Fiche de révision : Proportions et taux d’évolution

📋 Plan du Cours

1. Proportions dans une population
2. Variation absolue et taux d’évolution
3. Coefficient multiplicateur
4. Évolutions successives et taux global
5. Évolution réciproque
6. Indices de base 100

📖 1. Proportions dans une population

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Quotient du nombre d’individus de la sous-population par le nombre d’individus de la population de référence.

📝 Points essentiels

• Une proportion peut s’écrire:
  • sous forme de fraction
  • sous forme décimale
  • sous forme de pourcentage

📖 2. Variation absolue et taux d’évolution

📝 Points essentiels

• La variation absolue d’une quantité est donnée par $VA-VD$, où $VD$ est la valeur de départ et $VA$ la valeur d’arrivée.

📐 Formule - Le taux d’évolution est donné par $\frac{VA-VD}{VD}$ et peut être exprimé en pourcentage.

💡 Astuce mémo

Variation absolue = différence en unités ; taux d’évolution = différence relative.

📖 3. Coefficient multiplicateur

★ À maîtriser

📐 Formule - Augmenter une valeur de départ $VD$ d’un taux $t$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $1+t$, donc $VA=VD(1+t)$.

📐 Formule - Diminuer une valeur de départ $VD$ d’un taux $t$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $1-t$, donc $VA=VD(1-t)$.

Compléments

📐 Formule - Pour retrouver le taux d’évolution à partir des valeurs de départ et d’arrivée, on utilise $t=\frac{VA-VD}{VD}$.

💡 Astuce mémo

Hausse : multiplier par 1+t ; baisse : multiplier par 1-t.

📖 4. Évolutions successives et taux global

★ À maîtriser

• Pour plusieurs évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

📐 Formule - Si les coefficients multiplicateurs successifs sont $CM_1,CM_2,\ldots,CM_n$, alors le coefficient multiplicateur global est $CM=CM_1\times CM_2\times\cdots\times CM_n$.

📐 Formule - Le taux d’évolution global correspondant à un coefficient multiplicateur global $CM$ est $T=CM-1$.

Compléments

• Une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 50 % correspond à un coefficient multiplicateur global de $1{,}5\times0{,}5=0{,}75$ et à un taux global de $-25\%$.

💡 Astuce mémo

Évolution 1 → coefficient 1 → évolution 2 → coefficient 2 → produit global.

📖 5. Évolution réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution réciproque : Taux qui permet de passer de la valeur d’arrivée $VA$ à la valeur de départ $VD$ après une évolution initiale.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient multiplicateur de l’évolution réciproque est l’inverse du coefficient multiplicateur initial, soit $CM_r=\frac{1}{CM}$.

Compléments

• Un prix de 100 € augmenté de 25 % atteint 125 €, puis retrouve 100 € en étant multiplié par $\frac{1}{1{,}25}=0{,}8$, ce qui correspond à une baisse de 20 %.

💡 Astuce mémo

Évolution initiale et évolution réciproque utilisent des coefficients inverses.

📖 6. Indices de base 100

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de base 100 : L’indice de la valeur d’arrivée $VA$ par rapport à la valeur de départ $VD$, avec une base 100, est donné par $I=100\times\frac{VA}{VD}$.

★ À maîtriser

• Le pourcentage d’évolution entre une valeur de départ et une valeur d’arrivée est égal au pourcentage d’évolution de l’indice correspondant.

• Pour construire un indice de base 100: associer la valeur 100 à la période de référence, conserver les proportionnalités entre les valeurs et les indices, calculer les autres indices, notamment par des produits en croix

Compléments

• Pour le cours mensuel d’un produit à New-York, janvier 2010 est la période de référence avec un cours de 1598 dollars par tonne et un indice égal à 100, tandis que février vaut 1533 et mars 1662.

💡 Astuce mémo

La valeur de référence est placée à 100, puis les autres valeurs se lisent par proportionnalité.

📊 Tableaux de synthèse

Formules des évolutions