Fiche de révision : Circuits logiques et systèmes numériques

📋 Plan du Cours

1. Motivations des systèmes logiques
2. Bases et systèmes de numération
3. Conversions entre bases numériques
4. Nombres signés et nombres réels
5. Codes numériques et caractères
6. Algèbre de Boole
7. Tables de vérité et fonctions logiques
8. Simplification par Karnaugh
9. Lien entre algèbre et circuits
10. Circuits combinatoires élémentaires
11. Bascules et mémoire séquentielle
12. Compteurs synchrones et asynchrones
13. Boîtiers et désignation des circuits
14. Familles logiques TTL LS HC
15. Spécifications électriques du 7400

📖 1. Motivations des systèmes logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Système logique : Ensemble de composants qui effectuent des fonctions sur des signaux logiques afin de stocker, communiquer ou transformer de l’information.

★ À maîtriser

• Les circuits numériques sont construits à partir de dispositifs à deux états bien définis et traitent des informations représentées sous forme binaire.

Compléments

• La loi de Moore indique que le nombre de transistors intégrés dans un circuit intégré double tous les dix-huit mois.

• Les circuits programmables cités comprennent :

  • les microprocesseurs
  • les PLD
  • les FPGA
  • les ASIC

• Le choix d’une solution de conception dépend de plusieurs critères, dont la taille et le coût des composants assemblés.

💡 Astuce mémo

Technologie des semi-conducteurs → intégration de fonctions toujours plus complexes.

📖 2. Bases et systèmes de numération

🔑 Notions clés & Définitions

• Base : Nombre de symboles différents utilisés pour représenter les nombres dans ce système.

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme polynomiale d’un nombre en base b est $(N)_b = \sum_{i=0}^{n} a_i b^i$, avec $0 \leq a_i \leq b-1$.

• En base décimale, les dix symboles sont les chiffres de 0 à 9 et le chiffre le plus à droite est le moins significatif, tandis que celui de gauche est le plus significatif.

• Le système binaire est de base 2 et utilise les symboles 0 et 1, appelés bits.

Compléments

• Le système octal est de base 8 et utilise les symboles de 0 à 7.

• Le système hexadécimal est de base 16 et utilise les chiffres de 0 à 9 ainsi que les lettres A à F, correspondant aux valeurs de 10 à 15.

📖 3. Conversions entre bases numériques

★ À maîtriser

• Pour convertir un nombre entier décimal en base b par divisions successives, on divise répétitivement par b jusqu’à obtenir un quotient nul, puis on lit les restes du dernier au premier.

• Pour convertir un nombre écrit en base b en décimal, on évalue sa forme polynomiale en multipliant chaque chiffre par la puissance de b correspondant à son rang et en additionnant les termes.

• Pour convertir du binaire en octal, on regroupe les bits par blocs de trois en partant de la droite, puis on remplace chaque bloc par son chiffre octal correspondant.

• Pour convertir du binaire en hexadécimal, on regroupe les bits par blocs de quatre en partant de la droite, puis on remplace chaque bloc par son chiffre hexadécimal correspondant.

Compléments

• Pour convertir un nombre décimal entier en binaire par décomposition, on l’écrit comme somme de puissances de 2 et on place 1 pour chaque puissance présente et 0 pour chaque puissance absente.

• Pour convertir de l’hexadécimal en binaire, on remplace chaque caractère hexadécimal par son équivalent binaire sur quatre bits.

• Le nombre décimal 65 s’écrit (1000001)₂, (101)₈ et (41)ₕ.

💡 Astuce mémo

Diviser, relever les restes, les lire du dernier au premier.

📖 4. Nombres signés et nombres réels

★ À maîtriser

• Dans la représentation binaire signée décrite, le bit de signe vaut 0 pour un nombre positif et 1 pour un nombre négatif.

• Le complément à 1 d’un nombre binaire s’obtient en inversant chacun de ses bits.

• Le complément à 2 d’un nombre binaire s’obtient en ajoutant 1 à son complément à 1.

• Pour convertir la partie fractionnaire décimale en base b, on la multiplie successivement par b, on relève la partie entière de chaque produit comme chiffre et on recommence avec la partie fractionnaire restante.

Compléments

• Les trois notations présentées sont :

  • le complément à 1
  • le complément à 2
  • le module plus signe

• Pour un nombre signé codé sur n+1 bits avec un bit de signe et n bits de module, l’intervalle indiqué est de −(2ⁿ−1) à +(2ⁿ−1), soit de −15 à 15 avec 5 bits.

📖 5. Codes numériques et caractères

🔑 Notions clés & Définitions

• Code DCB : Code séparément chaque chiffre décimal sur quatre bits.
• Code Gray : Code binaire réfléchi dans lequel deux représentations codées successives ne diffèrent que d’un seul bit.

★ À maîtriser

• Le code ASCII 7 bits associe un code binaire à chaque caractère alphanumérique et peut représenter au maximum 128 caractères différents. - ANSI

Compléments

• Les codes cités sont :

  • le DCB
  • le code binaire réfléchi ou Gray
  • le code ASCII
  • le code de parité

• Pour passer du binaire au code Gray, on conserve le bit de poids fort puis on additionne sans retenue chaque bit binaire aux bits voisins adjacents afin de produire les bits suivants du code Gray.

• Pour passer du code Gray au binaire, on conserve le bit de poids fort puis on calcule successivement chaque bit binaire en additionnant sans retenue le bit binaire précédent et le bit Gray courant.

• Dans le code ASCII, les valeurs inférieures à 32 en décimal sont réservées aux caractères de contrôle non imprimables.

• Le code ASCII 7 bits ne reconnaît pas les lettres accentuées, et son extension à 8 bits permet de coder 256 caractères différents.

💡 Astuce mémo

Binaire naturel : valeur globale ; DCB : chaque chiffre décimal codé séparément.

📖 6. Algèbre de Boole

🔑 Notions clés & Définitions

• Algèbre de Boole : Une algèbre de Boole comprend un ensemble E, les éléments particuliers 0 et 1, deux opérations binaires + et · et une opération unaire de complémentation.

★ À maîtriser

📌 Dans l’algèbre de Boole, 0 et 1 représentent respectivement FAUX et VRAI, + correspond au OU logique, · correspond au ET logique et la barre correspond à la négation logique.

• Les axiomes de l’algèbre de Boole sont :
  • la commutativité
  • l’associativité
  • la distributivité
  • l’existence des éléments neutres
  • la complémentation

Compléments

• Les postulats booléens comprennent 0·0=0, 0·1=1·0=0, 1·1=1, 1+1=1, 1+0=0+1=1, 0+0=0, complément de 0 égal à 1 et complément de 1 égal à 0.

💡 Astuce mémo

OU correspond à +, tandis que ET correspond à ·.

📖 7. Tables de vérité et fonctions logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Table de vérité : Tableau qui énumère les valeurs d’une fonction logique pour toutes les combinaisons des valeurs de ses variables indépendantes.

★ À maîtriser

📌 Deux fonctions logiques sont équivalentes si et seulement si elles possèdent la même table de vérité.

• Pour déduire une expression logique d’une table de vérité, on forme un produit logique pour chaque ligne où la sortie vaut 1, puis on relie ces produits par un OU logique.

Compléments

• Dans l’exemple du coffre-fort, le coffre s’ouvre si le responsable X est présent ou si les deux agents Y et Z sont présents simultanément, ce qui correspond à S=X+Y·Z.

📖 8. Simplification par Karnaugh

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de Karnaugh : Méthode graphique qui simplifie les équations logiques en organisant les valeurs d’une table de vérité selon le code Gray.

★ À maîtriser

• La méthode de Karnaugh consiste à construire la table, regrouper des cases adjacentes contenant 1 par groupes de 2ⁿ cases, réaliser le minimum de groupements et en déduire l’expression simplifiée.

Compléments

• Les tables de Karnaugh présentées couvrent les fonctions à trois, quatre et cinq variables.

💡 Astuce mémo

Tracer, grouper les 1 par puissances de deux, puis déduire l’expression.

📖 9. Lien entre algèbre et circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Porte logique : Composant associé à une fonction logique précise et à un symbole.
• Logigramme : Présentation d’une fonction logique à l’aide de portes logiques.
• Chronogramme : Représentation de l’évolution de l’état d’une variable logique en fonction du temps.

★ À maîtriser

• Les portes logiques sont les éléments de base qui permettent d’exprimer toute fonction logique.

• Toute fonction logique peut être exprimée au moyen de portes NON-ET uniquement ou de portes NON-OU uniquement.

📌 Dans un circuit logique, les variables de la fonction deviennent les entrées et la sortie prend la valeur de la fonction selon les valeurs des entrées.

Compléments

• Le lien entre l’algèbre de Boole et les circuits logiques date du début du XXe siècle.

• Les circuits logiques sont d’abord appliqués aux circuits à relais, puis des composants plus polyvalents donnent naissance aux portes logiques.

• Les portes XOR et XNOR sont utiles et leur réalisation matérielle est plus simple que celle d’un équivalent constitué de portes ET, OU et NON.

• À l’exception de l’inverseur, les portes logiques peuvent avoir plus de deux entrées.

📖 10. Circuits combinatoires élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit combinatoire : Circuit dont les sorties sont des fonctions de ses entrées.

• Encodeur : Système combinatoire qui fournit sur n lignes d’adresse le code binaire de l’index d’une entrée active parmi 2ⁿ entrées.

• Décodeur : Circuit à n entrées et 2ⁿ sorties qui active à 1 la sortie correspondant au nombre binaire d’entrée et maintient les autres à 0.
• Transcodeur : Circuit qui convertit une information écrite dans un code C1 sur m lignes en un code C2 sur n lignes.

• Multiplexeur : Circuit possédant 2ⁿ entrées, n fils de sélection et une sortie, qui transmet en sortie l’entrée désignée par le mot binaire des fils de sélection.
• Démultiplexeur : Circuit qui reçoit une entrée et n signaux de sélection, dirige l’entrée vers l’une des 2ⁿ sorties et met les autres sorties à 0.
• Demi-additionneur : Additionneur de deux bits a et b qui fournit la somme S et la retenue R, sans prendre en compte une retenue d’entrée.
• Additionneur complet : Additionneur de deux bits a et b et d’une retenue d’entrée r, qui produit la somme S et la retenue de sortie R.

★ À maîtriser

📌 Lorsque plusieurs entrées d’un encodeur sont activées, l’entrée d’index supérieur est prioritaire.

Compléments

• La table de vérité d’un circuit combinatoire présente les résultats en sortie pour tous les cas possibles en entrée.

• Un circuit intégré est généralement formé d’une plaquette de silicium intégrant des portes, encapsulée dans un boîtier muni de broches de connexion.

• Les catégories d’intégration se distinguent par le nombre de portes :

  • SSI : moins de 10 portes par circuit
  • MSI : quelques dizaines de portes
  • LSI : quelques centaines ou milliers de portes, jusqu’à 100 000 portes
  • VLSI : plus de 100 000 portes par circuit, souvent des millions

• Un encodeur 8 à 3 possède huit entrées et trois lignes d’adresse en sortie.

• Le signal GS d’un encodeur indique qu’au moins une entrée est active et distingue l’entrée 0 active de l’absence d’entrée active.

📐 Formule - Pour l’encodeur à quatre entrées, $A_1 = E_2 + E_3$, $A_0 = E_1 + E_3$ et $GS = E_0 + E_1 + E_2 + E_3$.

• Le convertisseur BCD-Gray et le convertisseur BCD/XS3 sont des exemples de transcodeurs.

📖 11. Bascules et mémoire séquentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit séquentiel : Circuit dont les sorties dépendent des entrées présentes et des séquences d’entrées passées, et qui utilise une partie mémoire pour retrouver l’état induit par ces entrées.
• Bascule : Circuit bistable qui peut prendre les états logiques 0 ou 1, conserver son état et servir d’élément mémoire.

★ À maîtriser

📌 Une bascule synchrone est commandée par une horloge, tandis qu’une bascule asynchrone ne l’est pas.

• Dans une bascule RS, l’entrée S met la sortie à 1, l’entrée R la met à 0 et, si aucune entrée n’est active, la sortie conserve sa valeur courante.

• Lorsque J = K = 1, la sortie d’une bascule JK s’inverse à chaque cycle d’horloge.

Compléments

• Un circuit séquentiel peut être représenté comme un circuit combinatoire avec rétroaction et mémoire.

📐 Formule - Pour la bascule RS présentée, l’équation de l’état est $Q_t = S + \overline{R}Q_{t-1}$.

• Dans la bascule RS synchrone, la bascule fonctionne lorsque H = 1 et mémorise la dernière valeur enregistrée lorsque H = 0.

📐 Formule - La bascule D vérifie $Q_t = H \cdot D + \overline{H} \cdot Q_{t-1}$.

• La bascule JK maître-esclave est construite avec deux bascules RS synchrones en cascade et une inversion du signal d’horloge pour la seconde bascule.

📐 Formule - La bascule JK asynchrone vérifie $Q_t = J\overline{Q_{t-1}} + \overline{K}Q_{t-1}$.

• Une bascule T est obtenue en reliant ensemble les entrées J et K d’une bascule JK.

📖 12. Compteurs synchrones et asynchrones

🔑 Notions clés & Définitions

• Compteur : Circuit qui reçoit des impulsions à compter ou à décompter sur une entrée d’horloge et passe d’un état à un autre selon une suite déterminée.

★ À maîtriser

📌 Dans un compteur synchrone, toutes les bascules reçoivent en parallèle le même signal d’horloge, tandis que dans un compteur asynchrone, l’horloge d’une bascule est fournie par la sortie de la bascule précédente.

• Pour un compteur synchrone, le bit de poids faible change à chaque coup d’horloge et un bit donné change lorsque tous les bits situés à sa droite valent 1.

Compléments

• La suite des états d’un compteur est finie, et un compteur revient à son état initial après un nombre déterminé d’impulsions.

• Une bascule T dont l’entrée est à 1 fonctionne comme un diviseur de fréquence et peut servir à construire un compteur asynchrone modulo 2ⁿ avec n bascules cascadées.

• Un compteur asynchrone modulo non égal à une puissance de 2 peut être obtenu en agissant sur l’entrée Clear lorsque la combinaison correspondant au modulo apparaît sur les sorties.

📐 Formule - Pour un compteur synchrone réalisé avec des bascules T, les entrées vérifient $T_0 = 1$ et $T_n = Q_0Q_1\cdots Q_{n-1}$ pour les bits d’indice supérieur.

💡 Astuce mémo

Synchrone : horloge commune ; asynchrone : l’horloge se propage de bascule en bascule.

📖 13. Boîtiers et désignation des circuits

📝 Points essentiels

• Le boîtier DIL ou DIP standard est rectangulaire et possède deux rangées de broches.

• Les boîtiers DIL peuvent avoir 14, 16, 20, 24, 28 ou 40 broches, espacées de 2,54 mm ; l’écartement entre rangées est de 7,62 mm pour 14 à 20 broches et de 15,24 mm pour les autres.

• Le boîtier SO, utilisé pour les composants miniaturisés CMS ou SMD, présente un espacement de 1,27 mm entre broches et contient les mêmes fonctions que le boîtier DIL classique.

• La désignation usuelle des modules suit la forme GGGFFFMMM : GGG indique le grade, FFF la famille logique et MMM la fonction du module.

• Les grades commerciaux portent généralement le numéro 74 et les grades militaires le numéro 54 ; en logique TTL, la famille peut être omise, tandis qu’en CMOS les désignations peuvent inclure 4xxx, 74Cxxx ou 74HCxxx.

📖 14. Familles logiques TTL LS HC

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille logique : Ensemble de modules électroniques qui réalisent les fonctions logiques de base.

★ À maîtriser

• La famille HC utilise des transistors MOSFET et sa consommation statique est pratiquement nulle, car ces transistors ne consomment du courant que lors des transitions logiques.

Compléments

• Deux modules de familles ou de grades différents peuvent accomplir exactement la même fonction logique, comme les 54LS08 et 74HC08.

• La famille TTL standard, première famille logique complète, repose sur des transistors bipolaires et nécessite des courants en état statique comme lors des changements d’état.

• La famille LS reprend l’architecture TTL et réduit la consommation en augmentant les résistances internes ; l’ajout d’une diode entre base et collecteur élimine un délai important et accélère les changements d’état.

• À alimentation identique, les modules HC sont typiquement plus rapides que les modules TTL ; pour les modules HC, l’augmentation de la tension augmente la vitesse et la consommation, et sa diminution réduit ces deux valeurs.

💡 Astuce mémo

TTL et LS reposent sur des transistors bipolaires ; HC utilise des MOSFET.

📖 15. Spécifications électriques du 7400

★ À maîtriser

• Pour un élément logique, Vi et Ii sont des contraintes à respecter pour assurer son fonctionnement, tandis que Vo et Io décrivent ce qu’il peut fournir.

• Pour le 7400, une sortie haute peut fournir au maximum 400 μA tout en maintenant une tension supérieure à 2,4 V.

• Pour le 7400, une sortie basse peut recevoir au maximum 16 mA tout en maintenant une tension inférieure à 0,4 V.

Compléments

• Pour le 7400, une entrée haute peut demander au maximum 40 μA et sa tension doit être supérieure à 2,0 V.

• Pour le 7400, une entrée basse peut demander au maximum 1,6 mA et sa tension doit être inférieure à 0,8 V.

📊 Tableaux de synthèse

Caractéristiques des familles logiques