Fiche de révision : Conversions entre bases numériques

📋 Plan du Cours

1. Bases décimale binaire hexadécimale
2. Écriture positionnelle des nombres
3. Conversion décimal binaire
4. Conversions binaire hexadécimal
5. Conversions hexadécimal décimal
6. Addition en binaire
7. Nombres négatifs en binaire
8. Nombres à virgule binaires

📖 1. Bases décimale binaire hexadécimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Codage décimal : utilise dix chiffres, de 0 à 9, et correspond à la base 10
• Codage binaire : utilise uniquement les chiffres 0 et 1 et correspond à la base 2
• Codage hexadécimal : Le codage hexadécimal utilise la base 16, avec les chiffres 0 à 9 puis les lettres A, B, C, D, E et F pour représenter respectivement 10, 11, 12, 13, 14 et 15.

★ À maîtriser

📌 En électronique et en informatique, le 0 représente l'absence de courant et le 1 représente la présence de courant, ce qui explique l'utilisation du binaire.

Compléments

• L'hexadécimal a été introduit pour réduire la longueur occupée par les longues suites de chiffres binaires.

💡 Astuce mémo

Décimal = 10 symboles, binaire = 2 états, hexadécimal = 16 symboles.

📖 2. Écriture positionnelle des nombres

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base quelconque, la valeur d'un nombre est la somme de chaque chiffre multiplié par une puissance de la base, par exemple $1238 = 1\times10^3 + 2\times10^2 + 3\times10^1 + 8\times10^0$.

• En base 2, les poids successifs sont $2^0{,}2^1{,}2^2{,}2^3,\ldots$, soit 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 et 256.

Compléments

• Le nombre binaire 01101 vaut 22 en décimal, car il correspond à $1\times16 + 1\times4 + 1\times2 = 22$.

💡 Astuce mémo

Chaque rang vaut base⁰, base¹, base², puis les puissances croissantes.

📖 3. Conversion décimal binaire

★ À maîtriser

• Pour convertir un nombre décimal en binaire par soustraction, on choisit successivement les plus grandes puissances de 2 soustractibles sans obtenir de résultat négatif, puis on écrit 1 si la soustraction est effectuée et 0 sinon.

• Pour convertir un nombre décimal en binaire par divisions successives, on divise par 2 jusqu'à obtenir un quotient nul, puis on lit les restes dans l'ordre inverse.

• La conversion de 45 en binaire donne 101101, que l'on peut vérifier par les puissances $32+8+4+1=45$.

Compléments

• Chaque chiffre d'un nombre binaire est appelé un bit, et les bits sont conventionnellement regroupés par quatre pour améliorer la lisibilité.

💡 Astuce mémo

Soustraire les puissances ou diviser par 2, puis lire les restes à l’envers.

📖 4. Conversions binaire hexadécimal

📝 Points essentiels

• Pour convertir du binaire en hexadécimal, on regroupe les bits par paquets de quatre à partir de la droite, puis on convertit chaque paquet en une valeur comprise entre 0 et 15.

• Le nombre binaire 0110 1010 1100 se convertit en hexadécimal sous la forme 6AC.

• Pour convertir de l'hexadécimal au binaire, on remplace chaque symbole hexadécimal par son équivalent sur quatre bits.

💡 Astuce mémo

Découper le binaire en paquets de 4 bits et remplacer chaque paquet par un symbole hexadécimal.

📖 5. Conversions hexadécimal décimal

★ À maîtriser

📐 Formule — En base 16, chaque position correspond à une puissance de 16, de sorte que $12B_{16}=1\times16^2+2\times16^1+11\times16^0=555_{10}$.

• Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, on effectue des divisions successives par 16 et on lit les restes dans l'ordre inverse, en remplaçant les restes de 10 à 15 par A à F.

Compléments

• La conversion de 435 en hexadécimal donne 1B3, car les restes successifs sont 3, 11 et 1, et 11 est représenté par B.

💡 Astuce mémo

Décomposer avec les puissances de 16, ou diviser successivement par 16.

📖 6. Addition en binaire

★ À maîtriser

📌 Lors d'une addition dans une base, lorsqu'une somme atteint ou dépasse la valeur maximale représentable par un chiffre, le chiffre est remis dans la base et une retenue est ajoutée à la colonne suivante.

📌 En binaire, $1+1=10$, ce qui signifie que le chiffre de la colonne courante vaut 0 et qu'une retenue de 1 est transmise à la colonne suivante.

Compléments

• L'addition binaire de 185 et 45 produit 230 après conversion en décimal, ce qui vérifie le résultat obtenu en binaire.

💡 Astuce mémo

Dépassement de la base 2 → chiffre remis à 0 et retenue de 1.

📖 7. Nombres négatifs en binaire

📝 Points essentiels

• Pour coder un nombre négatif en binaire signé sur 8 bits, on convertit sa valeur absolue en binaire sur 8 bits puis on remplace le premier bit par 1.

📌 Pour obtenir le complément à 2 d'un nombre binaire, on inverse tous ses bits puis on ajoute 1 au résultat.

📌 Le binaire signé ne permet pas d'obtenir correctement zéro en additionnant un nombre et son opposé, tandis que le complément à 2 permet cette addition en ignorant la retenue dépassant les 8 bits.

💡 Astuce mémo

Binaire signé = bit de signe ; complément à 2 = inversion des bits puis ajout de 1.

📖 8. Nombres à virgule binaires

★ À maîtriser

• À droite de la virgule binaire, les poids sont $2^{-1},2^{-2},2^{-3},\ldots$, soit 0,5, 0,25, 0,125 et ainsi de suite.

• Le nombre binaire 1,1 vaut 1,5 en décimal, car il combine 1 et 0,5.

Compléments

• La représentation binaire des nombres comme 0,37 peut devenir très longue, contrairement à celle de nombres comme 0,5 ou 0,75.

💡 Astuce mémo

À droite de la virgule : 2⁻¹, 2⁻², 2⁻³, soit 0,5, 0,25, 0,125.

📊 Tableaux de synthèse

Bases de numération