Fiche de révision : Introduction aux probabilités fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales de l'expérience aléatoire et vocabulaire associé
2. Définition et calcul des probabilités dans un univers fini et équiprobable
3. Opérations sur événements : intersection, incompatibilité et réunion
4. Événement contraire et calcul de sa probabilité
5. Utilisation des tableaux pour organiser et calculer des probabilités conditionnelles
6. Arbres pondérés de probabilités : construction, calculs et interprétations
7. Probabilités conditionnelles : définition, calcul et exemples avec arbres
8. Formule des probabilités totales et application à des événements composés
9. Indépendance de deux événements : définition, critères et exemples
10. Calculs de probabilités dans des situations d'indépendance et interprétations
11. Application des probabilités conditionnelles à des exemples concrets
12. Synthèse des propriétés fondamentales des probabilités et exercices associés

📖 1. Notions fondamentales de l'expérience aléatoire et vocabulaire associé

📝 Points essentiels

• Une expérience est dite aléatoire lorsque le hasard rend le résultat incertain.

💡 À retenir

Avant tout calcul, repérer une expérience aléatoire (résultat incertain), son univers Ω (ensemble des issues possibles) et comprendre qu’un événement est un ensemble d’issues : élémentaire (une seule issue), certain (toutes les issues) ou impossible (aucune issue).

📖 2. Définition et calcul des probabilités dans un univers fini et équiprobable

🔑 Notions clés & Définitions

• Dans une situation d'équiprobabilité : Situation où tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se réaliser.

📝 Points essentiels

• Pour tout événement A de Ω, la probabilité est P(A) = Card(A)/n.
• La probabilité d’un événement certain est 1 et celle d’un événement impossible est 0.
• En situation d’équiprobabilité, tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

💡 À retenir

En univers fini équiprobable, on compte les issues réalisant l’événement avec Card(A), puis on applique P(A)=Card(A)/n ; ainsi l’événement certain a une probabilité 1 et l’événement impossible une probabilité 0.

📖 3. Opérations sur événements : intersection, incompatibilité et réunion

📝 Points essentiels

• Exemple : pour A=« multiple de 3 » et B=« obtenir le 4 », les événements sont incompatibles, donc P(A∩B)=0.
• Evénement A : « Obtenir un multiple de 3 » Evénement B : « Obtenir un multiple de 2 » A ∩ B = 6 P(A∩B) = 16 Si A ∩ B = Ø , A et B sont appelés événements incompatibles Si A et B sont incompatibles alors P(A∩B) = 0.
• L’intersection A∩B est l’événement contenant les issues appartenant à la fois à A et à B.
• Pour la réunion : P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) ; si A et B sont incompatibles, alors P(A∪B)=P(A)+P(B).

💡 À retenir

L’intersection correspond au « ET » (A∩B) et la réunion au « OU » (AB). Quand A et B sont incompatibles, A∩B=Ø donc P(A∩B)=0, ce qui évite le double comptage dans le calcul de la réunion.

📖 4. Événement contraire et calcul de sa probabilité

📝 Points essentiels

• Le contraire permet de calculer une probabilité en passant par la probabilité de l’événement complémentaire.
• Le calcul du contraire évite de compter directement les issues de A quand on détermine plutôt celles qui n’appartiennent pas à A.
• Pour tout événement A : P(A)=1-P(A).
• On note P(A) la probabilité de l'événement A .
• L’événement contraire de A, noté A, contient tous les éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A.
• Le calcul du contraire évite de compter directement les issues de A quand elles sont plus nombreuses à déterminer.

💡 À retenir

Quand la probabilité de A est difficile à déterminer directement, on calcule celle de l’événement contraire A via P(A)=1-P(A), en utilisant les issues de Ω qui n’appartiennent pas à A.

📖 5. Utilisation des tableaux pour organiser et calculer des probabilités conditionnelles

📝 Points essentiels

• On complète le tableau en calculant les effectifs à partir du total et des pourcentages : par exemple le nombre de filles vaut 56%×25 et le nombre de calculatrices Texas Instruments vaut 32%×25.
• On choisit au hasard une élève parmi les filles : la probabilité qu’elle possède une Casio est une probabilité conditionnelle notée PF(C).
• On choisit au hasard une élève parmi les élèves ayant une Numworks : la probabilité qu’elle soit un garçon est une probabilité conditionnelle notée PN(G).
• 214 Cette dernière probabilité est une probabilité conditionnelle, c’est la probabilité que l’élève ait une CASIO SACHANT QUE c’est une fille .
• Le tableau croise deux catégories : par exemple « sexe » (filles/garçons) et « marque de calculatrice » (Casio/TI/Numworks).
• On complète le tableau en calculant les effectifs à partir des pourcentages et du total (exemple : total 25 élèves).
• Exemple de calcul d’effectifs : nombre de filles = 56%×25 et nombre de calculatrices Texas Instruments = 32%×25.
• Deux filles et trois garçons ont une calculatrice Casio.

💡 À retenir

On complète le tableau en calculant les effectifs à partir du total et des pourcentages : par exemple le nombre de filles vaut 56%×25 et le nombre de calculatrices Texas Instruments vaut 32%×25.

📖 6. Arbres pondérés de probabilités : construction, calculs et interprétations

📝 Points essentiels

• Pour avoir la probabilité d’un chemin, on multiplie les probabilités des branches du chemin.
• Dans l’exemple des dragées : 10% sont vertes dont 30% à l’amande ; 40% bleues dont 20% au chocolat ; le reste roses dont 40% à l’amande.
• Plusieurs branches partent d’un même noeud (ici 4 ) - Une succession de branches partant du nœud principal forme un chemin (ici 6 ).
• Chaque segment de l’arbre est une branche sur laquelle on écrit une probabilité.
• Plusieurs branches partent d’un même nœud : la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.

💡 À retenir

Construire l’arbre puis appliquer deux réflexes : multiplier les probabilités des branches d’un chemin pour obtenir sa probabilité, et additionner les probabilités des chemins pour obtenir une probabilité totale (comme pour P(C) = P(VC) + P(BC) + P(RC)).

📖 7. Probabilités conditionnelles : définition, calcul et exemples avec arbres

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle se note PA(B) et vaut PA(B)=P(AB)/P(A).
• Pour calculer PC(R), on utilise PC(R)=P(CR)/P(C)=0,3/0,45=2/3=0,67.
• On compare PR(C) et PC(R) : il n’y a pas égalité (PR(C)≠PC(R)).
• La probabilité de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé se note PA(B) et vaut PA(B)=P(AB)/P(A).

💡 À retenir

La probabilité conditionnelle se note PA(B) et vaut PA(B)=P(AB)/P(A).

📖 8. Formule des probabilités totales et application à des événements composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule des probabilités totales P(B) : Non BILAN : 1er niveau 2ème niveau Probabilités P(AB)=P(A)PA(B) P(AB)=P(A)PA(B) P(AB)=P(A)PA(B) P(AB)
• Probabilités des branches : Règle d’arbre : pour avoir la probabilité d’un chemin, on multiplie les probabilités des branches du chemin.

📝 Points essentiels

• La formule des probabilités totales s’écrit P(B)=P(A)·P_A(B)+P(A)·P_A(B), avec A et son contraire.
• La formule des probabilités totales sert à relier une probabilité composée à des probabilités conditionnelles sur une partition formée par A et son contraire.

💡 À retenir

La formule des probabilités totales relie une probabilité globale à des probabilités conditionnelles en passant par une partition formée par un événement et son contraire.

📖 9. Indépendance de deux événements : définition, critères et exemples

📝 Points essentiels

• Remarque : l’indépendance signifie que la réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre.
• Exemple 1 (32 cartes) : avec R=« tirer un roi » et T=« tirer un trèfle », on a P(R)=4/32=1/8 et P(T)=8/32=1/4, et comme P(R)=P(T∩R), R et T sont indépendants.
• Exemple 2 (ajout de deux jokers) : après ajout de deux jokers, on suppose que les événements A et B sont indépendants, mais l’égalité correspondante n’est plus vérifiée, donc ils ne sont pas indépendants.
• Exemple maladies : A=« maladie a » avec P(A)=0,005 et B=« maladie b » avec P(B)=0,01 ; on suppose A et B indépendants.
• On dit que deux événements A et B (de probabilités non nulles) sont indépendants lorsque PA(B)=P(B) ou PB(A)=P(A).
• Exemple avec 32 cartes : R=« tirer un roi » et T=« tirer un trèfle » ; on calcule P(R)=4/32=1/8 et P(T)=8/32=1/4 puis on conclut via l’égalité P(R)=P(T∩R) (dans la logique de l’exemple).
• Exemple avec ajout de deux jokers : les probabilités ne vérifient plus l’égalité correspondante, donc R et T ne sont pas indépendants.

💡 À retenir

Remarque : l’indépendance signifie que la réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre.

📖 10. Calculs de probabilités dans des situations d'indépendance et interprétations

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple des maladies, si A est l’événement « l’individu a la maladie a » et B l’événement « l’individu a la maladie b », on cherche P(AB).
• Lorsque A et B sont indépendants, P(AB)=P(A)P(B).
• Dans l’exemple maladies, avec P(A)=0,005 et P(B)=0,01, on obtient P(AB)=0,005×0,01=0,00005.
• Dans l’exemple maladies, on calcule ensuite P(A)+P(B)-P(AB)=0,005+0,01-0,00005=0,01495.
• Interprétation : il y a 1,495% de chances d’avoir au moins l’une des maladies.
• Le calcul de P(AB) sert ensuite à obtenir la probabilité d’au moins un des deux événements via la formule P(A)+P(B)-P(AB).

💡 À retenir

Dans l’exemple des maladies, si A est l’événement « l’individu a la maladie a » et B l’événement « l’individu a la maladie b », on cherche P(AB).

📖 11. Application des probabilités conditionnelles à des exemples concrets

📝 Points essentiels

• On conclut que PR(C) et PC(R) ne sont pas égales car l’ordre des conditions change l’événement conditionnant (exemples formulés « chocolat sachant qu’elle est rose » et « rose sachant qu’elle est au chocolat »).
• On conclut que PR(C) et PC(R) ne sont pas égales (ordre des conditions différent).
• Ces applications montrent que la condition change l’univers de référence (les chemins considérés).

💡 À retenir

On conclut que PR(C) et PC(R) ne sont pas égales car l’ordre des conditions change l’événement conditionnant (exemples formulés « chocolat sachant qu’elle est rose » et « rose sachant qu’elle est au chocolat »).

📖 12. Synthèse des propriétés fondamentales des probabilités et exercices associés

📝 Points essentiels

• Si A et B sont indépendants, alors P(AB)=P(A)P(B), comme dans l’exemple où P(A)=0,005 et P(B)=0,01 donnent P(AB)=0,00005.
• Pour les cartes, si P(R)=PT(R), alors R et T sont indépendants ; si P(R)≠PT(R), alors R et T ne sont pas indépendants (avec l’ajout de deux jokers).
• Bilan (niveau 1) : P(AB)=P(A)·P_A(B) (formule reliant intersection et conditionnelle).
• Bilan (niveau 3) : P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) (inclusion-exclusion pour la réunion).
• Bilan (niveau 5) : si A et B sont indépendants, alors P(AB)=P(A)P(B).

💡 À retenir

Choisir la formule selon le type de question : intersection via P(AB)=P(A)·P_A(B) (et P(AB)=P(A)P(B) en cas d’indépendance), réunion via inclusion-exclusion P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), et test d’indépendance par l’égalité P(R)=PT(R).

🧩 Compléments de couverture

1. La fiche source précise que l’événement certain correspond à « Obtenir un chiffre plus petit que 7 » et qu’il est noté comme événement certain C (avec C=).
2. La source définit explicitement l’événement impossible comme « Obtenir 7 » et indique la notation D=Ø.
3. Dans l’exemple du dé à 6 faces, la source calcule P(B) pour B={5} comme 1/6.
4. Notation : P(VC)=0,1 0,7 =0,07 « se lit inter et signifie en probabilité et » Propriété : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de tous les chemins qui y conduisent.
5. NON Exercices 1 – 2 III ARBRES DE PROBABILITÉS Voici des dragées dans un sac :.
6. Notation : P(A) = P(C) = 1 -P(C) P(A)= 1 - 0,45 = 0,55 A est appelé événement contraire de C .
7. 1 On considère une expérience aléatoire d'univers Ω contenant n issues équiprobables.
8. Ce qui fait 2 issues favorables à A sur un total de 6 .

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre intersection et réunion :
   • intersection = “ET” ($A\cap B$)
   • réunion = “OU” ($A\cup B$)
2. Oublier le terme $-P(A\cap B)$ dans la formule de la réunion quand les événements ne sont pas incompatibles.
3. Penser que “incompatibles” signifie juste “différents” : dans le cours, incompatibles ⇔ $A\cap B=\varnothing$ ⇔ $P(A\cap B)=0$.
4. Se tromper sur le contraire : l’événement contraire contient les éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A.
5. Inverser la condition dans une probabilité conditionnelle : le cours insiste sur le fait que changer l’ordre des conditions donne des valeurs différentes ($PR(C)\neq PC(R)$).
6. Confondre probabilité d’un chemin et probabilité totale sur un arbre :
   • chemin = produit
   • total = somme des chemins menant à l’événement
7. Pour l’équiprobabilité, oublier que la formule repose sur le comptage : utiliser autre chose que $P(A)=\text{Card}(A)/n$.

✅ Checklist Examen

1. Identifier qu’une expérience est aléatoire quand le résultat est incertain.
2. Déterminer l’univers Ω (ensemble des issues possibles).
3. Reconnaître qu’un événement est un ensemble d’issues et distinguer événement élémentaire / certain / impossible.
4. En univers fini équiprobable, appliquer correctement $P(A)=\text{Card}(A)/n$.
5. Calculer la probabilité d’un événement certain (=1) et impossible (=0).
6. Utiliser correctement l’intersection comme “ET” ($A\cap B$) et vérifier le cas incompatibles ($A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cap B)=0$).
7. Utiliser correctement la réunion avec inclusion-exclusion : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, et simplifier en cas d’incompatibilité.
8. Savoir définir l’événement contraire $\overline{A}$ (“ce qui n’est pas dans A”) et appliquer la relation avec la probabilité du contraire ($P(\overline{A})=1-P(A)$).
9. Construire/compléter un tableau croisant deux catégories pour obtenir une probabilité conditionnelle à partir d’effectifs (total × pourcentages).
10. Sur un arbre pondéré, calculer la probabilité d’un chemin par produit des probabilités des branches puis additionner les chemins pour obtenir la probabilité totale.
11. Calculer une probabilité conditionnelle avec la formule $P_A(B)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$, en respectant strictement l’ordre des conditions.
12. Tester/Utiliser l’indépendance : rappeler que l’indépendance signifie absence d’influence et appliquer si nécessaire $P(AB)=P(A)P(B)$.