QCM : Introduction aux lois de probabilité et leur utilisation — 21 questions

Explication

Dans un cas équiprobable, la probabilité se calcule par comptage : cas favorables sur cas possibles. Les autres propositions ne correspondent pas à cette règle de base.

Explication

Des évènements disjoints ne peuvent pas survenir simultanément. L’indépendance est une notion différente : elle concerne l’absence d’influence entre évènements.

Explication

Un évènement impossible ne peut jamais se produire, donc sa probabilité vaut 0. Ce n’est pas une probabilité complémentaire ni une moyenne.

Explication

La fonction de répartition associe à tout réel t la probabilité P(X≤t). Elle ne décrit pas une densité en un point ni une moyenne.

Explication

Si la variable est positive, la probabilité entre 0 et x1 se lit directement par F(x1), car F(0)=0. C’est une application directe de la fonction de répartition.

Explication

L’espérance d’une variable discrète est une somme pondérée : E(X)=∑k k·P(X=k). Elle ne se calcule ni par différence ni par produit de toutes les valeurs.

Explication

Pour une loi de Poisson, l’espérance est égale au paramètre moyen ω. La formule np correspond à la loi binomiale, pas à la Poisson.

Explication

La variance de la moyenne estimée diminue avec la taille de l’échantillon et vaut σ²/n. L’écart-type correspondant est σ/√n, pas la variance.

Explication

Un estimateur non biaisé a une espérance égale à la valeur vraie à estimer. Sa variance peut être positive, mais sa moyenne théorique coïncide avec la vraie moyenne.

Explication

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans n essais indépendants identiques. Le temps d’attente relève plutôt d’autres modèles probabilistes.

Explication

Pour une loi binomiale, l’espérance est égale à np. C’est une propriété fondamentale de cette loi.

Explication

L’approximation normale est admise lorsque nP et nQ sont chacun au moins égaux à 5. Cela garantit que la binomiale est suffisamment “dense” pour être approchée par une normale.

Explication

Dans l’approximation normale d’une binomiale, la moyenne est nP et la variance est nPQ. La quantité nQ n’est pas la moyenne.

Explication

La standardisation consiste à soustraire la moyenne puis à diviser par l’écart-type : Z=(X-μ)/ω. Cela permet d’utiliser la table de la loi normale centrée réduite.

Explication

Une loi normale N(μ,ω²) a pour moyenne μ et pour variance ω². L’écart-type est ω, pas la variance.

Explication

La probabilité d’être entre a et b se lit comme la différence des deux valeurs de répartition : P(Z<b)-P(Z<a). C’est exactement le principe de lecture d’un intervalle.

Explication

Pour une borne supérieure, on utilise le complément : P(Z>0,2)=1-P(Z<0,2). La table donne souvent P(Z<z), pas directement la probabilité de dépassement.

Explication

L’approximation normale d’une binomiale nécessite nP≥5 et nQ≥5, avec Q=1-P. Sans ces conditions, l’approximation peut être mauvaise.

Explication

Comme la binomiale est discrète, on ajuste les bornes de 0,5 avant l’approximation normale. Cette correction de continuité évite les erreurs de lecture sur les seuils.

Explication

La loi du khi-deux est définie comme la somme de carrés de variables normales centrées réduites indépendantes. Le nombre k correspond aux degrés de liberté.

Explication

La loi de Student est construite à partir d’une normale centrée réduite Z et d’un khi-deux Y indépendant : t=Z/√(Y/k). Cette forme est précisément celle donnée dans le cours.