Flashcards : Algèbre générale et espaces vectoriels (96 cartes)

Que contient l’ensemble des parties de E, noté P(E) ?

Quels éléments appartiennent à l’intersection de A et B ?

Quels éléments appartiennent à la réunion de A et B ?

Quelles propriétés définissent une relation d’équivalence sur E ?

Comment définir la classe de x pour une relation d’équivalence R sur E ?

Que forment les classes d’une relation d’équivalence sur E ?

Quelles propriétés définissent une relation d’ordre ?

Qu’est-ce qu’une application de E vers F ?

Quelle implication caractérise l’injectivité de f : E → F ?

Qu’est-ce qu’une loi de composition interne sur E ?

Quelle condition définit la stabilité d’une partie non vide A pour $\ast$ ?

Quelle égalité définit l’associativité de $\ast$ ?

Quelle égalité définit la commutativité de $\ast$ ?

Quelle propriété caractérise un élément neutre a pour $\ast$ ?

Quelles propriétés définissent un groupe ?

Quelles conditions définissent un sous-groupe $H$ de $G$ ?

Comment caractérise-t-on le sous-groupe engendré par une partie A de G ?

Quand x et y sont-ils en relation R_H pour un sous-groupe H de G ?

Comment s’écrit la classe de Lagrange de $a$ associée à $H$ ?

Quelle formule relie les cardinaux de $G$, $H$ et $G/R_H$ ?

Quelle condition définit un sous-groupe distingué H de G ?

Que peut-on affirmer du noyau d’un homomorphisme f : G → F ?

Que garantit le caractère distingué de H dans G pour les relations associées ?

Que devient le quotient G/R_H lorsque H est distingué dans G ?

Comment caractériser les éléments d’un groupe cyclique engendré par $g$ ?

Quelle propriété algébrique possède tout groupe cyclique ?

Quelles structures définissent un anneau ?

Quels éléments sont inversibles dans un corps ?

Comment la relation définie par $a\,R\,b \iff -a+b\in I$ est-elle compatible ?

Quelle structure possède le quotient $A/I$ avec ses lois induites ?

Combien d’éléments possède $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ ?

Quand la classe de $a$ est-elle inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?

À quelle condition $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est-il un corps ?

Quelles propriétés un homomorphisme d’anneaux unitaires conserve-t-il ?

Quand une suite est-elle à support fini ?

Comment définit-on le produit de convolution de deux suites à support fini ?

Quelle forme générale définit un polynôme en $X$ à coefficients dans $K$ ?

Quel est le coefficient de $X^k$ dans le produit de deux polynômes ?

Comment définit-on le degré d’un polynôme non nul ?

Quelle formule donne le degré du produit de deux polynômes non nuls ?

Quels polynômes sont inversibles dans $K[X]$ ?

Quelle inégalité vérifie le reste de la division euclidienne par $Q\ne0$ ?

Quand $\alpha\in K$ est-elle une racine de $P\in K[X]$ ?

À quelle condition $\alpha$ est-elle racine de $P$ en termes de divisibilité ?

Quelle est la dérivée formelle de $P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$ ?

Qu’est-ce qu’une fraction rationnelle en $X$ ?

Quelle structure algébrique est $K(X)$ pour les opérations usuelles ?

Qu’est-ce qu’un ensemble ?

Comment définir un ensemble en extension ?

Quels éléments appartiennent au complémentaire de A dans E ?

À quoi est égale la différence symétrique de A avec lui-même ?

Comment note-t-on que deux éléments sont liés par une relation binaire R sur E ?

Que désigne l’ensemble quotient E/R ?

Quelle implication définit l’antisymétrie d’une relation R ?

Que fait l’application identité IdE à chaque élément de E ?

Quelles valeurs prend l’application caractéristique de A sur A et E\A ?

Combien de solutions f(x)=y une application injective peut-elle avoir dans E ?

Comment définit-on l’image directe f(A) d’un sous-ensemble A de E ?

Comment définit-on l’image réciproque f⁻¹(B) d’un sous-ensemble B de F ?

Comment définit-on un symétrique x′ de x pour $\ast$ ?

Combien de symétriques un élément possède-t-il au plus pour une loi associative avec neutre ?

Quel est le cardinal du groupe symétrique $S_n$ ?

Quelle loi définit le groupe des bijections de $A$ dans lui-même ?

Comment la loi du produit cartésien de deux groupes agit-elle ?

Quels sont les deux sous-groupes triviaux de $G$ ?

Quelle forme prend tout sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ ?

Quel sous-groupe est engendré par l’ensemble vide dans G ?

Pourquoi 2ℤ ∪ 3ℤ n’est-il pas un sous-groupe de ℤ ?

Combien de classes possède R_G, la relation de Lagrange associée à G ?

Quels sous-groupes sont distingués dans tout groupe G ?

Quelles classes composent $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ dans l’exemple où $H=4\mathbb{Z}$ ?

Quels groupes de la forme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sont cycliques ?

Quel groupe complexe formé de racines de l’unité est cyclique ?

Que peut-on conclure de deux sous-groupes d’un groupe cyclique de même cardinal ?

Si $q$ divise l’ordre d’un groupe cyclique $G$, combien de sous-groupes de cardinal $q$ possède-t-il ?

Qu’est-ce qui caractérise un anneau commutatif ?

Comment se comporte l’ensemble des éléments inversibles d’un anneau unitaire ?

Quels anneaux usuels sont commutatifs et unitaires ?

Quand un anneau est-il intègre selon la stabilité de ses éléments non nuls ?

Comment définit-on le support d’une suite $u$ à valeurs dans $K$ ?

Quel est le support de $\lambda u$ si $\lambda\neq 0$ ?

Quelle inclusion vérifie le support de la somme de suites $u$ et $v$ ?

Quelle structure algébrique forme $K^{(\mathbb{N})}$ avec l’addition et le produit de convolution ?

Dans un polynôme, que représente $a_0$ ?

À quelle condition un polynôme non nul est-il unitaire ?

Comment caractériser l’égalité de deux polynômes ?

Comment additionne-t-on les polynômes de degrés correspondants ?

Comment définit-on la valuation d’un polynôme non nul ?

Quelle contrainte vérifie le quotient lorsque $\operatorname{val}(Q)=0$ dans la division par $X^n$ ?

Quelle formule donne la dérivée du produit $PQ$ ?

Quelles conditions définissent une racine d’ordre $m$ de $P$ en $\alpha$ ?

Quelle condition équivaut à l’égalité de $P/Q$ et $S/R$ ?

À quelles fractions rationnelles les polynômes s’identifient-ils ?

Comment calcule-t-on le degré d’une fraction rationnelle non nulle $P/Q$ ?

Qu’est-ce que la partie entière d’une fraction rationnelle $P/Q$ ?

Comment s’écrit le polynôme composé de P et Q si $P(X)=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ ?