Fiche de révision : Introduction aux suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Ventes magasin : suite arithmétique
2. Définition et raison d’une suite arithmétique
3. Terme général et calcul d’un rang
4. Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique
5. Ventes internet : suite géométrique et coefficient
6. Définition et terme général d’une suite géométrique
7. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique
8. Exercices de suites arithmétiques
9. Exercices de suites géométriques
10. Lien pourcentages et coefficient multiplicateur

📖 1. Ventes magasin : suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite de nombres où chaque terme s’obtient en ajoutant toujours la même valeur au terme précédent, appelée raison.
• Raison r : Valeur constante qui relie deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
• Terme u₁ : Premier terme d’une suite arithmétique, noté u₁.
• Terme uₙ : n-ième terme d’une suite arithmétique, noté uₙ.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple magasin, les ventes diminuent de 100 € chaque année, donc la raison vaut r = -100.
• On lit u₁ = 1840 pour l’année 2020 et u₂ = 1740 pour 2021.
• Le passage d’une année à la suivante correspond à u_{m+1} = u_m + r.
• Pour 2024, on calcule 1540 - 100 = 1440, puis 2025 : 1440 - 100 = 1340, puis 2026 : 1340 - 100 = 1240.
• La question compare 2026 : magasin = 1240 (en millions d’euros) avec internet calculé ensuite via une autre suite.

💡 Astuce mémo

Raison arithmétique = même “+ ou −” à chaque pas.

📖 2. Définition et raison d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• S.A : Abréviation de suite arithmétique, où l’écart entre deux termes consécutifs est constant.
• Terme précédent : Terme situé juste avant un autre dans la suite, utilisé pour calculer le suivant.
• Écart constant : Propriété d’une suite arithmétique : la différence entre deux termes consécutifs ne change pas.

📝 Points essentiels

• Une S.A est définie par une relation de récurrence : chaque terme s’obtient en ajoutant la raison r au terme précédent.
• On peut écrire u₂ = u₁ + r et u₃ = u₂ + r.
• La relation générale s’écrit u_{m+1} = u_m + r.
• La raison r peut être positive (augmentation) ou négative (diminution).
• Dans l’exemple magasin, r = -100 traduit une baisse régulière.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = “écart fixe” : différence identique entre deux voisins.

📖 3. Terme général et calcul d’un rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule du terme général : Expression qui donne directement u_m à partir de u₁ et de la raison r.
• Rang m : Position d’un terme dans la suite, notée m (par exemple u_m).
• u_m = u₁ + (m-1)×r : Formule reliant le terme de rang m au premier terme et à la raison d’une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Le terme général d’une suite arithmétique s’écrit u_m = u₁ + (m - 1) × r.
• Cette formule permet de calculer un terme sans calculer tous les termes précédents.
• Exemple : pour u₁ = 200 et r = 30, on obtient u₂₀ = 200 + (20 - 1)×30 = 770.
• Exemple : pour u₁ = 20 et r = -2,5, on obtient u₁₀ = 20 + (10 - 1)×(-2,5) = -42,5.
• Dans les exercices, on utilise aussi Uₙ = U₁ + (n-1)×r pour calculer un rang donné.

💡 Astuce mémo

u_m = u₁ + (m−1)×r : on ajoute r autant de fois qu’il y a de “pas” depuis u₁.

📖 4. Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme Sₙ : Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique, notée Sₙ.
• Sₙ = (n/2)×(u₁+uₙ) : Formule de la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique à partir du premier et du dernier terme de la somme.
• Dernier terme uₙ : Terme de rang n, noté uₙ, qui intervient dans la formule de somme.

📝 Points essentiels

• La somme des n premiers termes d’une S.A s’écrit Sₙ = u₁ + u₂ + … + uₙ.
• On utilise la formule Sₙ = (n/2) × (u₁ + uₙ).
• Exemple 1 : pour u₁ = 1860, r = -100, on calcule d’abord u₇ = 1240 puis S₇ = (7/2)×(1860+1240) = 10780.
• Exemple 2 : pour u₁ = 8, r = 4, on calcule u₁₂ = 8 + 11×4 = 52 puis S₁₂ = (12/2)×(8+52) = 360.
• Dans les exercices, on vérifie souvent avec un tableur après avoir appliqué la formule.

💡 Astuce mémo

Somme arithmétique = moyenne × nombre : (u₁+uₙ)/2 puis × n.

📖 5. Ventes internet : suite géométrique et coefficient

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite de nombres où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante, appelée coefficient.
• Coefficient multiplicateur : Constante $q$ qui multiplie un terme pour obtenir le suivant dans une suite géométrique.
• Raison q : Valeur constante $q$ qui relie deux termes consécutifs d’une suite géométrique par multiplication.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple internet, les valeurs ne forment pas une suite arithmétique car les différences ne sont pas constantes.
• On observe un facteur constant entre deux années : on passe d’un terme au suivant en multipliant par 1,14.
• Le coefficient multiplicateur vaut donc q = 1,14 pour les ventes internet.
• En 2024 : 740,772 × 1,14 = 844,48, puis en 2025 : 844,48 × 1,14 = 962,71, puis en 2026 : 962,71 × 1,14 = 1097,49.
• Conclusion de l’activité : en 2026, internet dépasse le magasin (1097,49 contre 1240, en millions d’euros).

💡 Astuce mémo

Géométrique = “× q” : même multiplicateur à chaque année.

📖 6. Définition et terme général d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• S.G : Abréviation de suite géométrique, où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante.
• Relation de récurrence : Écriture qui relie un terme à son précédent, ici par multiplication par q.
• Terme général Uₙ : Expression directe du n-ième terme d’une suite géométrique à partir de U₁ et q.
• q : Raison (coefficient multiplicateur) d’une suite géométrique.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique vérifie la relation U_{n+1} = U_n × q.
• On peut écrire U₂ = U₁ × q, U₃ = U₁ × q², U₄ = U₁ × q³.
• La formule du terme général est Uₙ = U₁ × q^{n-1}.
• Exemple : U₁ = 10 et q = 1,5 donnent U₇ = 10 × 1,5⁶ = 113,91.
• Même exemple : U₁ = 10 et q = 1,5 donnent U₁₀ = 10 × 1,5⁹ = 384,43.

💡 Astuce mémo

Uₙ = U₁ × q^{n−1} : l’exposant compte les multiplications depuis U₁.

📖 7. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme Sₙ d’une S.G : Somme des n premiers termes d’une suite géométrique, notée Sₙ.
• Formule de somme : Expression qui calcule Sₙ à partir de U₁, q et n.
• qⁿ : Puissance de la raison q correspondant au nombre de termes dans la somme.

📝 Points essentiels

• La somme des n premiers termes d’une S.G de premier terme U₁ et de raison q est donnée par Sₙ = U₁ × (1 - qⁿ)/(1 - q).
• On peut aussi écrire Sₙ = U₁ × (qⁿ - 1)/(q - 1).
• Exemple : pour U₁ = 25 et q = 1,2, on calcule S₂₀ via S₂₀ = 25 × (1,2²⁰ - 1)/(1,2 - 1) = 4667,20.
• Dans les exercices, on utilise aussi S = U₁ × (qⁿ - 1)/(q - 1) (forme équivalente).
• Exemple de calcul : pour U₁ = 1000 et q = 1,1, on obtient S₅ = 6105,1 (avec la formule).

💡 Astuce mémo

Somme géométrique = “U₁ × (qⁿ−1)/(q−1)” (ou l’équivalent avec (1−qⁿ)/(1−q)).

📖 8. Exercices de suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Reconnaître une suite arithmétique : Méthode consistant à vérifier que la différence entre termes consécutifs est constante.
• Raison r : Valeur constante de l’écart entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
• Somme Sₙ : Résultat de l’addition des n premiers termes d’une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Pour U₁ = 5 et r = 7, les 5 premiers termes sont 5, 12, 19, 26, 33.
• Pour V₁ = -2 et r = -4, les 5 premiers termes sont -2, -6, -10, -14, -18.
• Pour W₁ = 5000 et r = 250, les 5 premiers termes sont 5000, 5250, 5500, 5750, 6000.
• Dans le tableau : A (12 ; 15 ; 18 ; 21) est arithmétique de raison 3, B (15 ; 5 ; -5 ; -10) n’est pas arithmétique, C (2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32) n’est pas arithmétique, D (8,3 ; 15,9 ; 23,5 ; 31,1) est arithmétique de raison
• Dans les calculs de rang : avec U₁ = 8 et r = 20, U₂₀ = 388 ; avec V₁ = 5 et r = 0,15, U₁₀ = 7,85 ; avec W₁ = 400 et r = -7,5, U₁₀ = 257,5.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : même “+r” à chaque pas, donc les écarts doivent être identiques.

📖 9. Exercices de suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminer la raison q : Trouver le multiplicateur constant entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique.
• Vérifier une suite géométrique : Contrôler que le quotient de deux termes consécutifs est constant.
• Somme d’une S.G : Calcul de la somme des n premiers termes à l’aide de la formule en fonction de U₁, q et n.

📝 Points essentiels

• Pour U₁ = 1 et q = 5, les 5 premiers termes sont 1, 5, 25, 125, 625.
• Pour U₁ = -2 et q = 0,8, les 5 premiers termes sont -2, -1,6, -1,28, -1,024, -0,81.
• Dans l’exercice 3 : si U₁ = 3 et U₃ = 147, alors 147 = 3×q², donc q² = 49 et q = 7.
• Pour déterminer si une suite est géométrique : 3 ; 9 ; 27 ; 81 a q = 3 car 9/3 = 27/9 = 81/27 = 3.
• Pour la somme : on utilise S = U₁ × (1 - qⁿ)/(1 - q) ; par exemple avec U₁ = -50 et q = 0,9, on obtient S₁₀ = 325,66.

💡 Astuce mémo

Géométrique : même quotient q entre voisins (division au lieu de soustraction).

📖 10. Lien pourcentages et coefficient multiplicateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage d’évolution : Taux exprimé en % qui décrit une variation relative entre deux valeurs successives.
• Coefficient multiplicateur : Facteur $1 + T/100$ qui transforme une valeur en valeur après une évolution de T%.
• Raison q : Dans un contexte de croissance régulière, la raison géométrique correspond au coefficient multiplicateur.

📝 Points essentiels

• Pour une évolution de T%, on multiplie par (1 + T/100).
• Exemple : +20% correspond à un facteur 1,20.
• Exemple : +10% correspond à un facteur 1,10 et +5% correspond à un facteur 1,05.
• Le coefficient multiplicateur (1 + T/100) est aussi la raison q d’une suite géométrique.
• Dans l’exercice : avec q = 1,06 et U₁ = 3,5, on obtient U₁₀ = 3,5 × 1,06⁹ = 5,91 et S₁₀ = 3,5 × (1,06¹⁰ - 1)/(1,06 - 1) = 46,13.

💡 Astuce mémo

% → facteur : T% = “×(1+T/100)” donc q = 1+T/100.

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre arithmétique et géométrique : en arithmétique on ajoute une constante, en géométrique on multiplie par une constante.
2. Utiliser le mauvais exposant : dans une S.G, Uₙ = U₁ × q^{n-1} (pas q^n).
3. Se tromper de formule de somme : en S.A c’est (n/2)×(u₁+uₙ), en S.G c’est U₁×(1-qⁿ)/(1-q).
4. Interpréter les pourcentages comme une addition : +10% ne veut pas dire “+10”, mais “×1,10”.
5. Dans les exercices de reconnaissance, vérifier le bon critère : différence constante pour une S.A, quotient constant pour une S.G.

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier une suite arithmétique et déterminer sa raison r à partir de termes consécutifs.
2. Savoir calculer un terme de rang n d’une S.A avec Uₙ = U₁ + (n-1)×r.
3. Savoir calculer la somme Sₙ des n premiers termes d’une S.A avec Sₙ = (n/2)×(u₁+uₙ).
4. Savoir identifier une suite géométrique et déterminer sa raison q à partir de quotients de termes consécutifs.
5. Savoir calculer un terme de rang n d’une S.G avec Uₙ = U₁ × q^{n-1}.
6. Savoir calculer la somme Sₙ des n premiers termes d’une S.G avec Sₙ = U₁ × (1 - qⁿ)/(1 - q) (ou forme équivalente).
7. Savoir relier une évolution en pourcentage T% au coefficient multiplicateur q = 1 + T/100 et l’utiliser comme raison d’une S.G.
8. Savoir résoudre un problème de comparaison (comme ventes magasin vs internet) en modélisant chaque série avec la bonne suite et en calculant la valeur demandée pour l’année cible.