Fiche de révision : Représentation de l’information numérique

📋 Plan du Cours

1. Écriture des entiers en bases
2. Conversions et codage des caractères
3. Opérations binaires sur les entiers
4. Entiers signés et complément à deux
5. Représentation en virgule fixe
6. Représentation en virgule flottante

📖 1. Écriture des entiers en bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation en base b : La représentation en base $b$ d’un entier $N$ est $N=\sum_{n=0}^{+\infty}x_n b^n$, où chaque chiffre $x_n$ appartient à l’intervalle de 0 à $b-1$ et où l’écriture est unique.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le nombre décimal 512 s’écrit $512=5\times10^2+1\times10^1+2\times10^0$.

• Le système binaire est utilisé en informatique car l’algèbre booléenne est à la base de l’électronique numérique.

• Les nombres de 0 à 255 et les caractères sont codés sur 8 bits.

📖 2. Conversions et codage des caractères

🔑 Notions clés & Définitions

• ASCII : ASCII signifie American Standard Code for Information Interchange et désigne un codage permettant de coder des caractères.

★ À maîtriser

• En base hexadécimale, les symboles A, B, C, D, E et F représentent respectivement les valeurs 10, 11, 12, 13, 14 et 15.

Compléments

• En hexadécimal, 255 s’écrit FF, 300 s’écrit 12C, 256 s’écrit 100, 301 s’écrit 12D et 128 s’écrit 80.

📖 3. Opérations binaires sur les entiers

★ À maîtriser

• En addition binaire, $1+0=1$, $0+1=1$ et $0+0=0$ ; l’addition de deux bits 1 produit 0 avec une retenue de 1.

Compléments

• La soustraction binaire s’effectue avec des emprunts en binaire et les emprunts sont rendus en binaire.

📖 4. Entiers signés et complément à deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Complément à deux : Le complément à deux est une méthode de représentation binaire des entiers relatifs qui permet d’effectuer simplement des opérations arithmétiques.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour calculer $X+(-Y)$, on peut effectuer $X+\operatorname{C2}(Y)$, où $Y+\operatorname{C2}(Y)=0$.

• Pour obtenir le complément à deux d’une valeur positive, on inverse ses bits pour former le complément à un, puis on ajoute 1.

Compléments

• Le codage d’un entier dépend du nombre de bits réservé et de la convention choisie ; le programmeur peut choisir des types tels que int ou unsigned short.

• Sur 8 bits, 12 s’écrit 00001100, son complément à un est 11110011 et son complément à deux est 11110100 ; l’addition de ces deux représentations de +12 et −12 donne 00000000.

📌 Lors d’une opération sur des entiers codés sur un nombre fixe de bits, les bits qui dépassent la mémoire de codage réservée ne sont pas pris en compte.

📖 5. Représentation en virgule fixe

🔑 Notions clés & Définitions

• Virgule fixe : En virgule fixe, un nombre en base $b$ comprend une partie entière et une partie fractionnaire, et s’écrit $a_n a_{n-1}\ldots a_0,b_1 b_2\ldots b_m$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La valeur décimale 157,25 se décompose en $157{,}25=1\times10^2+5\times10^1+7\times10^0+2\times10^{-1}+5\times10^{-2}$.

• Pour convertir la partie fractionnaire décimale 0,25 en binaire, on multiplie successivement par 2 : 0,25 donne 0,50 avec chiffre 0, puis 0,50 donne 1,0 avec chiffre 1, donc 0,25 s’écrit 0,01 en binaire.

• Le nombre décimal 157,25 s’écrit 10011101,01 en binaire.

• La représentation binaire 10011101,01 vaut 157,25, car elle correspond à $2^0+2^2+2^3+2^4+2^7+2^{-2}$.

📖 6. Représentation en virgule flottante

🔑 Notions clés & Définitions

• Virgule flottante : En virgule flottante, un nombre décimal $X$ est représenté sous la forme $X=(-1)^s\times M\times b^E$, où $s$ est le bit de signe, $M$ la mantisse, $b$ la base et $E$ l’exposant.

★ À maîtriser

• En simple précision IEEE 754 sur 32 bits, le bit de signe occupe 1 bit, la mantisse 23 bits et l’exposant 8 bits, et la base binaire vaut 2.

Compléments

• Pour décoder le mot 11000001000110000000000000000000 en simple précision, on extrait le signe négatif, on lit l’exposant 130, on soustrait 127 pour obtenir 3, puis on calcule la mantisse 0,1875 et la valeur −1,1875×2³, soit −9,5.

• Pour coder 18,125 en simple précision, on écrit 18 en binaire 10010 et 0,125 en binaire 0,001, puis on normalise 10010,001 en 1,0010001×2⁴ ; le signe vaut 0, l’exposant codé vaut 131 (10000011) et la mantisse est 00100010000000000000000, ce qui donne 01000001100100010000000000000000.

• Le cours distingue le codage IEEE 754 en simple précision sur 32 bits et en double précision sur 64 bits.