers +∞. Si R était négative, la suite tendrait vers -∞.
u_n tend aussi vers +
Explication
Quand une suite est majorée par une suite qui diverge vers + , elle diverge elle aussi vers + . Le sens de l'inégalité est ici compatible avec le transfert de la divergence.
Le quotient U_{m+1}/U_m est constant et U_m n’est pas nul
Explication
Une suite géométrique est définie par un quotient constant U_{m+1}/U_m, ce qui exige U_m 0. La différence constante correspond à une suite arithmétique.
2 < U_m < 6
Explication
Comme 0 < 4/m^2 < 4, on obtient 2 < 2 + 4/m^2 < 6. Cela montre que la suite est minorée par 2 et majorée par 6.
Multiplier par la quantité conjuguée
Explication
La multiplication par la quantité conjuguée transforme la différence de racines en une expression plus simple à étudier. Dans l'exemple, on obtient un quotient dont le dénominateur tend vers + , donc la limite est 0.
0
Explication
Pour une suite géométrique positive, si -1 < q < 1, les termes décroissent vers 0. La valeur 1 correspond au cas q = 1.
L'initialisation
Explication
L'initialisation vérifie que la propriété est vraie au premier rang, souvent au rang 0 ou 1. L'hérédité intervient ensuite pour passer de n à n+1.
2
Explication
En résolvant g(x)=x, on obtient x^2=2, donc x=b12. Comme les valeurs de la suite sont dans ]1,+ [ , seule la solution positive convient.
Une suite croissante et majorée converge
Explication
Le critère donné est : suite croissante + majorée implique convergence. De même, une suite décroissante et minorée converge, mais pas une suite décroissante majorée.
Elle est strictement décroissante
Explication
La suite est affine de coefficient directeur négatif, donc elle est strictement décroissante. Un coefficient directeur positif conduirait au contraire à une croissance.
Parce qu'elle est encadrée entre deux suites qui tendent toutes deux vers 3
Explication
On utilise -1 (-1)^m 1, puis on encadre la suite entre 3-1/m^2 et 3+1/m^2, qui tendent toutes deux vers 3. Le gendarme permet alors de conclure.
Mémorisez les réponses avec 20 flashcards sur Techniques fondamentales en suites et limites.
Récurrence — définition ?
Méthode de preuve par étape
Initialisation — étape ?
Vérification au premier rang
Hérédité — rôle ?
Preuve pour $n+1$ à partir de $n$
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