Fiche de révision : ch8

📋 Plan du Cours

1. Théorème de la hauteur sur l’hypoténuse
2. Théorèmes des côtés de l’angle droit

📖 1. Théorème de la hauteur sur l’hypoténuse

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle avec un angle droit, ce qui permet d’utiliser les relations métriques liées à l’hypoténuse et aux projections.
• Hauteur relative à l’hypoténuse : Segment issu du sommet de l’angle droit et perpendiculaire à l’hypoténuse, dont les intersections définissent deux longueurs sur l’hypoténuse.

📝 Points essentiels

• Dans tout triangle rectangle, le carré de la hauteur relative à l’hypoténuse vaut le produit des deux segments déterminés sur l’hypoténuse, soit $BD^2=AD\cdot DC$.
• Sur l’exemple, $3^2=2{,}25\cdot 4$ illustre l’égalité du théorème pour des valeurs numériques précises.

📖 2. Théorèmes des côtés de l’angle droit

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale sur l’hypoténuse : Projection perpendiculaire d’un côté de l’angle droit sur l’hypoténuse, donnant des segments qui interviennent dans les égalités métriques.
• Côtés de l’angle droit : Les deux côtés qui forment l’angle droit d’un triangle rectangle, notés ici $AB$ et $BC$.

📝 Points essentiels

• Dans tout triangle rectangle, le carré d’un côté de l’angle droit vaut le produit de l’hypoténuse par la longueur de sa projection sur l’hypoténuse, soit $AB^2=AD\cdot AC$.
• Toujours dans tout triangle rectangle, on a aussi $BC^2=CD\cdot AC$, ce qui relie l’autre côté à la même hypothénuse via son segment projeté.
• Sur l’exemple, $AB^2=2{,}25\cdot 6{,}25$ donne $AB=\sqrt{14{,}0625}$ puis $BC^2=4\cdot 6{,}25$ donne $BC=5$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la hauteur relative à l’hypoténuse avec une simple médiane : ici la hauteur est perpendiculaire à l’hypoténuse.
2. Mélanger les produits : pour la hauteur on multiplie les deux segments $AD$ et $DC$, alors que pour un côté on multiplie l’hypoténuse par un seul segment projeté.
3. Inverser les notations sur les longueurs projetées (par exemple remplacer $AD$ par $DC$) conduit à une égalité fausse.
4. Oublier que les égalités portent sur les carrés (ex. $BD^2$ et $AB^2$), pas sur les longueurs directement.
5. Se tromper dans l’évaluation numérique : $\sqrt{14{,}0625}$ est l’expression donnée pour $AB$ et ne se remplace pas arbitrairement sans calcul cohérent.
6. Utiliser la mauvaise formule pour calculer un côté quand on connaît des segments sur l’hypoténuse : il faut savoir si on applique le théorème de la hauteur ou celui du côté.

✅ Checklist Examen

1. Savoir énoncer le théorème de la hauteur sur l’hypoténuse sous la forme $BD^2=AD\cdot DC$.
2. Savoir utiliser les notations : $BD$ est la hauteur relative à l’hypoténuse et $AD$ et $DC$ sont les segments sur l’hypoténuse.
3. Savoir énoncer le théorème du côté $AB$ : $AB^2=AD\cdot AC$.
4. Savoir énoncer le théorème du côté $BC$ : $BC^2=CD\cdot AC$.
5. Savoir reconnaître quel côté correspond à quel produit selon la projection orthogonale sur l’hypoténuse.
6. Savoir refaire les calculs de l’exemple : $3^2=2{,}25\cdot 4$ et $AB^2=2{,}25\cdot 6{,}25$ menant à $AB=\sqrt{14{,}0625}$.
7. Savoir refaire l’autre calcul : $BC^2=4\cdot 6{,}25$ menant à $BC=5$.