Fiche de révision : Effets de substitution et de revenu

📋 Plan du Cours

1. Contrainte et droite budgétaire
2. Modification des prix
3. Panier optimal du consommateur
4. Panier optimal et tangence
5. Résolution du choix optimal
6. Biens complémentaires parfaits
7. Biens substituables parfaits
8. Biens parfaitement substituables
9. Biens parfaitement complémentaires
10. Courbe d’Engel et préférences
11. Baisse du prix et bien de Giffen
12. Demande et demande inverse
13. Décomposition de Hicks et effets de prix
14. Calcul des effets sur la demande
15. Identité de Slutsky et loi de la demande

📖 1. Contrainte et droite budgétaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble budgétaire : Regroupe les combinaisons de deux biens accessibles compte tenu du revenu et de leurs prix.

★ À maîtriser

📐 Formule - La contrainte budgétaire s’écrit $R = p_a q_a + p_b q_b$, où $R$ est le revenu, $p_a$ et $p_b$ les prix des biens, et $q_a$ et $q_b$ les quantités consommées.

📌 Les paniers situés sur la droite de budget vérifient $R = p_a q_a + p_b q_b$ et épuisent le revenu, tandis que les paniers situés en dessous sont accessibles sans épuiser les ressources.

📌 Le rapport des prix $\frac{p_a}{p_b}$ est le taux d’échange objectif fixé par le marché, tandis que le taux auquel le consommateur souhaite échanger les biens est le taux marginal de substitution.

Compléments

📐 Formule - Dans le repère où la quantité du bien a est exprimée en fonction de celle du bien b, la droite de budget a pour pente $-\frac{p_b}{p_a}$.

• Avec un revenu de 100, un gâteau à 10 et un soda à 20, les paniers qui épuisent le budget comprennent 10 gâteaux et aucun soda, 5 sodas et aucun gâteau, ou 4 gâteaux et 3 sodas.

💡 Astuce mémo

La droite épuise le budget ; en dessous, le panier reste accessible sans épuiser les ressources.

📖 2. Modification des prix

★ À maîtriser

• Lorsque le prix des pulls double, la contrainte budgétaire devient $300 = 50q_p + 50q_j$.

Compléments

📐 Formule - Avec un revenu de 300, un pull à 25 et un jean à 50, la contrainte budgétaire initiale est $300 = 25q_p + 50q_j$.

• Lorsque le prix des pulls baisse de 20 % par rapport au prix initial de 25, il devient égal à 20.

• Lorsque le prix des jeans double par rapport au prix initial de 50, il devient égal à 100.

📐 Formule - Pour un revenu de 300, avec un prix initial de 25 pour les pulls et de 50 pour les jeans, la contrainte budgétaire est $300 = 25q_p + 50q_j$.

📐 Formule - Si le prix des pulls baisse de 20 % et celui des jeans double, la contrainte devient $300 = 20q_p + 100q_j$.

📖 3. Panier optimal du consommateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Choix optimal : Le panier de biens atteignable compte tenu du budget qui procure le plus d’utilité.

★ À maîtriser

📐 Formule - La contrainte budgétaire s’écrit $R = p_aq_a + p_bq_b$, et la pente de la droite de budget est $-\frac{p_a}{p_b}$.

• Une variation exogène du revenu ne modifie pas les prix relatifs ni la pente de la droite de budget.

📌 Lorsque le revenu augmente, la droite de budget se déplace parallèlement vers l’extérieur ; lorsqu’il diminue, elle se déplace parallèlement vers l’intérieur.

Compléments

📌 Le panier optimal appartient à la droite de budget lorsque le consommateur est insatiable et que la contrainte budgétaire est saturée.

• Un panier situé sous ou sur la droite de budget est accessible, tandis qu’un panier dont la dépense dépasse le revenu ne l’est pas.

📖 4. Panier optimal et tangence

🔑 Notions clés & Définitions

• Panier optimal : Panier qui maximise l’utilité parmi ceux accessibles avec le budget du consommateur.

★ À maîtriser

📌 Le panier optimal se situe sur la droite de budget et sur la courbe d’indifférence la plus élevée qui reste accessible, une courbe d’utilité supérieure étant inatteignable avec le budget disponible.

• Pour un optimum intérieur, le panier optimal se situe au point de tangence entre la droite de budget et la courbe d’indifférence la plus élevée.

Compléments

📐 Formule - La pente de la droite de budget est $-\frac{p_a}{p_b}$.

• Au point de tangence E, le coefficient directeur de la courbe d’indifférence est le TMS de $q_a$ et $q_b$.

📖 5. Résolution du choix optimal

★ À maîtriser

📐 Formule - Le consommateur maximise $U(q_a,q_b)$ sous la contrainte budgétaire $R=p_aq_a+p_bq_b$.

📐 Formule - À l’optimum intérieur, $\frac{p_a}{p_b}=TMS_{q_a,q_b}=\frac{\partial U/\partial q_a}{\partial U/\partial q_b}$.

Compléments

• La méthode de substitution consiste à exprimer une quantité à partir de la contrainte budgétaire, à la substituer dans l’utilité, puis à maximiser l’utilité réduite.

📖 6. Biens complémentaires parfaits

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour respecter la proportionnalité des biens parfaitement complémentaires, $a q_a=b q_b$, donc $q_b=\frac{a}{b}q_a$.

📐 Formule - En combinant la proportionnalité et la contrainte budgétaire, la quantité optimale de bien b vérifie $q_b=\frac{R}{p_a\frac{a}{b}+p_b}$.

Compléments

• Pour des biens parfaitement complémentaires, les courbes d’indifférence ont une forme d’équerre et ne présentent pas de point de tangence avec la droite de budget.

📌 L’absence de tangence pour des biens parfaitement complémentaires n’empêche pas l’existence d’un panier optimal.

• Le panier optimal de biens parfaitement complémentaires dépend du revenu, du prix du bien considéré et du prix du bien complémentaire.

📖 7. Biens substituables parfaits

📝 Points essentiels

• Pour des biens parfaitement substituables, les courbes d’indifférence sont des droites et le TMS, égal à leur pente, est constant.

• Si $TMS_{q_a,q_b}<\frac{p_a}{p_b}$, le consommateur choisit uniquement le bien b et l’optimum est un équilibre en coin situé sur l’axe des ordonnées.

• Si $TMS_{q_a,q_b}>\frac{p_a}{p_b}$, le consommateur choisit uniquement le bien a, ce qui correspond au cas symétrique de l’équilibre en coin.

• Si $TMS_{q_a,q_b}=\frac{p_a}{p_b}$, la droite de budget est confondue avec la courbe d’indifférence et tous les paniers de la droite de budget sont optimaux.

💡 Astuce mémo

TMS inférieur : tout en b ; TMS supérieur : tout en a.

📖 8. Biens parfaitement substituables

★ À maîtriser

📌 Lorsque $\mathrm{TMS}_{q_a,q_b}>\frac{p_a}{p_b}$, le consommateur préfère céder du bien b pour obtenir du bien a et se spécialise dans la consommation du bien a.

• Dans le cas de spécialisation en bien a, la pente de la courbe d’Engel est $p_a$.

Compléments

• Dans le cas de spécialisation en bien a, le chemin d’expansion du revenu est confondu avec l’axe des abscisses.

📌 Pour des biens parfaitement substituables, si $\mathrm{TMS}_{q_a,q_b}<\frac{p_a}{p_b}$, le consommateur se spécialise en bien b, sans que cela implique $p_a>p_b$.

📐 Formule - Dans le cas de spécialisation en bien b, la demande vérifie $q_b=\frac{m}{p_b}$.

💡 Astuce mémo

Quand le TMS dépasse le rapport des prix, le bien a l’emporte ; quand il lui est inférieur, le bien b l’emporte.

📖 9. Biens parfaitement complémentaires

★ À maîtriser

• Pour des biens parfaitement complémentaires, les courbes d’indifférence sont en équerre et il n’existe pas de point de tangence avec la droite de budget, sans que cela exclue l’existence d’un panier optimal.

📌 Le panier optimal de biens parfaitement complémentaires respecte la proportion $a q_a=b q_b$, soit $q_b=\frac{a}{b}q_a$.

Compléments

📐 Formule - La contrainte budgétaire des biens parfaitement complémentaires est $R=p_aq_a+p_bq_b$ ; avec la proportionnalité $aq_a=bq_b$, on obtient $q_b=\frac{R}{p_a\frac{b}{a}+p_b}$.

• Pour des biens parfaitement complémentaires consommés en quantités identiques, le chemin d’expansion du revenu est une diagonale passant par l’origine.

📐 Formule - Pour des biens parfaitement complémentaires consommés dans la proportion indiquée, la quantité demandée de a est $q_a=\frac{m}{p_a+p_b\frac{a}{b}}$.

💡 Astuce mémo

Deux biens avancent ensemble sur une diagonale passant par l’origine.

📖 10. Courbe d’Engel et préférences

🔑 Notions clés & Définitions

• Préférences homothétiques : Les préférences homothétiques signifient que si le consommateur préfère le panier $(x_1,x_2)$ au panier $(y_1,y_2)$, il préfère aussi $(t x_1,t x_2)$ à $(t y_1,t y_2)$ pour toute valeur positive de $t$.

★ À maîtriser

📌 Un bien est un bien de luxe si sa demande croît proportionnellement plus rapidement que le revenu, et un bien de nécessité si sa demande croît proportionnellement moins rapidement que le revenu.

Compléments

• Les courbes d’Engel ne sont pas nécessairement des droites.

💡 Astuce mémo

Luxe : la demande croît plus vite que le revenu ; nécessité : elle croît moins vite.

📖 11. Baisse du prix et bien de Giffen

🔑 Notions clés & Définitions

• Bien de Giffen : Un bien dont la demande diminue lorsque son prix baisse.
• Chemin d’expansion du prix : Relie les paniers optimaux obtenus lorsque le prix du bien a varie, tandis que le prix du bien b et le revenu restent inchangés.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du bien de Giffen, le consommateur consomme initialement 6 kg de tomates et 2 kg de viande par semaine ; après une baisse du prix des tomates, il peut choisir de consommer moins de tomates et davantage de viande.

• Une variation de prix peut équivaloir à une variation de revenu en termes de pouvoir d’achat, mais pas en termes nominaux.

• Le chemin d’expansion du prix permet de représenter la demande du bien a pour chaque niveau de prix.

💡 Astuce mémo

Baisse du prix → pouvoir d’achat accru → la demande peut pourtant diminuer pour un bien de Giffen.

📖 12. Demande et demande inverse

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction de demande du bien a s’écrit $q_a=x_a(p_a,p_b,m)$ et, lorsque $p_b$ et $m$ sont fixés, elle établit une relation décroissante entre le prix et la quantité demandée.

📌 La fonction de demande exprime la quantité en fonction du prix, tandis que la fonction de demande inverse exprime le prix en fonction de la quantité.

📌 Une variation du prix d’un bien produit un effet de substitution, qui modifie le taux d’échange objectif entre les biens, et un effet de revenu, qui modifie le pouvoir d’achat d’un revenu nominal inchangé.

Compléments

• Pour la fonction de demande $q_a=\frac{a m}{p_a}$, la fonction de demande inverse est $p_a=\frac{a m}{q_a}$.

• Pour analyser les effets d’une variation de prix, on procède en deux temps : on modifie d’abord les prix relatifs, puis le revenu.

📖 13. Décomposition de Hicks et effets de prix

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet de substitution : La variation de la demande d’un bien provoquée par la variation de son prix relatif, à revenu ajusté pour isoler cet effet.

★ À maîtriser

• Après une baisse du prix du bien a, la consommation des deux biens ne peut pas diminuer simultanément.

• La décomposition de Hicks isole l’effet de substitution en construisant une contrainte budgétaire fictive parallèle à la nouvelle droite de budget, avec le nouveau rapport des prix et un revenu ajusté pour maintenir le panier initial accessible.

Compléments

• Après la baisse du prix du bien a, le surplus de pouvoir d’achat peut être affecté à la consommation du bien a ou du bien b.

💡 Astuce mémo

Prix relatif modifié : substitution ; pouvoir d’achat modifié : revenu.

📖 14. Calcul des effets sur la demande

★ À maîtriser

📐 Formule - La variation de revenu nécessaire pour maintenir le panier initial est $\Delta m = q_a\Delta p_a$.

📐 Formule - La variation totale de demande à revenu nominal constant vérifie $\Delta q_a = x_a(p'_a,m)-x_a(p_a,m) = \Delta q_a^s + \Delta q_a^R$.

Compléments

• Dans l’exemple du lait, avec un revenu de 120 € et un prix passant de 3 € à 2 €, la demande passe de 14 à 16 litres; le revenu ajusté est de 106 €, la demande compensée de 15,3 litres, l’effet de substitution de 1,3 litre et l’effet de revenu de 0,7 litre.

📐 Formule - L’identité de Slutsky décompose la variation totale ainsi : $x_a(p'_a,m)-x_a(p_a,m) = [x_a(p'_a,m')-x_a(p_a,m)] + [x_a(p'_a,m)-x_a(p'_a,m')]$.

📖 15. Identité de Slutsky et loi de la demande

📝 Points essentiels

• L’effet de substitution est toujours de signe contraire à la variation du prix du bien.

• Pour un bien normal, l’effet de revenu est négatif lors d’une hausse de prix, tandis qu’il est positif pour un bien inférieur.

• Selon la loi de la demande, si la demande d’un bien augmente avec le revenu, alors elle diminue lorsque son prix augmente.