Fiche de révision : Analyse vectorielle et algèbre linéaire

📋 Plan du Cours

1. Systèmes linéaires et solutions
2. Matrices et opérations
3. Déterminants et calculs
4. Matrices inversibles et Cramer
5. Produits scalaire et vectoriel
6. Fonctions et dérivées partielles
7. Champs, divergence et rotationnel
8. Espaces vectoriels et sous-espaces
9. Bases, dimension et rang
10. Sommes de sous-espaces
11. Matrices semblables et spectre
12. Diagonalisation et trigonalisation

📖 1. Systèmes linéaires et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Ensemble d’équations de la forme $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i$ pour i allant de 1 à m, et le résoudre consiste à trouver tous les n-uplets réels qui vérifient simultanément ces équations.

📝 Points essentiels

📌 Un système homogène a tous ses seconds membres nuls et possède toujours la solution nulle, tandis qu’un système général peut être incompatible.

• Un système linéaire possède zéro, une ou une infinité de solutions.

• La méthode du pivot de Gauss transforme un système en un système échelonné équivalent au moyen d’opérations élémentaires sur les lignes.

💡 Astuce mémo

Écrire, échelonner, remonter

📖 2. Matrices et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit matriciel : Le produit d’une matrice A de taille m×n par une matrice B de taille n×p est la matrice AB de taille m×p dont le coefficient vaut $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.
• Rang d’une matrice : Nombre de lignes non nulles d’une de ses formes échelonnées.

📝 Points essentiels

• Une matrice identité In est une matrice diagonale carrée dont tous les coefficients diagonaux valent 1 et elle est l’élément neutre du produit matriciel.

📐 Formule — Sous réserve de compatibilité des tailles, le produit matriciel vérifie $A(B+C)=AB+AC$, $(AB)C=A(BC)$ et $(AB)^t=B^tA^t$.

💡 Astuce mémo

AB est défini, mais BA ne l’est pas toujours

📖 3. Déterminants et calculs

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une matrice carrée de taille 2, \det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

📌 Échanger deux lignes multiplie le déterminant par −1, multiplier une ligne par λ multiplie le déterminant par λ, et ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant.

📐 Formule — Le déterminant d’un produit de matrices carrées vérifie $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

Compléments

• Pour calculer un déterminant par pivot de Gauss, on échelonne la matrice en tenant compte des effets des opérations élémentaires, puis on multiplie les coefficients diagonaux.

📖 4. Matrices inversibles et Cramer

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B telle que $AB=BA=I_n$, cette matrice B étant l’unique inverse notée $A^{-1}$.

★ À maîtriser

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si $\det(A)\ne0$.

📐 Formule — Un système carré de Cramer possède l’unique solution $X=A^{-1}B$ et ses coordonnées vérifient $x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une matrice carrée inversible, $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}(\operatorname{com}(A))^t$.

💡 Astuce mémo

Déterminant non nul → inverse → solution unique

📖 5. Produits scalaire et vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Dans R3, un vecteur orthogonal à A et à B, orienté par la règle de la main droite, et de norme $\|A\wedge B\|=\|A\|\|B\|\sin\widehat{(A,B)}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs vérifie $A\cdot B=\|A\|\|B\|\cos\widehat{(A,B)}$ et, en coordonnées, $A\cdot B=\sum_i a_ib_i$.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📌 Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

💡 Astuce mémo

Scalaire : un nombre ; vectoriel : un vecteur

📖 6. Fonctions et dérivées partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : Dérivée de l’application partielle obtenue en fixant toutes les variables sauf xi.
• Gradient : Vecteur colonne formé de toutes ses dérivées partielles.

📝 Points essentiels

📌 Si les dérivées secondes existent et que f est de classe C2, alors les dérivées partielles croisées vérifient $\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$.

📐 Formule — Le laplacien scalaire d’une fonction f est $\Delta_sf=\sum_{i=1}^{p}\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}$.

💡 Astuce mémo

Le gradient pointe vers les niveaux croissants

📖 7. Champs, divergence et rotationnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Divergence : Pour un champ de vecteurs $\vec f=(f_1,f_2,f_3)$, $\operatorname{div}\vec f=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_3}{\partial x_3}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le rotationnel d’un champ $\vec f=(f_1,f_2,f_3)$ est $\operatorname{rot}\vec f=\left(\frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3},\frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1},\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)$.

• Le théorème d’Ostrogradski relie le flux sortant à travers une surface fermée à l’intégrale de la divergence sur le volume délimité.

• Le théorème de Stokes relie la circulation d’un champ le long d’un contour fermé au flux de son rotationnel à travers une surface bordée par ce contour.

💡 Astuce mémo

Divergence : flux sortant ; rotationnel : tourbillon

📖 8. Espaces vectoriels et sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble non vide muni d’une addition et d’une multiplication par les scalaires réels satisfaisant les huit propriétés usuelles de Rn.
• Sous-espace vectoriel : Partie non vide stable par addition et multiplication par un scalaire.
• Combinaison linéaire : Vecteur de la forme $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p$ avec des scalaires réels λ1,…,λp.
• Sous-espace engendré : Ensemble des combinaisons linéaires de v1,…,vp.

📖 9. Bases, dimension et rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Base : Famille à la fois libre et génératrice.
• Dimension : Nombre de vecteurs de toute base de cet espace, et $\dim(\mathbb R^n)=n$.

★ À maîtriser

📌 Une famille est libre lorsque la combinaison linéaire nulle impose que tous les coefficients soient nuls, et elle est génératrice lorsque tout vecteur de l’espace est une combinaison linéaire de la famille.

📐 Formule — Pour une famille V, son rang est $\operatorname{rg}(V)=\dim(\operatorname{Vect}(V))$ et une famille est libre si et seulement si son rang égale son nombre de vecteurs.

Compléments

• La base canonique de Rn est formée des n vecteurs dont une seule coordonnée vaut 1 et toutes les autres valent 0.

💡 Astuce mémo

Libre : pas de redondance ; génératrice : tout est engendré

📖 10. Sommes de sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de sous-espaces : Ensemble des vecteurs u+v avec u∈F et v∈G.
• Somme directe : La somme F+G est directe, notée $F\oplus G$, si $F\cap G=\{0\}$.
• Sous-espaces supplémentaires : Deux sous-espaces F et G qui vérifient $F\oplus G=E$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux sous-espaces de dimension finie, $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$.

💡 Astuce mémo

Intersection nulle → somme directe

📖 11. Matrices semblables et spectre

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrices semblables : Deux matrices A et B sont semblables s’il existe une matrice inversible P telle que $B=P^{-1}AP$.
• Valeur propre : Un scalaire λ est une valeur propre de A s’il existe un vecteur non nul x tel que $Ax=\lambda x$, ou de manière équivalente si $\ker(A-\lambda I_n)\ne\{0\}$.
• Polynôme caractéristique : Fonction $\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I_n)$, dont les racines sont les valeurs propres de A.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le théorème du rang donne $\dim\ker(A)+\operatorname{rg}(A)=p$ pour une matrice A à p colonnes.

💡 Astuce mémo

Noyau, valeurs propres, polynôme caractéristique

📖 12. Diagonalisation et trigonalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagonalisation : Une matrice A est diagonalisable dans K s’il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que $D=P^{-1}AP$.
• Trigonalisation : Une matrice A est trigonalisable dans K s’il existe une matrice inversible P et une matrice triangulaire supérieure T telles que $T=P^{-1}AP$.

★ À maîtriser

📌 Une matrice est diagonalisable si et seulement si son espace vectoriel possède une base formée de vecteurs propres de cette matrice.

📌 Une matrice complexe est diagonalisable si et seulement si, pour toute valeur propre λ, la dimension de son espace propre Eλ égale sa multiplicité mλ dans le polynôme caractéristique.

Compléments

• Toute matrice complexe est trigonalisable dans C, car tout polynôme complexe de degré au moins 1 est scindé.

💡 Astuce mémo

Base de vecteurs propres → matrice diagonale

📊 Tableaux de synthèse

Types de réduction matricielle