Fiche de révision : Algèbre booléenne et représentations binaires

📋 Plan du Cours

1. Logique propositionnelle et opérateurs
2. Implications et équivalences logiques
3. Algèbre de Boole et portes
4. Addition binaire et circuits
5. Systèmes binaire et hexadécimal
6. Entiers et complément à deux
7. Représentation des nombres réels
8. Codage des caractères et limites

📖 1. Logique propositionnelle et opérateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Phrase déclarative qui est vraie ou fausse, mais jamais les deux à la fois.
• Conjonction : Proposition « p et q » et elle est vraie seulement lorsque p et q sont toutes deux vraies.
• Disjonction : Proposition inclusive « p ou q » et elle est fausse seulement lorsque p et q sont toutes deux fausses.
• Négation : Proposition « non p » et inverse la valeur de vérité de p.

📖 2. Implications et équivalences logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Signifie « si p, alors q » ; p est l’hypothèse et q la conclusion.
• Équivalence logique : Deux propositions composées P et Q ont la même valeur de vérité pour toute affectation de leurs variables, ce qui se note P ≡ Q.

📝 Points essentiels

📌 La réciproque de p → q est q → p, la contraposée est ¬q → ¬p et l’inverse est ¬p → ¬q.

• Les équivalences usuelles comprennent p → q ≡ ¬p ∨ q, p → q ≡ ¬q → ¬p, ainsi que les lois de De Morgan ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q et ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.

💡 Astuce mémo

L’implication p → q n’est pas la réciproque q → p ; la contraposée ¬q → ¬p reste équivalente.

📖 3. Algèbre de Boole et portes

🔑 Notions clés & Définitions

• Algèbre de Boole : Approche algébrique de la logique dans laquelle les variables prennent seulement les valeurs 0 ou 1, correspondant respectivement à faux et vrai.

★ À maîtriser

• En algèbre de Boole, NOT correspond à ¬, OR correspond à + et AND correspond à la multiplication représentée par ⋅.

Compléments

• Les opérateurs booléens AND et OR sont commutatifs et associatifs.

• Claude Shannon a montré dans A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits comment utiliser l’algèbre de Boole pour concevoir des circuits logiques.

💡 Astuce mémo

Variables 0/1 → opérations booléennes → portes logiques.

📖 4. Addition binaire et circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Demi-additionneur : Circuit qui additionne deux bits sans prendre en compte une retenue provenant d’une addition précédente.
• Additionneur complet : Possède trois entrées : deux bits et une retenue d’entrée.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un demi-additionneur, la somme vérifie $s = x \oplus y$ et la retenue vérifie $c = x \cdot y$.

💡 Astuce mémo

Deux bits → somme XOR et retenue AND ; avec une retenue d’entrée, on obtient le full adder.

📖 5. Systèmes binaire et hexadécimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Système hexadécimal : Système de base 16 utilisant les chiffres 0 à 9 et les lettres A à F pour représenter les valeurs 10 à 15.

📝 Points essentiels

• Pour convertir un entier binaire en décimal, on additionne chaque bit multiplié par la puissance de deux correspondant à sa position.

• Pour convertir un entier décimal en binaire, on effectue des divisions successives par deux et on lit les restes dans l’ordre inverse.

• Quatre chiffres binaires correspondent exactement à un chiffre hexadécimal, ce qui permet une traduction immédiate entre binaire et hexadécimal.

💡 Astuce mémo

Regrouper les bits quatre par quatre pour transformer chaque groupe en un chiffre hexadécimal.

📖 6. Entiers et complément à deux

📝 Points essentiels

• Un octet est généralement composé de 8 bits et peut représenter un caractère, comme une lettre, un nombre ou un symbole typographique.

• Avec 32 bits, la valeur entière maximale est 2147483647, soit 2³¹ − 1, et la valeur minimale est −2147483648, soit −2³¹.

📌 La représentation signe-valeur absolue réserve le bit de poids fort au signe et les autres bits à la magnitude, mais elle possède deux représentations de zéro.

• Pour calculer le complément à deux d’un entier négatif, on représente sa valeur positive, on inverse tous les bits, puis on ajoute 1 en ignorant un éventuel dépassement.

💡 Astuce mémo

Le signe-magnitude offre deux zéros ; le complément à deux n’en offre qu’un.

📖 7. Représentation des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Arithmétique à virgule fixe : Représentation d’un nombre fractionnaire comme un entier implicitement multiplié par un facteur d’échelle fixe.
• Arithmétique à virgule flottante : Représentation des nombres réels avec une significande de précision fixée multipliée par une puissance entière d’une base fixée.

📝 Points essentiels

• Pour convertir la partie fractionnaire d’un nombre décimal en binaire, on effectue des multiplications successives par deux et on utilise la partie entière de chaque résultat comme bit.

• Dans le format IEEE 754 binary32, le bit de signe occupe 1 bit, l’exposant 8 bits avec un biais de 127 et la significande a une précision de 24 bits dont 23 sont stockés explicitement.

💡 Astuce mémo

Fixed-point : virgule fixe ; floating-point : significande multipliée par une puissance de base.

📖 8. Codage des caractères et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• ASCII : Norme de codage des caractères pour les communications électroniques, publiée pour la première fois en 1963.
• Unicode : Norme de codage maintenue par le Unicode Consortium pour prendre en charge les systèmes d’écriture majeurs du monde ; sa version publiée 16.0 contient 1 112 064 points de code.

★ À maîtriser

• ASCII possède 128 points de code : 33 sont utilisés pour les contrôles et 95 pour les caractères imprimables.

• UTF-8 est un format de transformation Unicode à longueur variable qui utilise 7, 11, 16 ou 21 bits selon la longueur du caractère encodé.

Compléments

• Les extensions ISO 8859 ajoutent jusqu’à 128 caractères à ASCII dans des codages sur 8 bits, notamment ISO 8859-1 pour les langues d’Europe occidentale et ISO 8859-2 pour les langues d’Europe orientale.

📌 Les entiers et les nombres flottants doivent être manipulés séparément, car deux nombres encodés différemment ne peuvent pas participer à la même computation.

💡 Astuce mémo

ASCII → extensions ISO 8859 → Unicode → UTF à longueur variable.

📊 Tableaux de synthèse

Opérateurs logiques et booléens

Codages des caractères