Fiche de révision : Maîtrise des inéquations et comparaisons fonctionnelles

📋 Plan du Cours

1. Définition et résolution d'une inéquation à une inconnue réelle
2. Propriétés d'addition et de soustraction dans les inégalités
3. Résolution d'inéquations linéaires simples et cas particuliers de fonctions affines
4. Interprétation du signe d'une fonction affine et comparaison de fonctions par leurs courbes
5. Règles sur le signe d'un produit de facteurs et utilisation du tableau de signes pour résoudre des inéquations
6. Étude de la position relative de courbes de fonctions polynomiales par factorisation
7. Addition membre à membre d'inégalités de même sens et conséquences sur les solutions

📖 1. Définition et résolution d'une inéquation à une inconnue réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Inégalité faisant intervenir une ou plusieurs inconnues symbolisées par des lettres.
• Membre de gauche : Expression située du côté gauche du signe d'inégalité.
• Membre de droite : Expression située du côté droit du signe d'inégalité.

📝 Points essentiels

• Résoudre dans ℝ une inéquation à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs réelles de l'inconnue qui vérifient l'inégalité proposée.
• Deux inéquations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble solution, noté 𝕊.
• Dans 2x + 1 ≤ x + 5, le membre de gauche est 2x + 1 et le membre de droite est x + 5.
• ❖ RESOUDRE dans IR une inéquation à une inconnue consiste à trouver, si elles existent, toutes les valeurs réelles de l'inconnue vérifiant l'égalité proposée. On note 𝕊 l'ensemble des solutions.

💡 À retenir

Résoudre dans ℝ une inéquation à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs réelles de l'inconnue qui vérifient l'inégalité proposée.

📖 2. Propriétés d'addition et de soustraction dans les inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• PROPRIETE : règle qui permet d’ajouter ou de retrancher un même nombre aux deux membres d’une inégalité tout en conservant son sens.

• PROPRIETES : règles de comparaison entre nombres réels qui expriment que, pour deux réels $a$ et $b$, on a $a < b \Leftrightarrow a - b < 0$ et $a > b \Leftrightarrow a - b > 0$.

• deux membres d'une inégalité : les deux expressions situées de part et d’autre du signe d’inégalité, sur lesquelles on peut effectuer la même opération sans modifier le sens de l’inégalité.

📝 Points essentiels

• On peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans changer son sens : $a \le b \Leftrightarrow a + c \le b + c$.
• On peut soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans changer son sens : $a \le b \Leftrightarrow a - c \le b - c$.
• Ces opérations servent à simplifier une inéquation ou à isoler l’inconnue.
• Exemple : $x - 8 \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 10$ en ajoutant 8 aux deux membres.

💡 À retenir

Pour résoudre une inéquation, on peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres sans changer le sens de l’inégalité. Cela permet de transformer l’expression et d’isoler plus facilement l’inconnue.

📖 3. Résolution d'inéquations linéaires simples et cas particuliers de fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Expression algébrique de la forme ax + b, où a et b sont des nombres réels, utilisée pour modéliser des relations linéaires et étudier des inéquations.
• Résoudre les inéquations suivantes : Processus consistant à isoler l'inconnue dans une inéquation en appliquant les règles de manipulation des inégalités, notamment en tenant compte du changement éventuel de sens lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.

📝 Points essentiels

• Pour tous nombres réels a, b, c avec c ≠ 0, multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement positif conserve le sens de l’inégalité.
• Dans l’exemple 2x - 5 ≥ 7x + 6, on obtient -5x ≤ 11 puis x ≥ -11/5 après division par -5, car le sens de l’inégalité est inversé.
• Résoudre une inéquation du type 7x + 5 ≤ 0 revient à étudier le signe d’une fonction affine, conduisant à la solution x ≤ -5/7.
• ➢ On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif en changeant le sens de l'inégalité.

💡 À retenir

Pour tous nombres réels a, b, c avec c ≠ 0, multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement positif conserve le sens de l’inégalité.

📖 4. Interprétation du signe d'une fonction affine et comparaison de fonctions par leurs courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• deux fonctions : deux fonctions $f$ et $g$ dont on compare les courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ en étudiant le signe de $f(x) - g(x)$.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ est au-dessus de la courbe $C_g$ d’une fonction $g$ si et seulement si $f(x) > g(x)$.

• Comparer deux fonctions revient à étudier le signe de la différence $f(x) - g(x)$.

• On a donc l’équivalence :

• $C_f$ est au-dessus de $C_g \iff f(x) > g(x) \iff f(x) - g(x) > 0$.

• Exemple : $C_f$ est au-dessus de $C_g \iff f(x) - g(x) > 0$.

• Pour deux fonctions affines $f(x) = 3x + 4$ et $g(x) = -2x + 1$, déterminer la position relative revient à résoudre :

• $3x + 4 > -2x + 1$.

💡 À retenir

Pour comparer graphiquement deux fonctions affines, on regarde si l’une de leurs courbes est au-dessus de l’autre. Cela revient à étudier le signe de leur différence : si $f(x) - g(x) > 0$, alors $C_f$ est au-dessus de $C_g$.

📖 5. Règles sur le signe d'un produit de facteurs et utilisation du tableau de signes pour résoudre des inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de facteurs : Expression algébrique obtenue en multipliant plusieurs expressions appelées facteurs.
• Nombre de facteurs négatifs : Quantité de facteurs dans un produit dont la valeur est inférieure à zéro, déterminant le signe du produit.
• Tableau de signes : Représentation organisée qui synthétise le signe de chaque facteur et du produit sur les intervalles définis par les racines des facteurs.

📝 Points essentiels

• Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.
• Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.
• Le tableau de signes récapitule le signe de chaque facteur et du produit sur les intervalles définis par les racines.
• Dans l'exemple (3x + 6)(-x + 4) ≤ 0, l'ensemble solution est ]-∞ ; -2] ∪ [4 ; +∞[.

💡 À retenir

Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.

📖 6. Étude de la position relative de courbes de fonctions polynomiales par factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Processus de transformation d'une différence de fonctions polynomiales en un produit de facteurs, permettant d'étudier le signe de cette différence.
• Déterminer la position relative : Méthode consistant à calculer la différence entre deux fonctions, à la factoriser si possible, puis à analyser le signe du produit obtenu pour savoir où une courbe est au-dessus de l'autre.
• EXERCICE 7 : EXERCICE 7* : On considère les deux fonctions f et g du second degré définies sur IR par les expressions algébriques : f(x) = 3x² + 3x - 4 ; g(x) = x + 1

📝 Points essentiels

• La différence de deux fonctions polynomiales peut être factorisée pour étudier leur position relative.
• La position relative se détermine en analysant le signe du produit factorisé obtenu.
• Cette méthode s'applique aussi à des fonctions définies par des produits de facteurs.
• Par exemple, pour f(x) = 3x² + 3x - 4 et g(x) = x + 1, on a f(x) - g(x) = (x - 1)(3x + 5).
• Déterminer où la courbe Cf est au-dessus de Cg revient à résoudre l'inéquation (x - 1)(3x + 5) > 0.
• Déterminer la position relative des courbes représentant ces deux fonctions.
• Déterminer la position relative des courbes Cf et Cg.

💡 À retenir

La différence de deux fonctions polynomiales peut être factorisée pour étudier leur position relative.

📖 7. Addition membre à membre d'inégalités de même sens et conséquences sur les solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalités de même sens : Deux inégalités qui utilisent le même type de comparaison, par exemple toutes les deux avec le symbole ≤ ou toutes les deux avec le symbole ≥.
• Donc l'ordre : Indication que le sens de l'inégalité reste inchangé après une opération qui respecte certaines conditions, comme la multiplication par un nombre positif.
• Conservé et donc : Situation où le sens de l'inégalité est maintenu après une transformation, notamment lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre strictement positif.
• Ordre est conservé : Propriété selon laquelle le sens de l'inégalité ne change pas lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement positif.

📝 Points essentiels

• Si a ≤ b et c ≤ d, alors on peut additionner membre à membre et obtenir a + c ≤ b + d.
• Cette propriété permet de combiner plusieurs inégalités pour en déduire une nouvelle inégalité.
• L’exemple donné montre que si x ≤ 2 et y ≤ -7, alors x + y ≤ -5.
• L’addition membre à membre conserve le sens des inégalités lorsqu’elles sont de même sens.
• Pour tous réels a, b, c et d : Si a ≤ b et c ≤ d alors a + c ≤ b + d

💡 À retenir

Si a ≤ b et c ≤ d, alors on peut additionner membre à membre et obtenir a + c ≤ b + d.

🧩 Compléments de couverture

1. Page 1 --- CALCULS ALGEBRIQUES - INEQUATIONS - TABLEAU SIGNES DEFINITION ❖ On appelle INEQUATION une inégalité faisant intervenir une ou plusieurs inconnues symbolisées par des lettres
2. EXEMPLE 1 : 2x + 1 ≤ x + 5 est une équation d'inconnue x
3. 1. est inférieur ou égal au membre de droite, qui est égal à 0 + 5
4. PROPRIETE : On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d'une inégalité en conservant son sens
5. EXEMPLE 2 : ➢ x - 8 ≥ 2 ⇔ x - 8 + 8 ≥ 2 + 8 ⇔ x ≥ 10 ➢ 2x + 1 ≤ 7 ⇔ 2x + 1 + (-1) ≤ 7 + (-1) ⇔ 2x ≤ 6 EXERCICE 2 : Compléter les équivalences ci-dessous en détaillant l'étape intermédiaire comme dans l'exemple 3 : x + 4 ≥ 0 ⇔ x + 4 ≥ 7 0 -
6. 1. ➢ On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement positif en conservant le sens de l'inégalité
7. Si a ≤ b et c > 0 alors a × c ≤ b × c et donc a/c ≤ b/c ➢ On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif en changeant le sens de l'inégalité
8. EXEMPLE 3 : - x/2 ≥ 3 ⇔ x/2 × 2 ≥ 3 × 2 car 2 > 0 donc l'ordre est conservé et donc x ≥ 6
9. Si -3x > 12 alors -3x/-3 < 12/-3 car -3 < 0 donc l'ordre n'est pas conservé et donc -3x > 12 ⇔ x < -4
10. EXEMPLE 4 : Résoudre les inéquations suivantes : 3x + 7 ≤ 4 et 7x - 5 ≥ -2x + 4 3x + 7 < 4 ⇔ 3x + 7 - 7 < 4 - 7 ⇔ 3x < -3 ⇔ 3x/3 < -3/3 car 3 > 0 donc l'ordre est conservé ⇔ x < -1 On note 𝕊 = ]-∞ ; -1[
11. EXERCICE 3 : Résoudre les inéquations suivantes 3x + 2 ≤ 4 | -2x + 1 ≥ -8 | -8x + 3 < 5x + 1 | x/3 + 1/4 < 2x - 2/5 LANDRE SANDRA - ANNEE 2025-2026 --- Page 2 --- EXEMPLE 5 Cas particulier : SIGNE D'UNE FONCTION AFFINE : Résoudre les inéqua
12. 2025-2026 --- Page 2 --- EXEMPLE 5 Cas particulier : SIGNE D'UNE FONCTION AFFINE : Résoudre les inéquations suivantes 7x + 5 ≤ 0 ⇔ 7x + 5 - 5 ≤ 0 - 5 ⇔ 7x ≤ -5 ⇔ 7x/7 ≤ -5/7 car 7 > 0 l'ordre est conservé ⇔ x ≤ 5/7 𝕊 = ]-∞ ; 5/7] 2/3 x - 4
13. x ≤ 5/7 𝕊 = ]-∞ ; 5/7] -2x - 3/4 < 0 ⇔ -2x - 3/4 + 3/4 < 0 + 3/4 ⇔ -2x < 3/4 ⇔ -2x/-2 > 3/4/-2 car -1 < 0 l'ordre est changé ⇔ x > 3/8 𝕊 = ]3/8 ; +∞[ PROPRIETES : Soient deux nombres
14. PROPRIETES : Soient deux nombres réels a et b : a < b ⇔ a - b < 0 et a > b ⇔ a - b > 0 EXEMPLE 6 : ➢ x < 3 ⇔ x - 3 < 0 ➢ x + 5 > 0 ⇔ x > -5 ➢ 12 - 5x ≥ 0 ⇔ 12 ≥ 5x EXERCICE 4 : Compléter les équivalences ci-dessous : x < -7 ⇔ x - 7
15. PROPRIETES : On considère deux fonctions f et g de courbes représentatives Cf et Cg
16. EXERCICE 5 : On considère les fonctions affines f(x) = 3x + 4 et g(x) = -2x + 1
17. PROPRIETES : ➢ Dans un produit de facteurs, si le nombre de facteurs négatifs est impair alors le produit est négatif
18. 0 ⇔ 3x > 6 ⇔ x > 6/3 car 3 > 0 donc on ne change pas l'ordre ⇔ x > 2 -x + 4 > 0 ⇔ -x > 4 ⇔ x < -4 car on multiplie par (-1) < 0 donc on change l'ordre On récapitule ces informations dans un tableau (appelé TABLEAU DE SIGNES) x | -∞ | -4 | 2
19. 1. ≤ 0 est 𝕊 = ]-∞ ; -4] ∪ [2 ; +∞[ EXERCICE 6 : Résoudre dans R les inéquations suivantes : (copie d'écran GEOGEBRA) (-3x + 7)(x - 4) ≥ 0 | (-2x + 4)(3 - x) ≤ 0 | (5x + 2)(-7x + 3) < 0 | (6x - 12)(-2 - x) > 0 EXERCICE 7* : On considère le
20. EXERCICE 6 : Résoudre dans R les inéquations suivantes : (copie d'écran GEOGEBRA) (-3x + 7)(x - 4) ≥ 0 | (-2x + 4)(3 - x) ≤ 0 | (5x + 2)(-7x + 3) < 0 | (6x - 12)(-2 - x) > 0 EXERCICE 7* : On considère les deux fonctions f et g du second deg
21. 1. Etablir la factorisation : f(x) - g(x) = (x - 1)(3x + 5) 2
22. PROPRIETE : On peut ajouter membre à membre des inégalités de même sens : Pour tous réels a, b, c et d : Si a ≤ b et c ≤ d alors a + c ≤ b + d EXEMPLE 8 : Si x ≤ 2 et y ≤ -7 alors x + y ≤ 2 - 7 soit x + y ≤ -5 Si 3x + 2 ≤ 4 et si -2x + 1 ≤
23. 1. • (-2x + 1) ≤ 4 + (-4) ⇔ 3x + 2 - 2x - 1 ≤ 4 - 4 ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ -1
24. On appelle INEQUATION une inégalité faisant intervenir une ou plusieurs inconnues symbolisées par des lettres.

📊 Tableaux de Synthèse

Inéquations et opérations sur les inégalités

Comparaison de fonctions et signes

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre une inéquation avec une équation alors qu’il s’agit d’une inégalité avec inconnue.
2. Oublier que l’ajout ou la soustraction du même nombre aux deux membres conserve le sens de l’inégalité.
3. Oublier d’inverser le sens quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
4. Confondre le signe de f(x) - g(x) avec la position relative des courbes : f(x) - g(x) > 0 signifie Cf au-dessus de Cg.
5. Croire qu’un produit est négatif quand le nombre de facteurs négatifs est pair.
6. Utiliser un tableau de signes sans repérer d’abord les racines des facteurs.
7. Oublier que la factorisation de la différence sert à comparer deux fonctions polynomiales.

✅ Checklist Examen

1. Définir une inéquation comme une inégalité avec une ou plusieurs inconnues.
2. Identifier le membre de gauche et le membre de droite d’une inégalité.
3. Donner l’ensemble solution 𝕊 d’une inéquation à une inconnue réelle.
4. Appliquer l’addition ou la soustraction du même nombre aux deux membres sans changer le sens.
5. Savoir quand le sens de l’inégalité est conservé ou inversé lors d’une multiplication ou division.
6. Résoudre une inéquation linéaire simple en isolant l’inconnue.
7. Interpréter le signe d’une fonction affine pour résoudre une inéquation du type ax + b ≤ 0.
8. Comparer deux fonctions en étudiant le signe de f(x) - g(x).
9. Utiliser la règle du signe d’un produit selon le nombre de facteurs négatifs.
10. Lire un tableau de signes pour résoudre une inéquation produit.
11. Factoriser une différence de fonctions polynomiales pour étudier leur position relative.
12. Utiliser l’addition membre à membre d’inégalités de même sens.