Fiche de révision : Estimation et taille d’échantillons

📋 Plan du Cours

1. Estimation de la moyenne
2. Intervalle de confiance à 95 %
3. Risque d’erreur alpha
4. Cas général et loi de Student
5. Application à un panier moyen
6. Intervalle de confiance d’une proportion
7. Taille d’échantillon pour une moyenne
8. Taille d’échantillon pour une proportion

📖 1. Estimation de la moyenne

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne de l’échantillon : La moyenne de l’échantillon est la valeur 5 calcule a partir des donnees reelles pour estimer la moyenne de la population.
• Moyenne de la population : La moyenne de la population est la moyenne vraie de tous les individus, qu’on ne connait qu’imparfaitement via l’echantillon.
• Intervalle de confiance : Un intervalle de confiance est une plage de valeurs construite a partir de l’echantilon qui vise la moyenne vraie de la population.

📝 Points essentiels

• Un seul calcul de moyenne 5 ne suffit pas pour affirmer la moyenne reelle : on doit encadrer l’estimation.
• Selon l’echantillon, la moyenne obtenue peut varier (exemples de productions autour de 28,5 L, 30 L, 27,3 L), d’oa l’interet d’un intervalle.
• Un intervalle de confiance est construit pour que la moyenne vraie appartienne a l’intervalle avec un niveau de confiance (exemples 90%, 95%, 99%).

💡 Astuce mémo

Idee : une moyenne abonnebb valeur ponctuelle, mais l’intervalle donne la abzonebb plausible.

📖 2. Intervalle de confiance à 95 %

🔑 Notions clés & Définitions

• Niveau de confiance : Le niveau de confiance indique la probabilite que la moyenne vraie soit incluse dans l’intervalle construit selon la methode.
• IC e 95% : L’IC e 95% est l’intervalle de confiance au seuil 95%, souvent note $a l’aide de bornes$e{\pm}$ autour de la moyenne estimee.
• **Cas $a$sigma$connu** : Le cas a$sigma$ connu correspond aux formules utilisant un quantile de loi normale pour construire l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Si $n>30$, que la population est normale et que $sigma$ est connu, on utilise une loi normale pour la statistique $(\bar x-\mu)/ (\sigma/\sqrt{n})$.
• On a $\Pr\big(-1,96< (\bar x-\mu)\,\sqrt{n}/\sigma<1,96\big)=95$, ce qui donne $\Pr\big(\bar x-1,96\,\sigma/\sqrt{n}<\mu<\bar x+1,96\,\sigma/\sqrt{n}\big)=95$.
• L’intervalle de confiance a 95% est $\left[\bar x-1,96\,\sigma/\sqrt{n};\,\bar x+1,96\,\sigma/\sqrt{n}\right]$.
• Dans une etude de taille $n$, la moyenne de la population a 95% de chances d’etre dans l’intervalle construit par cette methode.

💡 Astuce mémo

Regle : a 95%, le facteur est 1,96 autour de $\bar x$.

📖 3. Risque d’erreur alpha

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque d’erreur $\alpha$ : Le risque d’erreur $\alpha$ est la probabilite que la moyenne vraie soit en dehors des bornes d’un intervalle de confiance.
• Intervalle de confiance $X\%$ : Un intervalle de confiance $X\%$ est une plage $[a;b]$ telle que l’exclusion de la moyenne vraie ait une probabilite associee a $1-X/100$.
• Double rejet symetrique : Dans la construction classique, le risque total $\alpha$ est reparti en deux queues, $\alpha/2$ de chaque c{\u00f4}te.

📝 Points essentiels

• Si un IC vaut $X\%$ avec $IC_{X\%}=[a;b]$, alors la probabilite que la moyenne de la population soit $>b$ ou $<a$ est appelee risque d’erreur $\alpha$.
• Pour un IC 95% $=[a;b]$, on a $\alpha=1-95/100=5\%$.
• Dans la logique de calcul, on considere ensuite $\alpha/2$ pour la queue superior et $\alpha/2$ pour la queue inferior.
• Passer de $\alpha$ eleve e elevee ea reussie reduit en general la largeur (idee d’intervalle plus a{"e}troite pour un risque plus faible).

💡 Astuce mémo

Si 95% : dehors avec probabilite $\alpha$, donc $\alpha=5\%$, et $\alpha/2$ par cf4te.

📖 4. Cas général et loi de Student

🔑 Notions clés & Définitions

• Condition $n>30$ : La condition $n>30$ permet d’utiliser les resultats de type normal pour construire des intervalles autour d’une moyenne.
• Loi de Student : La loi de Student intervient quand on remplace la deviation standard de la population par l’eart-type estime sur l’echantilon.
• Degrés de liberté (ddl) : Les degres de liberte (ddl) determinent la valeur critique de la loi de Student, typiquement liee a $n-1$.

📝 Points essentiels

• Les relations de calcul e autour de la moyenne ne sont valables que si $n>30$ ou si la population suit une loi normale.
• Lorsque les conditions precises ne sont pas celles du cas normal avec $sigma$ connu, on lit un quantile dans la loi de Student et on utilise les degres de liberte.
• Dans l’exemple de sondage a 29 personnes, on obtient $e\text{ddl}=28$ et la valeur critique est utilise via la table pour $IC95$.
• Pour $IC95$ on prend $\alpha=5\%$, donc $\alpha/2=2,5\%$, et on lit $t_{\alpha/2}=2,05$ dans la table pour les ddl consideres.
• L’IC 95% s’ecrit alors sous la forme $\left[\bar x- t_{\alpha/2}\,s/\sqrt{n};\,\bar x+ t_{\alpha/2}\,s/\sqrt{n}\right]$ (avec $s$ estimant $\sigma$).

💡 Astuce mémo

Student = a la place de $\sigma$ connu : on utilise $s$ et la table avec les ddl.

📖 5. Application à un panier moyen

🔑 Notions clés & Définitions

• Panier moyen : Le panier moyen est la moyenne des montants observes sur un ensemble de releves (les paniers) et sert d’estimation de la moyenne de la population concernee.
• Écart type d’échantillon : L’eart-type d’echantilon $s$ mesure la dispersion des valeurs observees et sert a construire des intervalles pour la moyenne.
• IC autour d’une moyenne : Un IC autour d’une moyenne encadre la moyenne vraie par une plage calculee a partir de $\bar x$, $s$ et des quantiles (normale ou Student).

📝 Points essentiels

• Pour l’exercice (achats), la moyenne observee est $\bar x=46,42EUR$ et l’eart-type est $s=16,45EUR$ avec 100 valeurs relevees.
• On ne peut pas affirmer a coup sur que la moyenne vraie abans le magasinbb vaut exactement 46,42€ : on a une estimation avec incertitude.
• Un intervalle de type $\bar x \pm s$ du style $46,42EUR \pm 16,45EUR$ n’est pas l’IC e 95% : une vraie IC 95% doit utiliser les quantiles et la taille de l’echantilon.
• Dans l’exercice, la construction demandee consiste a calculer l’IC e 95% avec $n$ de l’echantilon et le niveau $\alpha=5\%$.
• La signification attendue d’un IC e 95% est du type ab la moyenne vraie est incluse avec probabilite 95% selon la methodebb, pas un abcertainbb constat unique.

💡 Astuce mémo

Panier moyen : $\bar x$ donne la valeur estimee, l’IC donne l’intervalle plausible.

📖 6. Intervalle de confiance d’une proportion

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion de la population : La proportion de la population, notee $\pi$, represente la fraction vraie d’individus ayant un caracte{`e}re donne dans toute la population.
• Proportion d’échantillon : La proportion observee dans l’echantilon, notee $p$, est la fraction d’individus avec le caracte{`e}re dans l’echantillon.
• IC proportion (formule z) : Un intervalle de confiance pour une proportion utilise un quantile $z$ et l’approximation autour de la proportion $p$ et de $p(1-p)$.

📝 Points essentiels

• Pour un caracte{`e}re binaire, la proportion population est $\pi$ et la proportion observee est $p$ pour un echantillon de taille $n$.
• L’IC d’une proportion s’ecrit sous la forme $\left[p- z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};\,p+ z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$.
• On exprime l’amplitude $d$ par $d=\frac{2z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}\sqrt{p(1-p)}$, ce qui permet ensuite de dimensionner $n$.
• Dans l’exercice a la qualite d’etiquette, la variable est qualitative et binaire (Correct vs non correct), donc l’intervalle porte sur la proportion de non-conformes.

💡 Astuce mémo

Proportion : tout tourne autour de $p(1-p)$ dans la marge.

📖 7. Taille d’échantillon pour une moyenne

🔑 Notions clés & Définitions

• Précision (amplitude) : La precision correspond a l’amplitude d de l’intervalle de confiance, donc a la largeur toleree pour encadrer la moyenne.
• Amplitude d’une IC moyenne : L’amplitude de l’IC pour une moyenne vaut $d=2\,u_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$ dans le schema avec $sigma$ connu ou estime.
• Taille minimale : La taille minimale d’echantilon $n$ est celle qui garantit la precision demandee, obtenue en reagenceant la formule d’amplitude.

📝 Points essentiels

• L’amplitude d’une IC de moyenne vaut $d=2\,u_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$ (avec un quantile $u_{\alpha/2}$ lie au niveau $\alpha$).
• Pour une amplitude $d$ fixee, la taille minimale s’obtient par $n=\frac{4\,(u_{\alpha/2}\sigma)^2}{d^2}$.
• L’estimation de $\sigma$ doit venir d’un echantillon assez grand, avec un ordre de grandeur indique : sup00erieur e 30.
• Le calcul est precise comme utilisable pour evaluer des tailles d’echantillons superieurs e 30.
• Exemples d’amplitude et tailles minimales donne(s) : pour $10\,km/h$, $n=100$, pour $5\,km/h$, $n=391$, et pour $3\,km/h$, $n=1084$.

💡 Astuce mémo

Pour gagner en precision (d plus petit), $n$ augmente comme $1/d^2$.

📖 8. Taille d’échantillon pour une proportion

🔑 Notions clés & Définitions

• IC proportion : marge et amplitude : La marge d’une IC de proportion depend de $z_{\alpha/2}$, de $p(1-p)$ et de $n$, et l’amplitude se ramene a une expression en $1/\sqrt{n}$.
• Terme $p(1-p)$ : Le terme $p(1-p)$ mesure la variabilite potentielle d’une proportion et intervient directement dans la taille d’echantilon.
• Taille minimale pour une amplitude : La taille minimale de l’echantilon est obtenue en imposant une amplitude $d$ a l’IC de proportion.

📝 Points essentiels

• L’amplitude d’une IC de proportion est donnee par $d=\frac{2z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}\sqrt{p(1-p)}$.
• Pour une amplitude $d$ fixee, la taille minimale s’obtient par $n=\frac{4z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{d^2}$.
• L’IC utilise $z$ (modele normal standard) et suppose l’approximation associee a la loi normale pour construire la marge.
• La decomposition en $p$ et $1-p$ montre que la taille necessaire augmente quand la proportion est interm00ediaire (ou $p(1-p)$ est plus grand).

💡 Astuce mémo

Proportion : $n$ suit la formule $\propto \frac{p(1-p)}{d^2}$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\alpha$ et le niveau de confiance : pour un IC 95%, $\alpha=5\%$, pas 95%.
2. Croire que $\bar x$ est la moyenne vraie : une estimation ponctuelle n’est pas une certitude.
3. Mélanger un calcul de type $\bar x \pm s$ avec un IC 95% : une vraie IC utilise un quantile (1,96 ou t).
4. Utiliser les formules de normale avec $\sigma$ connu alors que l’écart-type de la population n’est pas connu et que $n$ n’est pas dans les conditions.
5. Oublier le facteur de demi-queue $\alpha/2$ quand on lit dans la table (Student ou normale standard).
6. Confondre variable quantitative et variable qualitative : la proportion s’analyse avec une IC de proportion, pas une IC de moyenne.
7. Se tromper sur la taille d’échantillon utilisée dans l’IC : $n$ doit correspondre au nombre de valeurs (par exemple 100 relevés dans l’exercice panier).

✅ Checklist Examen

1. Donner la logique : une moyenne ponctuelle 5 ne suffit pas, on construit un intervalle pour encadrer la moyenne vraie.
2. Écrire l’IC 95% quand $n>30$, population normale et $sigma$ connu : bornes 5 \pm 1,96\,\sigma/\sqrt{n}.
3. Relier le risque $\alpha$ a l’IC : $\alpha$ est la probabilité que la moyenne vraie sorte des bornes.
4. Calculer $\alpha/2$ pour un IC 95% et comprendre pourquoi on utilise une seule queue lors de la lecture de table.
5. Dans le cas Student, utiliser les ddl appropriés (ddl $=n-1$ dans l’exemple) et appliquer $t_{\alpha/2}=2,05$ pour l’exemple fourni.
6. Construire un IC 95% à partir de $\bar x$, $s$, $n$ et $t_{\alpha/2}$ dans les exercices autour d’une moyenne (panier, poids des bocaux).
7. Exprimer l’IC d’une proportion à partir de $p$, $n$ et $z_{\alpha/2}$ avec la racine de $p(1-p)/n$.
8. Dimensionner $n$ pour une moyenne à partir d’une amplitude $d$ via $n=\frac{4(u_{\alpha/2}\sigma)^2}{d^2}$.
9. Dimensionner $n$ pour une proportion à partir d’une amplitude $d$ via $n=\frac{4z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}{d^2}$.
10. Expliquer ce qu’on peut ou ne peut pas affirmer avec une IC (moyenne vraie pas égale à 5 avec certitude, mais incluse avec le niveau de confiance).