Fiche de révision : Algèbre 1 : logique et structures

📋 Plan du Cours

1. Logique et raisonnements mathématiques
2. Factorielle et binôme de Newton
3. Ensembles et opérations
4. Applications et bijections
5. Cardinaux et dénombrement
6. Nombres complexes
7. Équations complexes
8. Polynômes et opérations
9. Divisibilité et pgcd des polynômes
10. Racines et multiplicités des polynômes
11. Factorisation en polynômes irréductibles
12. Vecteurs, droites et plans
13. Bases et coordonnées de l’espace
14. Produit scalaire, déterminant et vectoriel
15. Équations et distances dans l’espace

📖 1. Logique et raisonnements mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Axiome : Énoncé mathématique dont on admet la véracité, tandis qu’une assertion est un énoncé mathématique qui est soit vrai soit faux.
• Quantificateurs : Affirme qu’une propriété est vraie pour tous les éléments d’un ensemble, tandis que le quantificateur existentiel ∃ affirme qu’au moins un élément vérifie cette propriété.

📝 Points essentiels

📌 La conjonction P et Q est vraie uniquement lorsque P et Q sont vraies, tandis que la disjonction P ou Q est vraie dès qu’au moins l’une des deux assertions est vraie.

📌 Pour nier une assertion quantifiée, on échange ∀ et ∃ puis on nie la propriété qui suit.

• Pour démontrer une proposition universelle, on choisit un élément quelconque de l’ensemble et on démontre la propriété pour cet élément.

📌 Le principe de récurrence consiste à prouver une initialisation P(n₀), puis l’hérédité selon laquelle, pour tout n ≥ n₀, P(n) implique P(n+1), afin de conclure que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

💡 Astuce mémo

Assertion → quantification → preuve

📖 2. Factorielle et binôme de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour n ∈ N*, le produit des entiers de 1 à n, et par convention 0! = 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour 0 ≤ k ≤ n, le coefficient binomial vérifie $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📌 La relation de Pascal est $C_n^k = C_{n-1}^{k} + C_{n-1}^{k-1}$, avec la convention $C_n^k=0$ si n < 0 ou n < k.

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$ pour (a,b) ∈ R² et n ∈ N.

📖 3. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets bien définis et distincts appelés éléments de l’ensemble.
• Inclusion : Une partie de E lorsque tout élément de F appartient aussi à E.
• Opérations ensemblistes : La différence E\F contient les éléments de E qui ne sont pas dans F, l’intersection E∩F les éléments communs, la réunion E∪F les éléments de E ou de F, et le produit cartésien E×F les couples (x,y) tels que x∈E et y∈F.
• Partition : Une famille de parties non vides de E, deux à deux disjointes, dont la réunion est E.

📝 Points essentiels

📌 Un ensemble est défini en extension lorsqu’on liste ses éléments entre accolades et en compréhension lorsqu’on donne une propriété caractérisant ses éléments.

💡 Astuce mémo

Extension : lister ; compréhension : caractériser

📖 4. Applications et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Associe à tout élément x de E un unique élément f(x) de F.
• Composition : Si f:E→F et g:F→G sont deux applications, leur composée g∘f:E→G est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).

📝 Points essentiels

📌 Une application est injective si chaque élément d’arrivée possède au plus un antécédent, surjective si chaque élément d’arrivée possède au moins un antécédent, et bijective si elle est à la fois injective et surjective.

📌 Une application f:E→F est bijective si et seulement s’il existe g:F→E telle que g∘f=IdE et f∘g=IdF ; cette application g est l’application réciproque de f.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un

📖 5. Cardinaux et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Un ensemble non vide E est fini s’il existe n∈N* et une bijection de E vers {1,…,n}, et n est alors son cardinal noté Card(E) ou |E| ; par convention Card(∅)=0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux ensembles finis E et F, $|E∪F|=|E|+|F|-|E∩F|$.

📐 Formule — Pour deux ensembles finis E et F, $|E×F|=|E|×|F|$, et donc $|E^k|=(|E|)^k$.

💡 Astuce mémo

Bijection → même cardinal

📖 6. Nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Nombre de la forme z=a+ib avec (a,b)∈R² et i²=−1 ; a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
• Conjugué : Le complexe \bar z=a−ib.
• Module : Le module du complexe z=a+ib est le réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Argument : Pour un complexe non nul z, un argument est une mesure de l’angle orienté entre l’axe réel positif et le vecteur représentant z, et tous ses arguments sont de la forme θ+2kπ avec k∈Z.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour z=a+ib et z'=c+id, l’addition et la multiplication sont données par $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$ et $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

📐 Formule — Tout complexe non nul z s’écrit sous forme exponentielle $z=|z|e^{i\arg(z)}$.

💡 Astuce mémo

Algébrique → trigonométrique → exponentielle

📖 7. Équations complexes

📝 Points essentiels

📌 Tout complexe non nul Z=reiθ admet exactement deux racines carrées, données par $\sqrt r e^{i\theta/2}$ et $\sqrt r e^{i(\theta/2+\pi)}$.

📐 Formule — Pour az²+bz+c=0 avec a≠0 et Δ=b²−4ac, si Δ≠0 les solutions sont $z_1=\frac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\delta}{2a}$, où δ est une racine carrée de Δ.

📌 Si Δ=0 dans l’équation az²+bz+c=0, l’unique solution est $z_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Les racines n-ièmes de l’unité sont les complexes $e^{2ik\pi/n}$ pour k variant de 0 à n−1.

📐 Formule — Si Z=reiθ avec r>0, les n racines n-ièmes de Z sont $r^{1/n}e^{i(\theta/n+2k\pi/n)}$ pour k variant de 0 à n−1.

📖 8. Polynômes et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Suite d’éléments de K nulle à partir d’un certain rang, qui s’écrit P(X)=a₀+a₁X+⋯+aₙXⁿ.
• Degré : Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand entier k tel que son coefficient a_k soit non nul, tandis que par convention deg(0)=−∞.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux polynômes P et Q, $\deg(P+Q)\leq\max(\deg(P),\deg(Q))$ et $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

📐 Formule — La formule de Taylor pour un polynôme P de degré n et a∈K est $P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.

Compléments

📌 Un polynôme est constant si son degré est 0 et unitaire si son coefficient dominant vaut 1.

📖 9. Divisibilité et pgcd des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un polynôme B non nul divise A s’il existe Q∈K[X] tel que A=BQ.
• PGCD : L’unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise les deux et est divisible par tout diviseur commun.

📝 Points essentiels

📌 La division euclidienne de A par B non nul fournit un unique couple (Q,R) tel que A=BQ+R et deg(R)<deg(B).

• L’algorithme d’Euclide calcule le pgcd de deux polynômes en remplaçant successivement le couple formé par les deux polynômes par le couple formé du diviseur et du reste, jusqu’au dernier reste non nul.

📐 Formule — Si D=pgcd(A,B), il existe U,V∈K[X] tels que $D=AU+BV$.

💡 Astuce mémo

Division → restes → pgcd

📖 10. Racines et multiplicités des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un scalaire α est une racine de P si P(α)=0, ce qui équivaut à dire que X−α divise P(X).
• Multiplicité d’une racine : Le plus grand entier m tel que (X−α)^m divise P(X).

★ À maîtriser

📌 Une racine α a une multiplicité au moins égale à m si et seulement si P(α)=P'(α)=⋯=P^(m−1)(α)=0.

📌 Une racine α a une multiplicité exactement égale à m si et seulement si P(α)=P'(α)=⋯=P^(m−1)(α)=0 et P^(m)(α)≠0.

Compléments

📐 Formule — Si α1,…,αr sont des racines deux à deux distinctes de multiplicités au moins m1,…,mr, alors $P(X)=\prod_{i=1}^{r}(X-\alpha_i)^{m_i}Q(X)$ avec $\deg(Q)=\deg(P)-\sum_{i=1}^{r}m_i$.

💡 Astuce mémo

Divisibilité par X−α → racine → multiplicité

📖 11. Factorisation en polynômes irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme irréductible : Un polynôme qui possède exactement deux diviseurs unitaires dans K[X].

★ À maîtriser

📌 Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C. — d’Alembert-Gauss

• Les polynômes irréductibles de C[X] sont exactement les polynômes de degré 1.

• Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.

Compléments

📐 Formule — Tout polynôme non constant de C[X] s’écrit $P(X)=cd(P)\prod_{i=1}^{r}(X-\alpha_i)^{m_i}$, où les αi sont ses racines complexes et mi leurs multiplicités.

📐 Formule — Tout polynôme non constant de R[X] s’écrit $P(X)=cd(P)\prod_{i=1}^{r}(X-\alpha_i)^{m_i}\prod_{j=1}^{s}(X^2+b_jX+c_j)^{n_j}$ avec $b_j^2-4c_j<0$ pour chaque j.

💡 Astuce mémo

Dans C[X] : degré 1 ; dans R[X] : degré 1 ou degré 2 à discriminant négatif

📖 12. Vecteurs, droites et plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs dont l’un est un multiple réel de l’autre.
• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs tels que l’un d’eux est une combinaison linéaire des deux autres.
• Droite affine : L’ensemble des points M tels que AM est colinéaire à u.
• Plan affine : L’ensemble des points M tels que AM est une combinaison linéaire de u et v.
• Vecteur normal : Orthogonal à tous les vecteurs directeurs de ce plan.

💡 Astuce mémo

Une droite porte une direction ; un plan porte deux directions ou une normale

📖 13. Bases et coordonnées de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Un triplet de vecteurs non coplanaires.
• Repère de l’espace : Un quadruplet (O,u,v,w) formé d’un point O et d’une base de l’espace.

📝 Points essentiels

📌 Dans un repère, tout vecteur possède une unique écriture t=au+bv+cw et tout point M possède des coordonnées uniques définies par OM=au+bv+cw.

📐 Formule — Pour A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB), on a $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.

💡 Astuce mémo

Base → repère → coordonnées → calculs

📖 14. Produit scalaire, déterminant et vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : L’unique vecteur K tel que, pour tout vecteur x, det(u,v,x)=K·x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base orthonormée, si u=(a,b,c), alors $\|u\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

📐 Formule — Si u=(a1,b1,c1) et v=(a2,b2,c2), alors $u\cdot v=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$.

📌 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

• Le déterminant de trois vecteurs est le déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées dans une base donnée.

📌 Trois vecteurs forment une base si et seulement si leur déterminant est non nul, tandis que la valeur absolue du déterminant donne le volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs.

📌 Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

Compléments

📐 Formule — Pour deux vecteurs non colinéaires, $\|u\wedge v\|=\|u\|\,\|v\|\sin((u,v))$, ce qui égale l’aire du parallélogramme construit sur u et v.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire : orthogonalité ; déterminant : volume et orientation ; produit vectoriel : normale et aire

📖 15. Équations et distances dans l’espace

★ À maîtriser

📌 Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, et ils sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

📌 Une droite de vecteur directeur u est parallèle à un plan de vecteur normal n si et seulement si u·n=0, et elle est perpendiculaire au plan si et seulement si u et n sont colinéaires.

📐 Formule — Un plan passant par A(xA,yA,zA), dirigé par u=(a,b,c) et v=(a′,b′,c′), admet la représentation paramétrique $x=x_A+as+a't,\ y=y_A+bs+b't,\ z=z_A+cs+c't$.

📐 Formule — Un plan de vecteur normal n=(a,b,c) passant par A vérifie $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$.

📐 Formule — La distance d’un point M(x0,y0,z0) au plan ax+by+cz+d=0 est $d(M,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

📐 Formule — Une droite passant par A(xA,yA,zA) et dirigée par u=(a,b,c) admet la représentation paramétrique $x=x_A+at,\ y=y_A+bt,\ z=z_A+ct$.

📐 Formule — La distance entre M et la droite passant par A et dirigée par u est $d(M,D)=\frac{\|\overrightarrow{AM}\wedge u\|}{\|u\|}$.

Compléments

📐 Formule — Si deux plans non parallèles ont pour vecteurs normaux n1 et n2, leur droite d’intersection a pour vecteur directeur $u=n_1\wedge n_2$.

💡 Astuce mémo

Paramétrer → éliminer → caractériser → mesurer

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des applications

Types de raisonnements