Fiche de révision : Préférences et fonction d’utilité

📋 Plan du Cours

1. Paniers et espace des biens
2. Définition et axiomes des préférences
3. Fonction d’utilité et classement
4. Propriétés des préférences et de l’utilité
5. Utilité marginale et décroissance
6. Préférences convexes
7. Définition des courbes d’indifférence
8. Propriétés des courbes d’indifférence
9. Taux de substitution
10. Fonctions d’utilité et TMS particuliers

📖 1. Paniers et espace des biens

🔑 Notions clés & Définitions

• Panier de biens : Une liste des quantités de chacun des biens disponibles.
• Espace des biens : L’ensemble des paniers de biens possibles.
• Bien privé : Excluable, car le prix peut empêcher un agent de le consommer, et rival, car sa consommation par un agent réduit la quantité disponible pour les autres.

📝 Points essentiels

📌 En microéconomie, le terme « biens » désigne aussi bien les objets matériels que les services.

• Les consommateurs connaissent l’ensemble des paniers de biens afin de pouvoir effectuer des choix rationnels.

📐 Formule - Dans une économie comportant $n$ biens, un panier $Q$ est défini par $Q = \{q_1, q_2, q_3, \ldots, q_n\}$, où $q_n$ représente la quantité du bien $n$.

📖 2. Définition et axiomes des préférences

🔑 Notions clés & Définitions

• Préférences : Les goûts du consommateur, portant sur les paniers de biens et non sur les biens pris isolément.
• Préférences rationnelles : Complètes, transitives et réflexives.
• Complétude : La complétude permet au consommateur de comparer deux à deux tous les paniers de biens.

★ À maîtriser

• Selon la monotonie, le consommateur préfère toujours davantage de biens à moins, ce qui correspond à l’insatiabilité.

• Le goût pour les mélanges signifie qu’un consommateur préfère un mélange de deux paniers entre lesquels il est indifférent à chacun des deux paniers pris séparément.

Compléments

📌 La transitivité impose que si le panier A est préféré au panier B et B au panier C, alors A est préféré à C; cette propriété permet au consommateur de maximiser ses préférences.

📌 La réflexivité signifie que tout panier de biens est au moins aussi désirable que lui-même.

• Les préférences d’un consommateur sont indépendantes de celles des autres et sont considérées comme exogènes.

• La continuité des préférences signifie que les quantités consommées et les préférences peuvent varier de manière infinitésimale.

• Entre les paniers indifférents $Z=(0;2)$ et $W=(2;0)$, le consommateur préfère le mélange $V=(1;1)$.

📖 3. Fonction d’utilité et classement

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’utilité : La fonction d’utilité $U(\cdot)$ associe à chaque panier de biens une valeur représentant le bien-être et permettant de classer les paniers.

★ À maîtriser

• La fonction d’utilité est ordinale : ses valeurs numériques servent à comparer les paniers et n’ont pas de signification intrinsèque.

Compléments

📌 Pour une personne donnée, si elle préfère le panier A au panier B, alors l’utilité de A est supérieure à celle de B; le classement peut être différent d’une personne à l’autre.

• Si un croissant donne $U(A)=3$ et un pain au chocolat donne $U(B)=4$, le panier B procure une satisfaction supérieure au panier A, car $U(B)>U(A)$.

📖 4. Propriétés des préférences et de l’utilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Complétude des préférences : Il est toujours possible de comparer deux paniers de biens : le consommateur préfère l’un à l’autre ou est indifférent entre les deux.
• Continuité de la relation de préférences : Une variation infinitésimale de la consommation engendre une variation de l’utilité.

★ À maîtriser

📌 La monotonie des préférences implique que, toutes choses égales par ailleurs, la consommation supplémentaire d’un bien accroît l’utilité.

Compléments

• Pour comparer les préférences de Marie entre les paniers A et B, seuls les niveaux d’utilité relatifs comptent : si U(A) > U(B), elle préfère A, quels que soient les nombres attribués.

• Même si Marie préfère les pains au chocolat, elle préfère un panier composé d’un pain au chocolat et d’une crêpe à un panier de deux pains au chocolat.

📖 5. Utilité marginale et décroissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Utilité marginale : L’utilité supplémentaire engendrée par la consommation d’une unité supplémentaire d’un bien.

★ À maîtriser

📌 Avec une utilité marginale décroissante, l’utilité totale augmente avec la consommation, mais chaque unité supplémentaire apporte un accroissement plus faible.

📐 Formule - L’utilité marginale correspond à la dérivée première de la fonction d’utilité : $U'(x)=\frac{\partial U(x)}{\partial x}$.

Compléments

• L’utilité marginale dépend du niveau de consommation : dans l’exemple, U(2) − U(1) = 5, tandis que U(4) − U(3) = 2.

• Une fonction d’utilité croissante a une dérivée première positive, tandis qu’une fonction concave a une dérivée seconde négative.

• Dans l’exemple des niveaux d’utilité U(1)=10, U(2)=15, U(3)=18 et U(4)=20, les accroissements d’utilité sont de 5, 3 puis 2 unités.

💡 Astuce mémo

Consommation accrue → utilité totale plus élevée, mais utilité marginale décroissante.

📖 6. Préférences convexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Préférences convexes : Lorsque le consommateur préfère un panier mélange de deux paniers entre lesquels il est indifférent.

💡 Astuce mémo

Un panier intermédiaire entre deux paniers indifférents.

📖 7. Définition des courbes d’indifférence

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe d’indifférence : Toutes les combinaisons de paniers de biens qui procurent au consommateur le même niveau d’utilité ou la même satisfaction.

📝 Points essentiels

• Les paniers Z, W et V sont supérieurs aux paniers A, B et C, et la courbe d’indifférence passant par Z, W et V est donc préférable à celle passant par A, B et C.

📖 8. Propriétés des courbes d’indifférence

🔑 Notions clés & Définitions

• Carte d’indifférence : L’ensemble des courbes d’indifférence représentant des niveaux de satisfaction différents.
• Courbe d’indifférence : Une courbe d’indifférence est une combinaison de biens, par exemple q1 et q2, qui procure une utilité constante $U(q_1,q_2)=\hat{u}$.

★ À maîtriser

• Si les préférences sont monotones et transitives, des courbes d’indifférence correspondant à des niveaux de satisfaction différents ne peuvent pas se croiser.

• Avec des préférences monotones, une courbe d’indifférence est décroissante : deux paniers qui diffèrent par une quantité supérieure des deux biens ne peuvent pas être indifférents.

• Lorsque le consommateur préfère les mélanges et que l’utilité marginale est décroissante, un panier mélangeant deux paniers procure davantage d’utilité que ceux-ci et se situe sur une courbe d’indifférence supérieure.

• Les courbes d’indifférence sont continues parce que les biens sont divisibles et que les préférences sont supposées continues : une variation infinitésimale de la consommation entraîne une variation de l’utilité.

• Il existe une infinité de courbes d’indifférence, correspondant à des niveaux de satisfaction différents.

• Par tout panier de biens passe une seule courbe d’indifférence.

• Lorsque le consommateur est insatiable, les courbes d’indifférence les plus éloignées de l’origine correspondent à une satisfaction plus élevée.

Compléments

📌 Quand le consommateur juge les biens désirables et souhaite toujours en consommer une quantité strictement positive, même très faible, les courbes d’indifférence sont asymptotes aux axes.

• La complétude des préférences signifie que le consommateur peut toujours comparer deux paniers de biens.

• Les courbes d’indifférence sont en général continues, décroissantes, convexes et asymptotes aux axes, ce qui leur donne une forme hyperbolique.

• Si deux paniers A et B sont indifférents à un même panier C, la transitivité implique que A et B sont indifférents entre eux, ce qui contredit la monotonie si l’un contient davantage des deux biens.

💡 Astuce mémo

Préférences continues → courbes continues.

📖 9. Taux de substitution

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux marginal de substitution : Mesure la quantité maximale de bien 2 que le consommateur accepte de céder pour obtenir une quantité infinitésimale supplémentaire de bien 1 à partir d’un panier donné.

★ À maîtriser

• Le taux d’échange subjectif entre les biens 1 et 2 dépend des préférences du consommateur et du point considéré sur la courbe d’indifférence.

• Le TMS au panier $(q_1,q_2)$ est mesuré par le coefficient directeur de la courbe d’indifférence en ce point, c’est-à-dire par la pente de sa tangente.

📐 Formule - Entre les paniers A et B, le taux de substitution du bien 2 au bien 1 est $\frac{\Delta q_2}{\Delta q_1}$, soit la pente de la droite AB.

📐 Formule - Le TMS de bien 1 à bien 2 vérifie $TMS_{q_1,q_2}=\frac{\Delta q_2}{\Delta q_1}=\frac{\partial U/\partial q_1}{\partial U/\partial q_2}$ à utilité constante.

Compléments

📌 Le TMS au point A est supérieur à celui au point B lorsque le consommateur cède plus volontiers du bien 2 pour acquérir du bien 1 au point A qu’au point B.

• Le taux de substitution dépend de l’emplacement du panier B sur la courbe d’indifférence.

• En raison de l’utilité marginale décroissante, plus le consommateur dispose de bien 1, moins il y est attaché et plus il est prêt à en céder pour consommer du bien 2 ; inversement, plus il dispose de bien 2, moins il y est attaché et plus il est prêt à en céder pour obtenir du bien 1.

• Pour les paniers A=(1,4) et B=(2,2), le consommateur indifférent entre les deux accepte de céder 2 unités de bien 2 pour obtenir 1 unité supplémentaire de bien 1.

📐 Formule - À utilité constante, la perte d’utilité liée au renoncement au bien 2 égale le gain d’utilité lié à la consommation supplémentaire de bien 1 : $\frac{\partial U}{\partial q_2}\Delta q_2 = \frac{\partial U}{\partial q_1}\Delta q_1$.

📖 10. Fonctions d’utilité et TMS particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Biens parfaitement complémentaires : Doivent être consommés ensemble dans une certaine proportion pour procurer de l’utilité, comme l’essence et une voiture.

★ À maîtriser

• Avec des biens parfaitement substituables, le taux de substitution est constant et vaut -1, quelle que soit la quantité consommée.

• Si le bien 2 est inutile, l’utilité ne dépend que de la quantité consommée de bien 1 et le TMS est soit nul, soit infini.

Compléments

• Avec des biens parfaitement substituables, une unité de bien 1 procure autant d’utilité qu’une unité de bien 2 ; les paniers A=(4,0), B=(2,2), C=(0,4) et toutes les combinaisons de 4 unités appartiennent à la même courbe d’indifférence.

• Lorsque les biens 1 et 2 sont parfaitement complémentaires, une quantité supplémentaire de bien 2 n’augmente pas la satisfaction si une unité de bien 1 est déjà consommée et que la quantité de bien 2 nécessaire pour compléter cette unité est déjà atteinte.