Fiche de révision : Ajustements et statistiques à deux variables

📋 Plan du Cours

1. Séries statistiques à deux variables
2. Nuage de points et ajustement affine
3. Interpolation et extrapolation
4. Coefficient de détermination
5. Modèles non affines
6. Choisir le meilleur modèle
7. Applications aux données réelles

📖 1. Séries statistiques à deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique à deux variables : Série statistique qui possède deux caractères quantitatifs et dont les valeurs sont de la forme (xi, yi).

📝 Points essentiels

• Une série statistique à deux variables est le plus souvent présentée sous la forme d’un tableau associant les valeurs xi de la première variable aux valeurs yi de la seconde.

📖 2. Nuage de points et ajustement affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Ensemble des points de coordonnées (xi, yi) représentant une série statistique dans un repère.
• Ajustement affine : Un ajustement affine consiste à déterminer une droite d’équation $y=ax+b$ qui passe au plus près des points de coordonnées (xi, yi) et représente la tendance d’évolution de y en fonction de x.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La droite d’ajustement affine a pour équation $y=ax+b$.

💡 Astuce mémo

Visualiser les couples (xi, yi) comme des points dans un repère, puis observer leur tendance.

📖 3. Interpolation et extrapolation

🔑 Notions clés & Définitions

• Interpolation : Une interpolation recherche une valeur à l’aide d’un ajustement lorsque l’abscisse recherchée est comprise entre la plus petite et la plus grande abscisse observées.
• Extrapolation : Une extrapolation recherche une valeur à l’aide d’un ajustement lorsque l’abscisse recherchée est en dehors de l’intervalle défini par les données.

💡 Astuce mémo

Interpolation dans l’intervalle observé, extrapolation en dehors de cet intervalle.

📖 4. Coefficient de détermination

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de détermination : Le coefficient de détermination R² est le carré du coefficient de corrélation r et sa valeur est comprise entre 0 et 1.

📝 Points essentiels

📌 Plus R² est proche de 1, mieux le nuage est représenté par l’ajustement, tandis que plus R² est proche de 0, moins l’ajustement est pertinent.

💡 Astuce mémo

R² proche de 1 : ajustement pertinent ; R² proche de 0 : ajustement peu pertinent.

📖 5. Modèles non affines

★ À maîtriser

📐 Formule — Un ajustement exponentiel peut s’écrire $y=ab^x$.

📐 Formule — Un ajustement polynomial du second degré peut s’écrire $y=ax^2+bx+c$.

📐 Formule — Un ajustement polynomial du troisième degré peut s’écrire $y=ax^3+bx^2+cx+d$.

Compléments

📐 Formule — Un ajustement logarithmique peut s’écrire $y=a+b\,\lg(x)$.

📖 6. Choisir le meilleur modèle

★ À maîtriser

• 🔄 La démarche de choix d’un modèle suit plusieurs étapes:

  1. Tracer le nuage de points
  2. Réaliser plusieurs ajustements
  3. Comparer les coefficients de détermination
  4. Effectuer les prévisions
  5. Calculer les erreurs

• Le pourcentage d’erreur se calcule en multipliant l’écart entre la valeur estimée et la valeur réelle par 100, puis en le divisant par la valeur réelle.

• Pour les contaminations aux États-Unis, l’ajustement polynomial de degré 2 est y = 16,922x² - 210,284x + 590,256 avec R² = 0,963, tandis que l’ajustement de degré 3 est y = 1,245x³ - 22,318x² + 127,430x - 161,597 avec R² = 0,997.

Compléments

• Pour les contaminations aux États-Unis, l’ajustement affine a pour équation y = 145,0812x - 802,753 et son coefficient de détermination vaut R² = 0,79, ce qui correspond à un mauvais ajustement.

💡 Astuce mémo

Tracer, ajuster, comparer R², prévoir, puis mesurer l’erreur.

📖 7. Applications aux données réelles

★ À maîtriser

• Les données de consommation de streaming vidéo sont de 90, 115, 150, 200, 275 et 370 Go par mois pour les années 2019 à 2024. — ARCEP

• Selon Dr. Philippe Durand, la consommation pourrait atteindre ou dépasser 800 Go de données mensuelles par abonné d’ici 2027.

Compléments

• Les facteurs de croissance cités sont : (Dr. Philippe Durand): la généralisation de la 4K, la multiplication des écrans dans un même foyer, l’usage simultané, la lecture continue des contenus

📌 L’extrapolation de la croissance du streaming reste fragile car une compression vidéo plus efficace, un changement des usages ou des régulations peuvent ralentir la progression.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des modèles d’ajustement