QCM : Estimation et taille d’échantillons — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est le rôle principal de la moyenne de l’échantillon dans l’estimation de la moyenne de la population ?

Elle sert de valeur ponctuelle pour estimer la moyenne vraie
Elle remplace le niveau de confiance dans l’intervalle
Elle garantit à elle seule la moyenne vraie de la population
Elle mesure la dispersion des données observées

Elle sert de valeur ponctuelle pour estimer la moyenne vraie

Explication

La moyenne de l’échantillon est une estimation ponctuelle de la moyenne de la population. Elle ne suffit pas à elle seule pour affirmer la valeur vraie, d’où l’usage d’un intervalle.

2. Pourquoi construit-on un intervalle de confiance autour d’une moyenne observée ?

Pour remplacer l’échantillon par une valeur exacte
Pour calculer uniquement l’écart type
Pour encadrer la moyenne vraie avec une plage plausible
Pour éliminer toute incertitude sur la population

Pour encadrer la moyenne vraie avec une plage plausible

Explication

L’intervalle de confiance sert à encadrer la moyenne vraie à partir de l’échantillon. Une moyenne seule reste une estimation ponctuelle, pas une certitude.

3. Quelle expression correspond à l’intervalle de confiance à 95 % d’une moyenne lorsque l’écart-type de la population est connu ?

[\bar x - 1,96\,\sigma ; \bar x + 1,96\,\sigma]
[\bar x - \sigma ; \bar x + \sigma]
[\bar x - 2,58\,\sigma/n ; \bar x + 2,58\,\sigma/n]
[\bar x - 1,96\,\sigma/\sqrt{n} ; \bar x + 1,96\,\sigma/\sqrt{n}]

[\bar x - 1,96\,\sigma/\sqrt{n} ; \bar x + 1,96\,\sigma/\sqrt{n}]

Explication

À 95 %, l’intervalle de confiance s’écrit avec le facteur 1,96 autour de la moyenne estimée et divisé par \(\sqrt{n}\). Les autres propositions oublient la racine de \(n\) ou utilisent un mauvais coefficient.

4. Dans le cas où \(n>30\), la population est normale et \(\sigma\) est connu, quelle loi est utilisée pour construire l’intervalle de confiance de la moyenne ?

La loi de Poisson
La loi binomiale
La loi uniforme
La loi normale standard

La loi normale standard

Explication

Quand \(n>30\), que la population est normale et que \(\sigma\) est connu, on utilise la loi normale standard. C’est elle qui conduit au quantile 1,96 pour un intervalle à 95 %.

5. Que représente le risque d’erreur alpha dans un intervalle de confiance ?

La probabilité que la moyenne observée soit égale à zéro
La probabilité que la moyenne vraie soit hors des bornes de l’intervalle
La largeur de l’intervalle de confiance
La probabilité que l’échantillon ait plus de 30 valeurs

La probabilité que la moyenne vraie soit hors des bornes de l’intervalle

Explication

Le risque d’erreur alpha correspond à la probabilité que la moyenne vraie se trouve en dehors de l’intervalle. Ce n’est pas la largeur de l’intervalle ni une condition sur la taille de l’échantillon.

6. Pour un intervalle de confiance à 95 %, quelle est la valeur de \(\alpha\) ?

50 %
5 %
95 %
2,5 %

5 %

Explication

Un intervalle à 95 % laisse 5 % de risque total à l’extérieur, donc \(\alpha = 5\%\). Ce risque est ensuite réparti en deux queues de \(2,5\%\) chacune.

7. Quand la loi de Student est-elle utilisée pour construire un intervalle de confiance sur une moyenne ?

Quand l’écart-type de la population est remplacé par l’écart-type de l’échantillon
Quand la taille de l’échantillon vaut exactement 30
Quand la variable étudiée est qualitative binaire
Quand la moyenne de la population est connue

Quand l’écart-type de la population est remplacé par l’écart-type de l’échantillon

Explication

La loi de Student intervient lorsque l’écart-type de la population est inconnu et qu’on utilise l’écart-type estimé de l’échantillon. Elle ne concerne pas une variable qualitative binaire.

8. Dans un intervalle de confiance de Student, à quoi correspondent les degrés de liberté ?

Ils remplacent l’écart-type de l’échantillon
Ils déterminent la valeur critique de la table, souvent liée à \(n-1\)
Ils fixent directement la moyenne de la population
Ils indiquent le niveau de confiance choisi

Ils déterminent la valeur critique de la table, souvent liée à \(n-1\)

Explication

Les degrés de liberté servent à choisir la valeur critique dans la table de Student, typiquement avec \(n-1\). Ils ne remplacent ni le niveau de confiance ni l’écart-type.

9. Dans l’application au panier moyen, que représente la valeur observée \(\bar x = 46,42\,€\) ?

La moitié de l’intervalle de confiance
Le risque d’erreur alpha
La valeur exacte du panier moyen de tous les clients
Une estimation du panier moyen de la population

Une estimation du panier moyen de la population

Explication

La moyenne observée est une estimation du panier moyen de la population. Elle ne permet pas d’affirmer à elle seule la valeur vraie, d’où le recours à un intervalle.

10. Pourquoi l’expression \(46,42\,€ \pm 16,45\,€\) ne constitue-t-elle pas un intervalle de confiance à 95 % ?

Parce qu’un IC à 95 % utilise seulement la moyenne sans dispersion
Parce qu’un IC à 95 % doit être centré sur 0
Parce qu’un IC à 95 % doit utiliser un quantile et la taille de l’échantillon
Parce qu’un IC à 95 % ne peut pas être calculé sur 100 relevés

Parce qu’un IC à 95 % doit utiliser un quantile et la taille de l’échantillon

Explication

Un véritable intervalle de confiance à 95 % doit intégrer un quantile et la taille de l’échantillon. Une écriture du type moyenne ± écart-type n’est qu’une approximation grossière, pas un IC 95 %.

11. Quelle est la forme correcte de l’intervalle de confiance à 95 % pour une proportion observée p sur un échantillon de taille n ?

[p - 1,96√(p(1-p)/n) ; p + 1,96√(p(1-p)/n)]
[p - 2,05√(p(1-p)/n) ; p + 2,05√(p(1-p)/n)]
[x̄ - 1,96s/√n ; x̄ + 1,96s/√n]
[p - 1,96σ/√n ; p + 1,96σ/√n]

[p - 1,96√(p(1-p)/n) ; p + 1,96√(p(1-p)/n)]

Explication

Pour une proportion, l’intervalle de confiance utilise la proportion observée p et la racine de p(1-p)/n, avec le quantile normal 1,96 pour 95 %. Les autres propositions correspondent à une moyenne ou à une loi de Student.

12. Dans un intervalle de confiance pour une proportion, quel terme mesure directement la variabilité liée à la proportion observée ?

p(1-p)
α/2
σ/√n
s/√n

p(1-p)

Explication

La marge d’erreur pour une proportion dépend de la quantité p(1-p), qui traduit la variabilité de la variable binaire. Les autres termes interviennent dans des intervalles pour une moyenne ou dans le partage du risque.

13. Quelle formule permet de déterminer la taille minimale d’échantillon pour estimer une moyenne avec une amplitude d fixée, lorsque σ est connu ou estimé ?

n = 4(uα/2σ)² / d²
n = 2uα/2σ / d
n = d² / [4(uα/2σ)²]
n = 4zα/2² p(1-p) / d²

n = 4(uα/2σ)² / d²

Explication

Pour une moyenne, on isole n dans l’expression de l’amplitude d = 2uα/2σ/√n, ce qui donne n = 4(uα/2σ)²/d². La formule avec p(1-p) concerne une proportion.

14. Pourquoi la taille d’échantillon nécessaire augmente-t-elle lorsque l’on exige une précision plus grande sur une moyenne ?

Parce que n varie comme 1/d, donc réduire d divise n par deux
Parce que n varie comme 1/d², donc réduire d impose d’augmenter fortement n
Parce que n ne dépend pas de la précision demandée
Parce que n dépend uniquement du niveau de confiance

Parce que n varie comme 1/d², donc réduire d impose d’augmenter fortement n

Explication

La taille minimale d’échantillon pour une moyenne est proportionnelle à 1/d² : si l’on veut une amplitude plus petite, il faut donc un échantillon plus grand. Les autres propositions contredisent la relation donnée.

15. Quelle formule donne la taille minimale d’échantillon pour estimer une proportion avec une amplitude d fixée ?

n = d² / [4zα/2² p(1-p)]
n = zα/2 p(1-p) / d
n = 4(uα/2σ)² / d²
n = 4zα/2² p(1-p) / d²

n = 4zα/2² p(1-p) / d²

Explication

Pour une proportion, la taille minimale s’obtient en isolant n dans l’expression de l’amplitude, ce qui conduit à n = 4zα/2² p(1-p)/d². La formule avec σ concerne une moyenne.

16. Dans le calcul de taille d’échantillon pour une proportion, dans quel cas la taille requise est-elle généralement la plus grande ?

Lorsque la proportion n’influence pas le calcul
Lorsque la proportion vaut exactement 1
Lorsque la proportion est intermédiaire, par exemple proche de 0,5
Lorsque la proportion est très proche de 0 ou de 1

Lorsque la proportion est intermédiaire, par exemple proche de 0,5

Explication

La taille demandée dépend de p(1-p), qui est maximale lorsque p est proche de 0,5 ; c’est alors que la variabilité est la plus forte. Près de 0 ou de 1, p(1-p) diminue.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 16 flashcards sur Estimation et taille d’échantillons.

Estimation de la moyenne — définition ?

Valeur ponctuelle et intervalle pour la moyenne vraie.

Intervalle de confiance à 95 % — rôle ?

Encadrer la moyenne vraie avec 95 % de confiance.

Risque d’erreur alpha — signification ?

Probabilité que la vraie moyenne soit hors de l’intervalle.

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Estimation et taille d’échantillons.

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