QCM : Algèbre 1 : logique et structures — 11 questions

Explication

Un axiome est accepté comme vrai sans démonstration dans le cadre considéré, alors qu’une assertion possède une valeur de vérité : elle est vraie ou fausse. L’idée qu’un axiome doit être démontré inverse sa définition.

Explication

Un axiome est un énoncé mathématique que l'on accepte comme vrai sans démonstration, servant de base à un système logique. Contrairement à une assertion, il n'a pas besoin d'être prouvé.

Explication

La conjonction exige que les deux assertions soient vraies, tandis que la disjonction est vraie dès qu’au moins l’une d’elles l’est. Confondre ces conditions revient à appliquer la règle de la disjonction à la conjonction.

Explication

Pour démontrer une proposition universelle, il faut choisir un élément arbitraire de l’ensemble et prouver que la propriété est vraie pour cet élément. La méthode ne consiste pas à utiliser un contre-exemple ou à appliquer une formule sans démonstration.

Explication

Par convention, la factorielle de zéro vaut $1$, alors que pour un entier positif, la factorielle est le produit des entiers de $1$ à cet entier. La valeur $0$ ne correspond donc pas à la convention factorielle.

Explication

Le coefficient binomial $C_n^k$ indique le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, ce qui est essentiel dans le développement du binôme de Newton. La réponse sur la somme des termes ou la racine carrée ne correspond pas à la fonction du coefficient binomial.

Explication

Le binôme de Newton s’écrit $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$, avec des puissances dont la somme vaut $n$. Commencer à $k=1$ omet le terme correspondant à $k=0$, tandis que l’écriture $C_k^n$ ne respecte pas le coefficient indiqué.

Explication

La notion de bijection a été initialement introduite pour comparer la taille des ensembles via leur cardinal, en établissant une correspondance biunivoque. La formalisation dans la théorie des ensembles a suivi pour préciser cette idée.

Explication

Une application peut ne pas être injective ni surjective, ce qui la différencie d'une bijection qui doit être à la fois injective et surjective. La bijection possède une application réciproque qui est aussi une bijection, ce qui n'est pas nécessairement le cas pour une application générale.

Explication

C'est à Jean-Robert Argand et à Leonhard Euler que l'on doit la représentation graphique des nombres complexes sous la forme $a+ib$. Gauss a également beaucoup contribué à leur étude, mais la formulation initiale est attribuée à Argand et Euler.

Explication

Les racines n-ièmes d’un nombre complexe permettent de trouver toutes les solutions d’une équation polynomiale, notamment en utilisant la formule $r^{1/n}e^{i(\theta/n+2k extpi/n)}$ pour k allant de 0 à n-1. La première option est correcte car elle reflète cette propriété, tandis que les autres options minimisent ou limitent leur utilité.