Fiche de révision : Le second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme de degré deux
2. Forme canonique et sommet
3. Variations d’une parabole
4. Discriminant et racines
5. Méthodes de factorisation
6. Résolution d’équations particulières

📖 1. Fonction polynôme de degré deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit, pour tout réel x, f(x) = ax² + bx + c avec des réels a, b et c tels que a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée fonction trinôme du second degré.

• Les formes développée, canonique ou factorisée peuvent représenter une même fonction polynôme de degré 2, comme 4(x − 2)² + 5 = 4x² − 16x + 21.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme de degré 2 f(x) = ax² + bx + c s’écrit sous la forme canonique f(x) = a(x − α)² + β, où α = −b/(2a) et β = f(α).

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour f(x) = ax² + bx + c, l’abscisse du sommet est $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta = f(\alpha) = -\frac{b^2-4ac}{4a}$.

Compléments

• La fonction f(x) = 3x² + 12x + 8 a pour forme canonique f(x) = 3(x + 2)² − 4.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 3. Variations d’une parabole

★ À maîtriser

📌 Si a > 0, la fonction est strictement décroissante sur ]−∞ ; α] puis strictement croissante sur [α ; +∞[, et elle admet un minimum β en α.

📌 Si a < 0, la fonction est strictement croissante sur ]−∞ ; α] puis strictement décroissante sur [α ; +∞[, et elle admet un maximum β en α.

• La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole dont l’axe de symétrie est la droite d’équation x = α et dont le sommet est le point de coordonnées (α ; β).

Compléments

• Pour f(x) = 4x² + 8x − 10, on obtient α = −1 et β = −14, et la parabole est orientée vers le haut.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’orientation, puis le minimum ou maximum

📖 4. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme ax² + bx + c = 0, avec a, b et c réels et a ≠ 0.
• Racines : Solutions de l’équation ax² + bx + c = 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant du trinôme ax² + bx + c est $\Delta = b^2 - 4ac$.

📌 Si Δ < 0, l’équation ax² + bx + c = 0 n’a aucune solution réelle ; si Δ = 0, elle a une racine double x₀ = −b/(2a) ; si Δ > 0, elle a deux solutions distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).

Compléments

• L’équation 3x² + 12x − 15 = 0 a un discriminant Δ = 324 et ses deux solutions sont −5 et 1.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : zéro racine ; Δ = 0 : une racine ; Δ > 0 : deux racines

📖 5. Méthodes de factorisation

★ À maîtriser

• 🔄 Les stratégies de factorisation sont: rechercher une racine évidente, détecter les racines par leur somme et leur produit, utiliser une identité remarquable, appliquer les formules générales

📌 La forme développée réduite, la forme canonique et la forme factorisée sont choisies selon le problème à résoudre, notamment une équation, une inéquation, une optimisation ou l’étude des variations.

Compléments

• Le trinôme 9x² − 12x + 4 se factorise en (3x − 2)² grâce à l’identité remarquable (a − b)².

📖 6. Résolution d’équations particulières

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation produit nul, on annule séparément chaque facteur puis on réunit les solutions obtenues.

Compléments

• L’équation 5x² + 13x = 0 se factorise en x(5x + 13) = 0 et a pour solutions 0 et −13/5.

• L’équation 3x² − 1 = 74 se ramène à x² = 25 et a pour solutions −5 et 5.

• L’équation (x + 1)² − 7 = 0 se résout sans développer en x = −1 − √7 ou x = −1 + √7.

• L’équation 9x² − 12x + 4 = 0 s’écrit (3x − 2)² = 0 et possède l’unique solution 2/3.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions