Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle : définition et exemples
2. Propriétés des probabilités conditionnelles
3. Arbre pondéré et calcul des probabilités
4. Indépendance de deux événements
5. Formule des probabilités totales
6. Répétition d’épreuves indépendantes

📖 1. Probabilité conditionnelle : définition et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité de B sachant A : La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ mesure la probabilité de $B$ quand $A$ est supposé réalisé.
• Événements A et B : Deux événements sont des ensembles d’issues possibles d’une expérience aléatoire, notés $A$ et $B$.

📝 Points essentiels

• Si $P(A)\neq 0$, alors $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• Si $P(B)\neq 0$, alors $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• Dans l’exemple téléphone/ordinateur, $P(T\mid O)=\dfrac{P(T\cap O)}{P(O)}=\dfrac{0,6}{0,75}=\dfrac{4}{5}=0,8$.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = “on ne regarde que l’intersection, ramenée à A”.

📖 2. Propriétés des probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection via probabilité conditionnelle : La probabilité de $A\cap B$ peut s’écrire comme produit d’une probabilité conditionnelle et d’une probabilité simple.
• Probabilité conditionnelle et complément : La probabilité conditionnelle du complément s’obtient à partir de la probabilité conditionnelle de l’événement.

📝 Points essentiels

• Si $P(A)\neq 0$, alors $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• Si $P(B)\neq 0$, alors $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$.
• Si $P(B)\neq 0$, alors $P_B(\overline{A})=1-P_B(A)$ (donc $P_B(A)+P_B(\overline{A})=1$).

💡 Astuce mémo

Intersection = “probabilité de la base” × “probabilité conditionnelle”.

📖 3. Arbre pondéré et calcul des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré représente des choix successifs avec des probabilités sur les branches et des probabilités conditionnelles aux niveaux suivants.
• Chemin : Un chemin est une suite de branches qui correspond à l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.
• L’événement $A\cap B$ correspond au chemin passant par $A$ puis $B$.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches (ex. $P(A\cap B)=0,4\times 0,65=0,26$ dans l’exemple).

💡 Astuce mémo

Arbre = produit le long du chemin, somme sur les chemins menant au même événement.

📖 4. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
• Critère d’indépendance : Le critère d’indépendance relie $P(A\cap B)$ au produit $P(A)\times P(B)$.

📝 Points essentiels

• Si $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$, alors $P(B\mid A)=P(B)$ équivaut à $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Les conditions $P(B\mid A)=P(B)$, $P(A\mid B)=P(A)$ et $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ sont équivalentes.
• Dans l’exemple cartes, $A$ (carreau) et $B$ (roi) sont indépendants, mais $A$ (carreau) et $C$ (rouge) ne le sont pas car tous les carreaux sont rouges.

💡 Astuce mémo

Indépendant ⇔ “intersection = produit”.

📖 5. Formule des probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une partition de $\Omega$ par des événements $A_i$ signifie que les $A_i$ sont disjoints deux à deux et recouvrent tout $\Omega$.
• Probabilités totales : La formule des probabilités totales exprime $P(B)$ comme somme des probabilités $P(A_i\cap B)$ via les $A_i$ de la partition.

📝 Points essentiels

• Si $A$ et $\overline{A}$ forment une partition, alors $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$.
• Sur une partition $A,B,C$ de $\Omega$, alors $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C\cap D)$.
• Sur l’arbre de l’exemple chiens, $P(\text{femelle})=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=0,4\times 0,65+0,6\times 0,45=0,53$.

💡 Astuce mémo

Somme sur les “cases” de la partition : $P(\text{cible})=\sum P(\text{case} \cap \text{cible})$.

📖 6. Répétition d’épreuves indépendantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve : Une épreuve est une expérience aléatoire répétable, dont l’issue peut varier d’une répétition à l’autre.
• Épreuves indépendantes : Deux épreuves sont indépendantes si l’issue de l’une ne change pas la probabilité de l’autre.

📝 Points essentiels

• Dans une répétition de deux épreuves, l’indépendance signifie que la probabilité d’un événement lié à la 2e épreuve ne dépend pas de l’issue de la 1re.
• Pour des événements $A$ et $B$ liés à deux épreuves indépendantes, on utilise $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Le cours relie cette idée à la méthode de calcul sur répétition d’épreuves indépendantes (exercices dédiés).

💡 Astuce mémo

Indépendance ⇒ produit des probabilités (comme pour l’intersection).

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $P_A(B)$ avec $P(B\mid A)$ sans vérifier que $P(A)\neq 0$.
2. Oublier que $P(A\cap B)$ vaut $P(A)\times P_A(B)$ (ou $P(B)\times P_B(A)$) : ce n’est pas un simple produit de $P(A)$ et $P(B)$ sauf si indépendance.
3. Se tromper dans la formule des probabilités totales : il faut sommer sur les événements d’une partition (disjoints et couvrant $\Omega$).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir $P_A(B)$ et l’utiliser pour calculer une probabilité conditionnelle à partir de $P(A\cap B)$ et $P(A)$.
2. Savoir transformer $P(A\cap B)$ en produit $P(A)\times P_A(B)$ ou $P(B)\times P_B(A)$ et utiliser la relation avec le complément conditionnel.
3. Savoir lire un arbre pondéré : somme des branches issues d’un nœud égale $1$, probabilité d’un chemin = produit, événement = chemin correspondant.
4. Savoir reconnaître l’indépendance avec le critère $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ et conclure à partir de $P(B\mid A)=P(B)$ (ou équivalent).
5. Savoir appliquer la formule des probabilités totales : partition de $\Omega$ puis somme des probabilités d’intersection menant à l’événement demandé.
6. Savoir traiter une répétition d’épreuves indépendantes en utilisant le produit des probabilités pour l’intersection des événements correspondants.