Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées vecteurs en plan
2. Calcul vecteurs entre points
3. Norme vecteur orthonormal
4. Égalité vecteurs
5. Vecteurs opposés
6. Opérations sur vecteurs
7. Vecteurs colinéaires
8. Alignement points et vecteurs

📖 1. Coordonnées vecteurs en plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur dans un plan : Objet géométrique représenté par une direction, un sens et une norme, pouvant être exprimé en coordonnées dans un repère (O ; i, j).

• Coordonnées d’un vecteur : Couple (x, y) associé à un vecteur u, tel que u = xi + yj, où x est l’abscisse et y l’ordonnée.

• Coordonnées d’un point : (x, y) désignant la position du point par rapport à un repère, et permettant de déterminer le vecteur reliant deux points.

• Vecteur AB : Vecteur défini par deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), avec coordonnées (xB - xA, yB - yA).

• Vecteurs égaux : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont égaux si et seulement si x = x’ et y = y’.

• Vecteurs opposés : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont opposés si x’ = -x et y’ = -y.

📝 Points essentiels

• La représentation d’un vecteur dans un repère orthonormal est unique par ses coordonnées (x, y).

• La norme d’un vecteur u(x, y) est ||u|| = √(x² + y²).

• La différence de coordonnées de deux points donne le vecteur reliant ces points.

• Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire si xy’ - yx’ = 0.

• La colinéarité de trois points se vérifie en comparant les vecteurs formés par ces points ou en utilisant le déterminant de leurs coordonnées.

💡 À retenir

Les coordonnées vectorielles permettent d’étudier facilement la position, la longueur, la colinéarité et l’égalité des vecteurs dans le plan, en utilisant des opérations simples sur des couples de nombres réels.

📖 2. Calcul vecteurs entre points

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur dans un repère : Objet mathématique représenté par une flèche ayant une origine et une direction, défini par ses coordonnées (x, y) dans un repère orthonormal (O ; i, j).
  Définition : u = xi + yj, où (x, y) sont les coordonnées du vecteur.

• Coordonnées d’un vecteur : Couple (x, y) associé à un vecteur dans un repère, permettant de le repérer précisément.
  Abscisse : x, composante horizontale.
  Ordonnée : y, composante verticale.

• Coordonnées d’un vecteur AB : Si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA).
  Point clé : La différence des coordonnées des points donne celles du vecteur.

• Vecteurs égaux : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont identiques : x = x’ et y = y’.
  Point essentiel : Même direction, même norme, même sens.

• Vecteurs opposés : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont opposés si x’ = -x et y’ = -y.
  Point clé : Vecteurs de même norme mais de sens opposés.

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, c’est-à-dire si xy’ - yx’ = 0.
  Critère : Proportionnalité des coordonnées.

📝 Points essentiels

• La lecture et la détermination des coordonnées d’un vecteur permettent de simplifier les calculs et de comparer facilement des vecteurs.
• La formule pour le vecteur entre deux points A et B est :
  $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$
• La norme d’un vecteur u(x, y) dans un repère orthonormal est :
  $||u|| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• Deux vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont identiques, et opposés si leurs coordonnées sont opposées.
• La colinéarité se vérifie par le déterminant xy’ - yx’ = 0 ou par la proportionnalité des coordonnées.

💡 À retenir

Les vecteurs entre points se déterminent par la différence de leurs coordonnées, et leur comparaison repose sur l’égalité, l’opposition ou la colinéarité, ce qui est essentiel pour étudier la géométrie du plan.

📖 3. Norme vecteur orthonormal

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur $u(x, y)$ dans un repère orthonormal est la longueur du vecteur, notée $\|u\|$, et se calcule par $\|u\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
  Point essentiel : La norme représente la distance entre l’origine et le point terminal du vecteur.

• Repère orthonormal : Un repère du plan où les vecteurs $i$ et $j$ sont orthogonaux (perpendiculaires) et de norme 1.
  Point essentiel : La propriété d’orthogonalité simplifie le calcul des longueurs et des produits scalaires.

• Produit scalaire : Pour deux vecteurs $u(x, y)$ et $v(x', y')$, le produit scalaire est $u \cdot v = xx' + yy'$.
  Point essentiel : Il permet de déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux ou colinéaires.

• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire $xx' + yy' = 0$.
  Point essentiel : Orthogonalité implique un angle de 90° entre les vecteurs.

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, ce qui équivaut à $xy' - yx' = 0$.
  Point essentiel : La colinéarité indique que les vecteurs sont alignés ou opposés.

📝 Points essentiels

• La norme d’un vecteur dans un repère orthonormal est donnée par $\|u\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• La propriété fondamentale : $\|ku\| = |k| \times \|u\|$, où $k$ est un réel.
• Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
• La colinéarité se vérifie par la proportion entre coordonnées ou par le déterminant $xy' - yx'$.
• La norme permet de mesurer la longueur d’un vecteur ou la distance entre deux points.

💡 À retenir

La norme d’un vecteur dans un repère orthonormal est la longueur du segment qu’il représente, calculée par la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées. La propriété d’orthogonalité et de colinéarité se vérifie via le produit scalaire ou le déterminant associé.

📖 4. Égalité vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet géométrique caractérisé par une direction, un sens et une norme, représenté dans un repère par ses coordonnées (x, y).

• Coordonnées d’un vecteur : Couple (x, y) associé à un vecteur u dans un repère (O ; i, j), où u = xi + yj.

• Vecteur égal : Deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont identiques : x = x' et y = y'.

• Vecteur opposé : Deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') sont opposés si leurs coordonnées sont opposées : x' = -x et y' = -y.

• Colinéarité de vecteurs : Deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, c’est-à-dire si xy' - yx' = 0.

📝 Points essentiels

• Égalité de vecteurs : Vérifier que leurs coordonnées sont identiques.
  u = v ⇔ x = x' et y = y'

• Opposés : Deux vecteurs sont opposés si leurs coordonnées sont opposées.
  u = -v ⇔ x' = -x et y' = -y

• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si le déterminant xy' - yx' est nul, ce qui revient à dire qu’ils sont proportionnels.
  xy' - yx' = 0

• Application pratique : Vérifier l’égalité ou la colinéarité en comparant les coordonnées ou en utilisant la formule du déterminant.

• Norme d’un vecteur : Dans un repère orthonormal, ||u|| = √(x² + y²).

• Calculs sur vecteurs : Addition, soustraction, multiplication par un scalaire, en utilisant leurs coordonnées.

💡 À retenir

L’égalité de vecteurs se vérifie par l’égalité de leurs coordonnées, et leur colinéarité par la proportionnalité ou le déterminant nul.

📖 5. Vecteurs opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur opposé : Deux vecteurs $\mathbf{u} (x, y)$ et $\mathbf{v} (x', y')$ sont opposés si leurs coordonnées sont opposées, c’est-à-dire si $\mathbf{v} = -\mathbf{u}$.
  Définition : $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont opposés si $x' = -x$ et $y' = -y$.

• Propriété des vecteurs opposés : La somme de deux vecteurs opposés est le vecteur nul $\mathbf{0}$.
  Formule : $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$.

• Vecteur nul : Vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles, noté $\mathbf{0} (0, 0)$.
  Caractéristique : $\mathbf{u}$ est opposé à lui-même si et seulement si $\mathbf{u} = \mathbf{0}$.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs sont opposés si leurs coordonnées sont des opposés exacts : $\mathbf{u} (x, y)$ et $\mathbf{v} (x', y')$ avec $x' = -x$ et $y' = -y$.
• La relation $\mathbf{v} = -\mathbf{u}$ implique que $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{0}$.
• La notion d’opposition est essentielle pour comprendre la symétrie, la translation et la résolution d’équations vectorielles.

💡 À retenir

Deux vecteurs sont opposés si et seulement si ils ont des coordonnées qui sont des opposés exacts, ce qui implique que leur somme est le vecteur nul.

📖 6. Opérations sur vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet géométrique représentant une direction, un sens et une norme, souvent noté u, v, etc. Dans un repère (O ; i, j), tout vecteur u peut s’écrire comme u = xi + yj, où x et y sont ses coordonnées.

• Coordonnées d’un vecteur : Couple (x, y) associé à un vecteur u dans un repère, où x est l’abscisse et y l’ordonnée. Notation : u(x ; y).

• Addition de vecteurs : Operation u + v, dont les coordonnées sont la somme des coordonnées correspondantes : (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’).

• Multiplication par un scalaire : Operation ku, où k est un réel, dont les coordonnées sont (kx, ky). La norme du vecteur ku est |k| fois celle de u.

• Vecteurs opposés : Deux vecteurs u et v sont opposés si v = -u, c’est-à-dire si leurs coordonnées sont opposées : (x, y) et (-x, -y).

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs u et v sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, c’est-à-dire si (x’, y’) = k(x, y) pour un réel k. Equivalemment, xy’ - yx’ = 0.

📝 Points essentiels

• La coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormal sont directement liées à sa norme : ||u|| = √(x² + y²).

• La somme de vecteurs u + v se calcule en additionnant leurs coordonnées respectives.

• La multiplication par un scalaire k modifie la norme du vecteur : ||ku|| = |k| ||u||.

• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont identiques.

• La colinéarité s’évalue par la proportionnalité des coordonnées ou par le déterminant xy’ - yx’ : si égal à 0, ils sont colinéaires.

• La norme d’un vecteur ku est proportionnelle à |k|, ce qui permet de faire des calculs de longueurs.

💡 À retenir

Les opérations sur vecteurs (addition, multiplication par un scalaire, égalité, colinéarité) se traduisent par des manipulations simples de leurs coordonnées, facilitant leur étude géométrique et analytique.

📖 7. Vecteurs colinéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur colinéaire : Deux vecteurs u et v sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, c’est-à-dire si u = ku avec k un réel.
  Forme : $(x', y') = k(x, y)$

• Critère de colinéarité (determinant) : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$.
  Signification : Leurs coordonnées sont proportionnelles ou leur déterminant est nul.

• Proportionnalité des coordonnées : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont colinéaires si $\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y}$ (en évitant la division par zéro).

• Vecteurs non nuls : La colinéarité implique que les vecteurs ne doivent pas être nuls ou doivent être proportionnels par un même facteur k non nul.

• Application géométrique : Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ce qui revient à vérifier si leur déterminant est nul.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles : $(x', y') = k(x, y)$.
• La condition algébrique pour la colinéarité dans le plan est : $xy' - yx' = 0$.
• La colinéarité permet de déterminer si deux vecteurs ou trois points sont alignés.
• La propriété de proportionnalité est essentielle pour vérifier la colinéarité rapidement via le déterminant ou le rapport des coordonnées.
• La colinéarité est une propriété fondamentale pour l’étude de la géométrie dans le plan, notamment pour l’alignement de points.

💡 À retenir

Deux vecteurs dans le plan sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui se vérifie par le déterminant nul ou par le rapport des coordonnées.

📖 8. Alignement points et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet géométrique caractérisé par sa direction, sa norme et son sens, représenté dans un repère par un couple de coordonnées (x, y).

• Coordonnées d’un vecteur : Couple (x, y) associé à un vecteur u dans un repère (O ; i, j), où x est l’abscisse et y l’ordonnée.

  • Exemple : u(x ; y).

• Vecteur égal : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont égaux si et seulement si x = x’ et y = y’.

• Vecteur opposé : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont opposés si x’ = -x et y’ = -y.

• Colinéarité de vecteurs : Deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire si xy’ - yx’ = 0.

📝 Points essentiels

• La lecture des coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormal permet de connaître sa direction et sa longueur : ||u|| = √(x² + y²).

• La somme de deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) se calcule en additionnant leurs coordonnées : u + v = (x + x’, y + y’).

• La multiplication d’un vecteur u(x, y) par un réel k donne un vecteur ku(kx, ky) dont la norme est |k| fois celle de u.

• Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, ou si le déterminant xy’ - yx’ est nul.

• L’alignement de points peut être vérifié en utilisant la colinéarité des vecteurs formés par ces points : si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, alors A, B, C sont alignés.

💡 À retenir

L’alignement de points dans un plan peut être vérifié par la colinéarité des vecteurs formés par ces points, ce qui revient à tester si leurs coordonnées sont proportionnelles ou si leur déterminant est nul.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre vecteur et point : le vecteur est représenté par ses coordonnées, pas par sa position dans le plan.
2. Oublier que la norme d’un vecteur est toujours positive, même si ses coordonnées sont négatives.
3. Confondre vecteurs opposés et vecteurs nuls : vecteurs opposés ont des coordonnées opposées, vecteur nul a (0,0).
4. Se tromper dans la vérification de la colinéarité : utiliser le bon critère (proportionnalité ou déterminant nul).
5. Confondre égalité de vecteurs et égalité de coordonnées : deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont identiques.
6. Mauvaise utilisation du produit scalaire : il est nul si vecteurs orthogonaux, pas nécessairement si colinéaires.
7. Oublier que la norme ne dépend pas du sens, uniquement de la longueur.

✅ Checklist Examen

• Vérifier si deux vecteurs sont égaux en comparant leurs coordonnées.
• Calculer la différence de coordonnées pour déterminer un vecteur entre deux points.
• Déterminer la norme d’un vecteur avec ||u|| = √(x² + y²).
• Vérifier la colinéarité en utilisant xy’ - yx’ = 0 ou la proportionnalité des coordonnées.
• Identifier si deux vecteurs sont opposés en comparant leurs coordonnées.
• Calculer le produit scalaire pour vérifier l’orthogonalité.
• Définir un vecteur dans un repère orthonormal.
• Vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux via leur produit scalaire.
• Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en utilisant le critère du déterminant.
• Utiliser les coordonnées pour étudier l’alignement de points.
• Vérifier que la norme d’un vecteur est cohérente avec la longueur du segment.
• S’assurer de la propriété d’orthogonalité ou de colinéarité lors de la vérification.
• Savoir que la somme de vecteurs opposés donne le vecteur nul.