Fiche de révision : Variables aléatoires discrètes et continues

1. 📌 L'essentiel

• Un couple aléatoire discret défini par une loi de masse P(x₁,x₂) sur un ensemble fini ou dénombrable.
• Lois marginales : P_X₁(x₁) = ∑_j P(x₁,x), P_X₂(x₂) = ∑_i P(x_i,x₂).
• Lois conditionnelles : P_X₁|X₂(x₁|x₂) = P(x₁,x₂)/P_X₂(x₂), idem pour P_X₂|X₁.
• Indépendance : X₁ et X₂ sont indépendantes si P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂) ∀ (x₁,x₂).
• Lois discrètes usuelles : Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique, hypergéométrique.
• Variables continues : densité f(x), E(X)=∫ x f(x) dx, V(X)=E[(X−E[X])²].
• Approximations possibles : hypergéométrique ≈ binomiale ≈ Poisson ≈ normale pour grands n ou λ≥10.
• Relations clé : linéarité de E, V(aX+b)=a²V(X).

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Couple aléatoire discret — loi de masse P(x₁,x₂).
• Lois marginales — calcul par sommation sur l’autre variable.
• Lois conditionnelles — rapport de P(x₁,x₂) sur P_X₂(x₂) ou P_X₁(x₁).
• Indépendance — P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂).
• Lois discrètes : Bernoulli(p), binomiale(n,p), Poisson(λ), géométrique(p), hypergéométrique(N,B,n).
• Variables continues : densité f(x), espérance E(X), variance V(X).
• Lois continues : uniforme [a,b], normale N(0,1).

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

• Calcul des marges : sommation ou intégration selon le type.
• Calcul conditionnel : rapport P(x₁,x₂)/P_X₂(x₂).
• Indépendance : vérification si P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂).
• Variables continues : E(X)=∫ x f(x) dx, V(X)=∫ (x−E[X])² f(x) dx.
• Relations : V(aX+b)=a²V(X), linéarité de E.
• Approximations : hypergéométrique ≈ binomiale ≈ Poisson ≈ normale pour n ou λ grands.

4. Tableau de synthèse

5. 🗂️ Diagramme Hiérarchique

Couple discret
 ├─ Loi de masse P(x₁,x₂)
 ├─ Lois marginales
 │   ├─ P_X₁(x₁)
 │   └─ P_X₂(x₂)
 ├─ Lois conditionnelles
 │   ├─ P_X₁|X₂(x₁|x₂)
 │   └─ P_X₂|X₁(x₂|x₁)
 └─ Indépendance : P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂)

Variables continues
 ├─ Densité f(x)
 ├─ Espérance E(X)=∫ x f(x) dx
 └─ Variance V(X)=∫ (x−E[X])² f(x) dx

6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

• Confondre lois marginales et conditionnelles.
• Croire que P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂) implique toujours indépendance (vérifier).
• Confondre densité continue et masse discrète.
• Oublier que P(X=x)=0 pour variables continues.
• Surévaluer la précision des approximations pour petits n ou λ faibles.
• Confondre la loi géométrique avec la loi de Bernoulli.
• Négliger la normalisation dans les lois continues.
• Confondre variables indépendantes et variables non corrélées.

7. ✅ Checklist Examen Final

• Définir un couple aléatoire discret et sa loi de masse.
• Calculer lois marginales et conditionnelles.
• Vérifier l’indépendance entre deux variables.
• Connaître les principales lois discrètes : Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique, hypergéométrique.
• Savoir calculer E(X) et V(X) pour variables continues.
• Reconnaître une densité et ses propriétés.
• Savoir quand et comment utiliser les approximations (binomiale ≈ Poisson ≈ normale).
• Maîtriser la différence entre lois discrètes et continues.
• Être capable de représenter une hiérarchie ou un flux par un diagramme ASCII.
• Identifier les pièges courants et éviter les confusions.
• Savoir appliquer la linéarité de l’espérance et la formule de la variance.

Fin de la fiche. Bonne révision !