Fiche de révision : Théorie du contact entre solides

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et applications du cours
2. Fondements de la théorie de Hertz
3. Hypothèses et paramètres réduits
4. Contact entre deux sphères
5. Contact sphère-plan
6. Contacts cylindriques et applications

📖 1. Objectifs et applications du cours

🔑 Notions clés & Définitions

• Transmission par contact : Transmission d’un effort entre deux solides par leurs surfaces de contact au niveau de la liaison.

★ À maîtriser

📌 Un contact surfacique s’établit sur une surface importante, tandis qu’un contact linéique ou ponctuel s’établit sur une petite surface.

Compléments

• La théorie du contact est appliquée notamment à: roulement à billes, dimensionnement d’un guidage de vérin hydraulique sur une pelleteuse, transmission par obstacle, transmission de puissance par engrenages dans un train épicycloïdal de broyeur à végétaux

📖 2. Fondements de la théorie de Hertz

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorie de Hertz : Méthode permettant de déterminer la taille de la surface de contact, la déformation des solides, la pression de contact maximale et les pressions en profondeur.

★ À maîtriser

• Les résultats de la théorie de Hertz donnent un ordre de grandeur utile pour dimensionner les liaisons ponctuelles ou linéiques et choisir les matériaux et les traitements thermiques adaptés.

• Dans un contact entre deux sphères, la déformation élastique transforme le contact théorique ponctuel en une surface circulaire et limite les contraintes de surface.

Compléments

• La déformation élastique dépend de l’effort normal N, de la nature des matériaux caractérisée par E et ν, ainsi que de la forme des matériaux caractérisée par leurs rayons de courbure.

💡 Astuce mémo

Déformation élastique → surface de contact élargie → contraintes de surface limitées

📖 3. Hypothèses et paramètres réduits

★ À maîtriser

📌 La théorie de Hertz suppose des solides élastiques, homogènes et isotropes, soumis à de faibles déformations dans la limite élastique.

📌 La surface de contact doit être beaucoup plus petite que le rayon caractéristique du corps et les corps doivent être en contact sans frottement.

📐 Formule - Le module d’élasticité réduit vérifie $\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}$.

Compléments

• Les matériaux sont caractérisés par leur module élastique E et leur coefficient de Poisson ν, et l’action d’un solide sur l’autre est normale à la surface de contact.

📖 4. Contact entre deux sphères

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux sphères, la surface de contact est un cercle de rayon $a=\sqrt[3]{\frac{3F\rho}{4E^*}}$.

📐 Formule - Le rapprochement des deux solides dans la direction de la charge vérifie $\delta=\frac{a^2}{\rho}$.

📐 Formule - Pour deux sphères, la pression moyenne vaut $P_{moy}=\frac{F}{\pi a^2}$ et la pression maximale vaut $P_{max}=1{,}5P_{moy}=\frac{3F}{2\pi a^2}$.

💡 Astuce mémo

Rayon de contact → rapprochement → pression moyenne → pression maximale

📖 5. Contact sphère-plan

★ À maîtriser

📌 Pour un contact sphère-plan, la surface de contact est un cercle, comme pour deux sphères, mais le plan est modélisé par un rayon de courbure infini.

Compléments

📐 Formule - Pour une sphère de rayon R1 en contact avec un plan de rayon R2 infini, le rayon de courbure réduit vérifie $\frac{1}{\rho}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\approx\frac{1}{R_1}$.

• Les relations de surface de contact, de rapprochement et de pression du contact sphère-plan sont analogues à celles du contact sphère-sphère.

💡 Astuce mémo

Sphère-sphère : deux courbures ; sphère-plan : plan assimilé à un rayon infini

📖 6. Contacts cylindriques et applications

★ À maîtriser

• Les contacts classiques comprennent:
  • sphère-sphère
  • sphère-plan
  • cylindre-cylindre
  • cylindre-plan

📐 Formule - Pour deux cylindres en contact sur une longueur L, la charge linéique vaut $q=\frac{F}{L}$ et la largeur du rectangle de contact vaut $b=\sqrt[4]{\frac{4q\rho}{\pi E^*}}=\sqrt[4]{\frac{4F\rho}{\pi L E^*}}$.

📐 Formule - Pour un contact cylindre-cylindre, la pression moyenne vaut $P_{moy}=\frac{F}{Lb}$ et la pression maximale vaut $P_{max}=\frac{4}{\pi}P_{moy}=\frac{4F}{\pi Lb}$.

Compléments

• Pour le contact cylindre-cylindre, la théorie de Hertz ne donne aucune valeur du déplacement, mais A. Palmgrem propose une relation expérimentale proche de l’expérience : $\delta=3{,}78\times10^{-5}\frac{F^{0{,}9}}{L^{0{,}8}}$.

📌 Pour une surface intérieure en contact cylindre-cylindre, le rayon de courbure R2 est négatif.

• Pour un contact cylindre-plan, la surface de contact est un rectangle de longueur L et de largeur b, et les relations sont analogues à celles du contact cylindre-cylindre.

💡 Astuce mémo

Contact extérieur : rayon positif ; surface intérieure : rayon de courbure négatif

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des contacts hertziens