Fiche de révision : Introduction aux lois de probabilité et leur utilisation

📋 Plan du Cours

1. Probabilité d’un évènement et cas équiprobables
2. Propriétés de la probabilité et évènement impossible
3. Densité de probabilité et fonction de répartition
4. Espérance d’une variable aléatoire discrète
5. Espérance et variance d’une moyenne estimée
6. Loi de Bernoulli et loi binomiale
7. Loi de Poisson et conditions d’approximation
8. Loi normale centrée réduite et transformation
9. Lecture de la table z et calculs d’intervalles
10. Approximation binomiale par la loi normale
11. Lois dérivées de la loi normale

📖 1. Probabilité d’un évènement et cas équiprobables

🔑 Notions clés & Définitions

• Évènement : Un évènement est un ensemble de résultats possibles d’une expérience aléatoire.
• Cas équiprobables : Des cas équiprobables sont des issues ayant la même probabilité, ce qui permet un calcul simple par comptage.
• Probabilité d’un évènement : La probabilité mesure la chance qu’un évènement se réalise, avec des valeurs entre 0 et 1.
• Évènements disjoints : Des évènements disjoints ne peuvent pas se produire en même temps.
• Évènements indépendants : Des évènements indépendants n’influencent pas la probabilité de réalisation de l’autre.

📝 Points essentiels

• Si les cas sont équiprobables, $P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.
• Pour un dé à 6 faces, $P(4)=\dfrac{1}{6}$ et $P(5)=\dfrac{1}{6}$.
• Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (ex. obtenir 4 ou 5 : $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$).
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ (ex. pair et $\le 4$ : $\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}=\frac{1}{3}$).
• La probabilité de l’évènement impossible vaut $P(\varnothing)=0$.
• La probabilité du complément vérifie $P(A^c)=1-P(A)$ (ex. si $P(6)=\frac{1}{6}$, alors $P(\{1,2,3,4,5\})=1-\frac{1}{6}$).

💡 Astuce mémo

Disjoints = addition (A ou B), Indépendants = multiplication (A et B).

📖 2. Propriétés de la probabilité et évènement impossible

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de probabilité : La densité de probabilité est une fonction $f$ telle que les probabilités pour une variable continue se calculent via des intégrales de $f$.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition $F$ associe à chaque réel la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à ce réel.
• Évènement impossible : Un évènement impossible est un évènement dont la probabilité vaut $0$ car il ne peut jamais se produire.
• Primitive de la densité : La primitive $F$ de la densité $f$ permet de transformer un calcul d’aire (intégrale) en lecture directe de $F$.

📝 Points essentiels

• Pour une variable continue, la probabilité d’un intervalle s’obtient par intégration de la densité sur cet intervalle.
• Si $F$ est la primitive de $f$, alors $\int_a^b f(t),dt = F(b)-F(a).
• Pour un évènement de type $\{0<X\le x_1\}$, on a $P(0\to X\to x_1)=\int_0^{x_1} f(t)dt = F(x_1)-F(0).
• Si la variable est positive, alors $P(0\to X\to x_1)=\int_0^{x_1} f(t)dt = F(x_1)$, ce qui implique $F(0)=0$.
• La disponibilité de $F(x)$ en tables statistiques simplifie les calculs de probabilités par rapport à l’intégration directe de $f$.
• Un évènement impossible correspond à une probabilité nulle, donc à un intervalle sans valeurs possibles pour la variable.

💡 Astuce mémo

Primitive = aire : $\int_a^b f = F(b)-F(a)$ ; impossible ⇒ $P=0$.

📖 3. Densité de probabilité et fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire X : Une variable aléatoire est un modèle numérique dont la valeur dépend du hasard et varie d’une réalisation à l’autre.
• Moyenne estimée m : La moyenne estimée est la moyenne des k observations $x_1,\dots,x_k$ et devient une variable aléatoire quand l’échantillon change.
• Variance de X : La variance mesure la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition associe à chaque réel $t$ la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à $t$.
• Densité de probabilité : La densité de probabilité décrit, pour une variable continue, la répartition des probabilités sur les valeurs possibles.

📝 Points essentiels

• Pour l’échantillon de taille k, la moyenne estimée s’écrit $m=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i$.
• L’espérance de la moyenne estimée vérifie $E(m)=\mu$ lorsque les $x_i$ sont issus de la même loi que $X$.
• La variance de la moyenne estimée se réduit avec la taille d’échantillon : $\mathrm{var}(m)=\frac{\omega^2}{k}$.
• La variance estimée sur l’échantillon a pour expression $s^2=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k (x_i-m)^2$.
• L’espérance de la variance estimée vaut $E(s^2)=\omega^2$, ce qui relie l’estimation à la variance théorique de $X$.
• Pour une variable continue, la densité permet de calculer des probabilités via des aires, tandis que la fonction de répartition donne directement $P(X\le t)$ pour tout $t$.

💡 Astuce mémo

moyenne : même centre (E(m)=μ) mais dispersion divisée (var(m)=ω²/k) ; variance estimée : même échelle en espérance (E(s²)=ω²).

📖 4. Espérance d’une variable aléatoire discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance mathématique : L’espérance mathématique est la valeur moyenne théorique d’une variable aléatoire, pondérée par ses probabilités.
• Variable aléatoire discrète : Une variable aléatoire discrète prend un ensemble dénombrable de valeurs, chacune associée à une probabilité.
• Loi binomiale : La loi binomiale décrit le nombre de succès $X$ dans $n$ essais indépendants, avec probabilité de succès $p$ à chaque essai.
• Loi de Poisson : La loi de Poisson modélise le nombre $X$ d’occurrences sur une période ou un volume, avec un paramètre moyen noté $\omega$.

📝 Points essentiels

• Pour une variable discrète, l’espérance se calcule comme une somme $E(X)=\sum_k k\,P(X=k)$ sur toutes les valeurs possibles.
• Dans le cadre binomial, l’espérance du nombre de succès est égale au nombre d’essais multiplié par la probabilité de succès, soit $E(X)=np$.
• Pour une loi de Poisson, l’espérance vaut directement le paramètre moyen, soit $E(X)=\omega$.
• Si $X$ compte un nombre de malades dans un échantillon, l’espérance correspond au nombre moyen attendu de malades.
• La variance d’une loi de Poisson vaut aussi $\omega$, ce qui relie dispersion et moyenne pour cette loi.

💡 Astuce mémo

Discret = somme : $E(X)$ = valeur $k$ × probabilité, et Poisson = moyenne = $\omega$.

📖 5. Espérance et variance d’une moyenne estimée

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne estimée : La moyenne estimée est la moyenne calculée à partir d’un échantillon, utilisée pour approcher la moyenne vraie de la population.
• Espérance mathématique : L’espérance mathématique mesure la valeur moyenne théorique d’une variable aléatoire sur un très grand nombre de répétitions.
• Variance : La variance quantifie la dispersion d’une variable aléatoire autour de son espérance.
• Erreur d’estimation : L’erreur d’estimation correspond à l’écart entre la valeur estimée et la valeur vraie à estimer.

📝 Points essentiels

• La moyenne estimée a une espérance égale à la moyenne vraie si l’estimateur est non biaisé.
• La variance d’une moyenne estimée diminue quand la taille de l’échantillon $n$ augmente, car l’estimation se stabilise.
• Si les observations sont indépendantes et de même variance $\sigma^2$, alors $\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$.
• L’écart-type de la moyenne estimée vaut $\sigma/\sqrt{n}$, ce qui traduit la réduction de l’incertitude avec $n$.
• L’erreur d’estimation a une moyenne nulle pour un estimateur non biaisé, mais une dispersion donnée par la variance de l’estimateur.
• Pour une moyenne estimée, l’incertitude se lit via $\mathrm{Var}(\bar X)$ ou via l’écart-type $\sigma/\sqrt{n}$, pas via l’espérance seule.

💡 Astuce mémo

Variance de la moyenne : $\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$ (double idée : “$n$ au dénominateur” et “$\sqrt{n}$ pour l’écart-type”).

📖 6. Loi de Bernoulli et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : La loi binomiale modélise le nombre de succès $X$ lors de $n$ épreuves indépendantes identiques, chaque épreuve ayant une probabilité de succès $p$.
• Loi normale centrée réduite : La loi normale centrée réduite est la loi de la variable $Z$ obtenue après standardisation, avec moyenne $0$ et écart-type $1$.
• Transformation de la variable : La transformation de la variable standardise une variable normale de moyenne  et d’écart-type  en une variable $Z$ centrée réduite pour utiliser la table.
• Approximation normale de la loi binomiale : L’approximation normale remplace une loi binomiale par une loi normale lorsque $n$ est suffisamment grand et que les conditions sur $nP$ et $nQ$ sont satisfaites.

📝 Points essentiels

• Pour calculer une probabilité avec une normale, on standardise et on cherche dans la table la probabilité correspondante en $Z$.
• Pour une borne inférieure, on utilise la relation $P(Z>0{,}2)=1-P(Z<0{,}2)$ afin d’exploiter la table.
• Dans l’exemple, $P(0{,}2<Z<1{,}4)=P(Z<1{,}4)-P(Z<0{,}2)$, ce qui revient à soustraire deux valeurs de table.
• Dans l’exemple de lecture de table, on obtient $P(Z<1{,}4)=0{,}9192$ et $P(Z<0{,}2)=0{,}5793$, donc $P(0{,}2<Z<1{,}4)=0{,}3399\approx0{,}34$.
• Pour le cas d’étude, la probabilité que le poids soit entre $3{,}4$ kg et $4{,}0$ kg vaut environ $34\%$.
• Pour approximer une binomiale par une normale quand la variable exprime un pourcentage, on exige $nP\ge 5$ et $nQ\ge 5$, et la normale a pour moyenne $nP$ et variance $nPQ$.

💡 Astuce mémo

Table $\Rightarrow$ soustraction : $P(a<Z<b)=P(Z<b)-P(Z<a)$ ; et pour la binomiale : $nP\ge5$ et $nQ\ge5$ (moyenne $nP$, variance $nPQ$).

📖 7. Loi de Poisson et conditions d’approximation

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation normale : Approche où une loi discrète ou une statistique est remplacée par une loi normale quand des conditions numériques rendent l’écart négligeable.
• Loi binomiale : Loi modélisant le nombre de succès $X$ sur $n$ essais indépendants avec probabilité de succès $p$ à chaque essai.
• Loi de Poisson : Loi modélisant un comptage $X$ de taux moyen
  sur une durée ou un espace, avec événements rares et indépendants.
• Théorème central-limite : Résultat statistique qui justifie l’approximation par une loi normale de la moyenne empirique quand la taille d’échantillon $n$ est suffisamment grande.

📝 Points essentiels

• Pour une variable exprimant un pourcentage issue d’une loi binomiale, l’approximation par une loi normale est admise si $nP\ge 5$ et $nQ\ge 5$ avec $Q=1-P$.
• Dans ce cas, la loi normale d’approximation a pour moyenne $\mu=nP$ et pour variance $\omega^2=nPQ$.
• La loi normale peut aussi approcher la loi binomiale lorsque la taille $n$ augmente, ce qui rend l’écart entre les distributions faible.
• La loi de Poisson peut être approximée par une loi normale lorsque le paramètre $\omega$ est suffisamment grand, avec un seuil donné comme $\omega>10$ (et aussi $\omega>20$ dans le texte).
• Pour la loi de Poisson, la probabilité s’écrit $P(X=k)=e^{-\omega}\,\omega^k/k!$ et l’approximation normale s’appuie sur la croissance de $\omega$.
• Le théorème central-limite s’applique à une variable $X$ de moyenne $\mu$ et de variance $\omega^2$ et décrit la loi de la moyenne estimée sur un échantillon quand $n$ est suffisamment grand.

💡 Astuce mémo

Binomiale : $nP\ge5$ et $nQ\ge5$ ; Poisson : $\omega>10$ (ou $>20$) ; CLT : $n$ grand ⇒ moyenne empirique ≈ normale.

📖 8. Loi normale centrée réduite et transformation

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale N(μ, ω) : Une loi normale est une loi continue caractérisée par une moyenne μ et une variance ω² (écart-type ω).
• Densité de probabilité : La densité de probabilité décrit la forme de la loi normale et permet de calculer des probabilités par intégration.
• Loi normale centrée réduite : Une loi normale centrée réduite est une normalisation de la loi normale pour obtenir une moyenne 0 et une variance 1.
• Changement de variable : Le changement de variable transforme une probabilité sous une normale N(μ, ω) en une probabilité sous la normale centrée réduite.
• Fonction de répartition F : La fonction de répartition F(x) donne la probabilité d’être inférieur ou égal à x.

📝 Points essentiels

• Pour $X\sim\mathcal N(\mu,\omega^2)$, la densité s’écrit avec un terme exponentiel en $\frac{(x-\mu)^2}{2\omega^2}$ et un facteur de normalisation en $\omega$.
• La moyenne de la loi normale est μ et sa variance est $\omega^2$.
• Pour calculer $P(a<X<b)$, on intègre la densité entre a et b : $P(a<X<b)=\int_a^b f(t)\,dt$.
• La normalisation consiste à passer à une variable centrée réduite de la forme $Z=\frac{X-\mu}{\omega}$ afin d’utiliser les tables de la loi centrée réduite.
• Après transformation, on exprime $P(a<X<b)$ comme une probabilité sur l’intervalle correspondant pour $Z$, ce qui permet d’utiliser directement la fonction de répartition $F$.
• La probabilité $P(a<X<b)$ peut aussi s’écrire avec la fonction de répartition : $P(a<X<b)=F(b)-F(a)$ (avec les bornes adaptées après transformation).

💡 Astuce mémo

Normaliser = soustraire μ puis diviser par ω : $Z=\frac{X-\mu}{\omega}$, puis on lit $F$ sur les tables.

📖 9. Lecture de la table z et calculs d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème central-limite : Le théorème central-limite affirme que la somme (ou moyenne) d’un grand nombre de variables indépendantes tend vers une loi normale, sous des conditions générales.
• Théorème de Moivre-Laplace : Le théorème de Moivre-Laplace est une forme du TCL qui justifie l’approximation normale d’une loi binomiale lorsque les paramètres sont suffisamment grands.
• Loi binomiale approximée par la loi normale : C’est l’approximation d’une variable binomiale par une loi normale quand les effectifs et probabilités rendent la distribution suffisamment “dense”.
• Loi de Poisson approximée par la loi normale : C’est l’approximation d’une loi de Poisson par une loi normale lorsque la moyenne est assez grande.
• Loi binomiale approximée par la loi de Poisson : C’est l’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson quand le nombre d’essais est grand et la probabilité de succès est petite.

📝 Points essentiels

• Pour une binomiale, l’approximation normale est valable si $nP\ge 5$ et $nQ\ge 5$ (avec $Q=1-P$).
• Dans l’exemple “familles de 3 enfants” avec $n=3$ et $P=Q=0{,}5$, on a $nP=nQ=1{,}5<5$, donc pas d’approximation normale.
• Pour une binomiale, l’approximation par Poisson est recommandée si $n$ est très grand et $nP\le 5$.
• Dans l’exemple “familles de 3 enfants”, $nP=1{,}5$, donc l’approximation Poisson n’est pas retenue (on utilise la binomiale).
• Pour une Poisson, l’approximation normale est indiquée quand la moyenne $\omega$ est grande (dans le cours, condition du type $\omega>10(20)$).
• Pour une Poisson, on utilise $\omega=nP$ et la probabilité s’écrit $P(X=k)=e^{-\omega}\,\omega^k/k!$.

💡 Astuce mémo

Seuils à vérifier : normal pour $nP,nQ\ge 5$ ; Poisson pour $n$ grand et $nP\le 5$ ; Poisson→normal pour $\omega$ grand.

📖 10. Approximation binomiale par la loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : La loi normale est une loi de probabilité continue, souvent utilisée pour approximer des distributions plus complexes quand les conditions sont réunies.
• Loi binomiale : La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de $n$ essais indépendants identiques, chacun ayant une probabilité de succès $p$.
• Approximation normale : L’approximation normale consiste à remplacer une loi binomiale par une loi normale pour calculer des probabilités plus facilement.
• Correction de continuité : La correction de continuité ajuste l’approximation normale pour tenir compte du fait que la variable binomiale est discrète.

📝 Points essentiels

• Pour approximer une binomiale par une normale, on utilise une normale de moyenne $np$ et d’écart-type $\sqrt{np(1-p)}$.
• On applique l’approximation sur des événements binomiaux du type $P(X\le k)$ ou $P(X\ge k)$ en traduisant $k$ en borne sur la normale.
• Comme $X$ est discret, on utilise la correction de continuité en décalant les bornes de $\pm 0{,}5$ avant de passer à la loi normale.
• Pour $P(X\ge k)$, on peut calculer $1-P(X\le k-1)$ afin d’éviter des erreurs de borne lors de la correction de continuité.
• Quand la probabilité $p$ est proche de $0$ ou $1$, l’approximation normale devient moins fiable et la correction seule ne suffit pas toujours.
• Table statistique et lecture : on convertit la borne en variable centrée-réduite $Z$ puis on lit la probabilité correspondante dans la table de la loi normale.

💡 Astuce mémo

Binomial → Normal : moyenne $np$, écart-type $\sqrt{np(1-p)}$, puis pense “discret” donc $\pm 0{,}5$ avant de lire la table.

📖 11. Lois dérivées de la loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi du khi-deux : La loi du khi-deux modélise la somme de carrés de variables normales centrées réduites indépendantes, avec un nombre de degrés de liberté $k$.
• Degrés de liberté $k$ : Les degrés de liberté $k$ paramètrent la loi du khi-deux et la loi de Student, et déterminent la forme de la distribution.
• Loi de Student : La loi de Student est une loi dérivée de la loi normale, utilisée quand on divise une normale par la racine d’une variable khi-deux indépendante.
• Variable normale centrée réduite : Une variable normale centrée réduite suit une loi normale de moyenne $0$ et d’écart-type $1$.
• Variable khi-deux à $k$ ddl : Une variable $Y$ suit une loi du khi-deux à $k$ degrés de liberté, et intervient dans la construction de la loi de Student.

📝 Points essentiels

• Si $\omega^2_k$ suit une loi du khi-deux à $k$ degrés de liberté, alors $E(\omega^2_k)=k$ et $\mathrm{var}(\omega^2_k)=2k$.
• Pour lire la table du khi-deux, on utilise une probabilité de la forme $P(\varepsilon^2>\varepsilon^2_\omega)$ pour un $k$ donné.
• Exemple de lecture (khi-deux) : pour une loi du khi-deux à $5$ ddl, la probabilité $P(X>1{,}475884)$ vaut $0{,}1$ (10%).
• Cadre de la loi de Student : $Z$ est normale centrée réduite, $Y$ suit une loi du khi-deux à $k$ ddl, et $Z$ et $Y$ sont indépendantes.
• Construction de la loi de Student : la variable $t=\dfrac{Z}{\sqrt{Y/k}}$ suit une loi de Student à $k$ ddl.
• Pour lire la table de Student, on cherche une probabilité du type $P(X>\text{valeur})$ sur la ligne correspondant à $k$.

💡 Astuce mémo

Khi-deux : somme de carrés → moyenne $k$, variance $2k ; Student : normale / racine d’un khi-deux (indépendants).

📊 Tableaux de synthèse

Disjoints vs indépendants (dé à 6 faces)

Approximation binomiale/Poisson par la normale

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction de probabilité (discrète) et loi de probabilité : la fonction doit vérifier ∑k pxk=1 et ne doit pas être confondue avec la loi.
2. Croire que l’approximation normale de la binomiale s’applique toujours : le cours impose nP≥5 et nQ≥5 (sinon, pas d’approximation).
3. Oublier la correction de bornes quand on lit une probabilité sur une variable discrète (événements du type X≤k ou X≥k) avant de passer à la normale.
4. Se tromper de logique disjoints/indépendants : disjoints ⇒ addition (A ou B), indépendants ⇒ multiplication (A et B).
5. Inverser complément et presque sûr : P(Ac)=1−P(A) et P(A)=1 correspond à l’évènement presque sûr.
6. Confondre densité f et fonction de répartition F : pour une variable continue, P(a<X<b)=∫_a^b f(t)dt=F(b)−F(a).
7. Mauvaise standardisation : pour la table centrée réduite, utiliser Z=(X−\mu{})/ω (soustraire \mu{} puis diviser par ω).

✅ Checklist Examen

1. Définir un évènement, un évènement impossible (P(Ø)=0) et un évènement complémentaire, puis écrire P(Ac)=1−P(A).
2. Savoir calculer P(A) en cas équiprobables : P(A)=nombre de cas favorables/nombre de cas possibles.
3. Appliquer les règles disjoints/indépendants : écrire P(A∪B)=P(A)+P(B) si disjoints et P(A∩B)=P(A)P(B) si indépendants.
4. Pour une variable continue, calculer P(a→X→b) par intégration : P(a<X<b)=∫_a^b f(t)dt et aussi via F(b)−F(a).
5. Utiliser la primitive : si F est la primitive de f, alors ∫_a^b f(t)dt=F(b)−F(a), et en déduire F(0)=0 si X est positive.
6. Calculer l’espérance d’une variable discrète : E(X)=∑k k·P(X=k), puis appliquer aux cas binomial (E(X)=nP) et Poisson (E(X)=ω).
7. Pour une moyenne estimée m sur k observations, écrire m=(1/k)∑_{i=1}^k x_i et vérifier E(m)=\mu{}, puis var(m)=ω^2/k.
8. Calculer l’espérance et l’écart-type d’une moyenne estimée : lire que l’incertitude se lit via Var(m) ou via σ/√n (pas via l’espérance seule).
9. Savoir quand utiliser l’approximation normale de la binomiale : vérifier nP≥5 et nQ≥5 et donner moyenne nP et variance nPQ.
10. Savoir quand utiliser l’approximation normale de la Poisson : vérifier ω suffisamment grand (ω>10 (20) dans le texte) et relier l’approximation à ω.
11. Maîtriser la table de la loi normale centrée réduite : transformer en Z=(X−\mu{})/ω, puis calculer des intervalles via P(Z<z)=valeur de table et P(a<Z<b)=P(Z<b)−P(Z<a).
12. Savoir lire les tables des lois dérivées : khi-deux (ddl k, E(ω_k^2)=k, var(ω_k^2)=2k) et Student (cadre : Z normale centrée réduite, Y khi-deux à k ddl indépendant, t=Z/√(Y/k)).