Fiche de révision : Algèbre générale et espaces vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Opérations et cardinal des ensembles
2. Relations d’équivalence et d’ordre
3. Applications et propriétés
4. Lois de composition internes
5. Groupes et sous-groupes
6. Sous-groupes engendrés et classes de Lagrange
7. Sous-groupes distingués et groupes quotients
8. Groupes cycliques
9. Anneaux et idéaux
10. Anneaux quotients et morphismes
11. Suites à support fini
12. Polynômes et opérations
13. Degré et divisions des polynômes
14. Racines et dérivées polynomiales
15. Fractions rationnelles

📖 1. Opérations et cardinal des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties : Ensemble qui contient tous les sous-ensembles de E.
• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles.
• Partition : Les parties A₁,…,Aₙ forment une partition de E si elles sont non vides, deux à deux disjointes et si leur réunion est E.
• Cardinal : Nombre d’éléments d’un ensemble fini E.
• Ensemble : Collection d’objets appelés ses éléments, et il est désigné par une lettre majuscule.
• Complémentaire : Ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Différence symétrique : La différence symétrique de A et B, notée A △ B, est l’ensemble (A\B) ∪ (B\A), et A △ A = ∅.
• Produit cartésien : Le produit cartésien A × B est l’ensemble des couples (a,b) tels que a ∈ A et b ∈ B, et A × B n’est généralement pas égal à B × A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux parties finies A et B, $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)$ ; si elles sont disjointes, $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)$.

Compléments

📌 Un ensemble peut être défini en extension en listant ses éléments, ou en compréhension en décrivant mathématiquement ses éléments.

📐 Formule - Pour des ensembles finis A₁,…,Aₚ, $\operatorname{card}(A_1\times\cdots\times A_p)=\prod_{i=1}^{p}\operatorname{card}(A_i)$ ; si tous les facteurs sont égaux à A, $\operatorname{card}(A^p)=\operatorname{card}(A)^p$.

📖 2. Relations d’équivalence et d’ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’équivalence : Une relation d’équivalence sur E est une relation binaire qui est réflexive, symétrique et transitive.
• Classe d’équivalence : Pour une relation d’équivalence R sur E, la classe de x est l’ensemble des y ∈ E tels que xRy.
• Relation d’ordre : Une relation d’ordre est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive.
• Relation binaire : Une relation binaire R sur E associe des éléments de E et se note xRy lorsqu’un élément x est en relation avec un élément y.
• Ensemble quotient : Ensemble des classes d’équivalence de R sur E.
• Relation antisymétrique : Une relation R est antisymétrique si, pour tous x et y, xRy et yRx impliquent x = y.
• Majorant : Dans un ensemble ordonné, y est un majorant de A si tout élément x de A vérifie xRy.
• Borne supérieure : La borne supérieure de A est le plus petit élément de l’ensemble de ses majorants, lorsqu’il existe.
• Borne inférieure : La borne inférieure de A est le plus grand élément de l’ensemble de ses minorants, lorsqu’il existe.
• Minorant : Dans un ensemble ordonné, y est un minorant de A si yRx pour tout élément x de A.

📝 Points essentiels

• Les classes d’une relation d’équivalence sur E forment une partition de E.

📖 3. Applications et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application de E vers F est une fonction dont l’ensemble de définition est tout E, de sorte que chaque élément de E possède exactement une image dans F.
• Injection : Une application f : E → F est injective si f(x)=f(y) implique x=y pour tous x,y ∈ E.
• Surjection : Une application f : E → F est surjective si son image f(E) est égale à F.
• Bijection : Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si chaque y ∈ F possède une unique antécédent dans E.
• Application composée : Si f : E → F et g : F → G, leur composée g∘f : E → G est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Application identité : L’application identité de E, notée IdE, associe à chaque x ∈ E l’élément x.
• Application caractéristique : L’application caractéristique de A ⊆ E associe 1 à tout x ∈ A et 0 à tout x ∈ E\A.
• Image directe : L’image directe de A ⊆ E par f est f(A)={f(x):x∈A}, et l’image directe de E est notée Im(f).
• Image réciproque : L’image réciproque de B ⊆ F par f est f⁻¹(B)={x∈E:f(x)∈B}.
• Bijection réciproque : Si f : E → F est bijective, sa réciproque f⁻¹ vérifie f⁻¹∘f=IdE et f∘f⁻¹=IdF.

📝 Points essentiels

• Une application f : E → F est injective si et seulement si, pour tout y ∈ F, l’équation f(x)=y admet au plus une solution dans E.

• Une application f : E → F est surjective si et seulement si, pour tout y ∈ F, l’équation f(x)=y admet au moins une solution dans E.

• La composition des applications est associative : h∘(g∘f)=(h∘g)∘f lorsque les applications sont composables.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus une solution ; surjective : au moins une.

📖 4. Lois de composition internes

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de composition interne : Une loi de composition interne sur E est une application de E×E dans E.
• Partie stable : Une partie non vide A de E est stable pour une loi ∗ si a∗b appartient à A pour tous a,b∈A.
• Loi associative : Une loi ∗ est associative si x∗(y∗z)=(x∗y)∗z pour tous x,y,z∈E.
• Loi commutative : Une loi ∗ est commutative si x∗y=y∗x pour tous x,y∈E.
• Élément neutre : Un élément a∈E est neutre pour ∗ si x∗a=a∗x=x pour tout x∈E, et cet élément est unique lorsqu’il existe.
• Homomorphisme : Une application f entre des ensembles munis des lois ∗ et
• est un homomorphisme si f(x∗x′)=f(x)
• f(x′) pour tous x,x′.
• Élément symétrique : Si a est l’élément neutre, un symétrique de x est un élément x′ tel que x∗x′=x′∗x=a.

📝 Points essentiels

• Pour une loi associative munie d’un élément neutre, tout élément possède au plus un symétrique.

📐 Formule - Si x et y sont inversibles pour une loi associative, $(x∗y)^{-1}=y^{-1}∗x^{-1}$ et $(x^n)^{-1}=(x^{-1})^n$ pour n∈N* lorsque x est inversible.

• Les homomorphismes particuliers sont : un homomorphisme injectif, appelé monomorphisme, un homomorphisme surjectif, appelé épimorphisme, un homomorphisme bijectif, appelé isomorphisme, un homomorphisme d’une structure dans elle-même, appelé endomorphisme

• La composée de deux homomorphismes est un homomorphisme, et la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.

📖 5. Groupes et sous-groupes

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe : Un groupe est un ensemble non vide muni d’une loi associative, possédant un élément neutre et dans lequel tout élément admet un symétrique ; il est abélien si la loi est commutative.
• Sous-groupe : Une partie H d’un groupe G est un sous-groupe si elle contient l’élément neutre, est stable par la loi et contient l’inverse de chacun de ses éléments.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a,b∈Z de pgcd d>0, il existe u,v∈Z tels que $au+bv=d$ ; a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe u,v∈Z tels que $au+bv=1$.

Compléments

• L’ensemble des permutations de n éléments, noté Sn, est un groupe pour la composition et son cardinal est n!.

• La partie des bijections d’un ensemble A dans lui-même est un groupe pour la composition, généralement non abélien.

• Le produit cartésien de deux groupes est un groupe pour la loi définie composante par composante.

• Le groupe G et le sous-groupe réduit à son élément neutre sont les deux sous-groupes triviaux de G.

• Tout sous-groupe H de (Z,+) est de la forme aZ pour un entier a∈N.

• L’intersection de deux sous-groupes d’un même groupe est un sous-groupe, et cette propriété vaut aussi pour l’intersection de toute famille de sous-groupes.

📖 6. Sous-groupes engendrés et classes de Lagrange

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-groupe engendré : L’intersection de tous les sous-groupes de G contenant A et le plus petit sous-groupe, pour l’inclusion, contenant A.
• Relation de Lagrange : La relation de Lagrange associée à un sous-groupe H de G est définie par x R_H y si et seulement si x^{-1} ∗ y ∈ H.

★ À maîtriser

• La classe de a pour la relation de Lagrange associée à H est aH = {a ∗ h : h ∈ H}, et l’application h ↦ a ∗ h établit une bijection entre H et aH.

📐 Formule - Pour un groupe fini G et un sous-groupe H, $\operatorname{Card}(G)=\operatorname{Card}(H)\,\operatorname{Card}(G/R_H)$.

Compléments

• Le sous-groupe engendré par l’ensemble vide est {e}, tandis que celui engendré par {x} est {x^n, n ∈ Z}.

• La réunion de deux sous-groupes d’un même groupe n’est généralement pas un sous-groupe ; par exemple, 2Z ∪ 3Z n’est pas un sous-groupe de Z.

• Pour H = G, la relation de Lagrange a une seule classe d’équivalence, G ; pour H = {e}, chaque élément de G forme une classe distincte.

📌 La relation R'_H définie par x R'_H y si x ∗ y^{-1} ∈ H a pour classe de a l’ensemble Ha, qui n’est généralement pas égal à aH.

📖 7. Sous-groupes distingués et groupes quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-groupe distingué : Si, pour tout x ∈ G et tout h ∈ H, x ∗ h ∗ x^{-1} appartient à H.
• Groupe quotient : Si H est un sous-groupe distingué de G, le quotient G/R_H, noté G/H, muni de la loi induite par celle de G, est un groupe appelé groupe quotient.

★ À maîtriser

• Pour un homomorphisme de groupes f : G → F, le noyau f^{-1}({ϵ}) est un sous-groupe distingué de G et l’image de f est un sous-groupe de F.

• Si H est distingué dans G, les relations R_H et R'_H coïncident et sont compatibles avec la loi du groupe.

Compléments

• Les sous-groupes {e} et G sont distingués, et tout sous-groupe d’un groupe abélien est distingué.

• Pour G = Z et H = 4Z, le groupe quotient Z/4Z muni de l’addition comporte les classes 0, 1, 2 et 3, avec l’addition modulo 4.

📖 8. Groupes cycliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe cyclique : Un groupe fini engendré par un élément g, dont les éléments sont les puissances g^k pour k ∈ N.

★ À maîtriser

• Tout groupe cyclique est abélien et tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

Compléments

• Les groupes Z/pZ pour p naturel non nul et les groupes des racines n-ièmes de l’unité dans C sont des exemples de groupes cycliques.

• Deux sous-groupes d’un groupe cyclique ayant le même cardinal sont égaux.

📌 Si un entier naturel q divise le cardinal d’un groupe cyclique G, alors G possède un unique sous-groupe de cardinal q.

📖 9. Anneaux et idéaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau : Un ensemble non vide muni d’une addition qui en fait un groupe abélien et d’une multiplication associative distributive à gauche et à droite sur l’addition.
• Corps : Un anneau unitaire A est un corps lorsque ses éléments inversibles sont exactement les éléments de A distincts de 0.
• Sous-anneau : Une partie B d’un anneau commutatif unitaire A est un sous-anneau si elle est un sous-groupe de (A,+), contient 1_A et est stable par multiplication.
• Idéal : Une partie B d’un anneau A est un idéal si elle est un sous-groupe de (A,+) et si ab ∈ B pour tout a ∈ A et b ∈ B.
• Anneau intègre : Lorsque A{0_A} est stable pour le produit.

📝 Points essentiels

📌 Un anneau est commutatif si sa multiplication est commutative, et unitaire si sa multiplication possède un élément neutre.

• Dans un anneau unitaire A, l’ensemble U(A) des éléments inversibles est stable par multiplication et forme un groupe multiplicatif.

• Les anneaux Z, Q, R et C munis de l’addition et de la multiplication usuelles sont commutatifs et unitaires.

• Dans Z, tous les idéaux sont de la forme nZ pour n ∈ N, et les idéaux {0_A} et A sont triviaux.

📖 10. Anneaux quotients et morphismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Homomorphisme d’anneaux : Un homomorphisme d’anneaux f : A → B entre anneaux unitaires conserve l’addition, la multiplication et l’unité : f(a+a')=f(a)+f(a'), f(aa')=f(a)f(a') et f(1_A)=1_B.
• Noyau d’un homomorphisme d’anneaux : L’ensemble ker(f)={a ∈ A : f(a)=0_B}.

★ À maîtriser

• Si I est un idéal d’un anneau commutatif A, la relation a R b définie par −a+b ∈ I est compatible avec l’addition et la multiplication.

• Le quotient A/I muni des lois induites par l’addition et la multiplication est un anneau commutatif unitaire.

• Pour n ∈ N*, l’anneau Z/nZ possède exactement n éléments, représentés par les classes 0, 1, …, n−1.

📌 Dans Z/nZ, la classe de a est inversible si et seulement si pgcd(a,n)=1.

📌 L’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.

Compléments

• Le noyau d’un homomorphisme d’anneaux est un idéal de A, son image est un sous-anneau de B, et la composée de deux homomorphismes d’anneaux est un homomorphisme d’anneaux.

📖 11. Suites à support fini

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite à support fini : Lorsque son support contient un nombre fini d’indices, ce qui équivaut à l’existence de n_0 ∈ N tel que u_n=0 pour tout n ≥ n_0.
• Produit de convolution : Pour des suites u et v à support fini, leur produit uv est la suite c définie par c_n=∑{k=0}^{n}u_kv{n-k}.
• Support d’une suite : L’ensemble des indices n ∈ N tels que u_n ≠ 0.

📝 Points essentiels

• Pour λ ≠ 0, supp(λu)=supp(u), tandis que supp(0u)=∅.

• Le support d’une somme de suites vérifie supp(u+v) ⊆ supp(u) ∪ supp(v).

• L’ensemble K^(N) des suites à support fini muni de l’addition et du produit de convolution est un anneau commutatif et une K-algèbre.

📖 12. Polynômes et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Une expression formelle a_0+a_1X+⋯+a_nX^n, où n ∈ N et a_i ∈ K.
• Coefficient dominant : Le coefficient de son terme de plus haut degré ; le polynôme est unitaire si ce coefficient vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le produit de deux polynômes P=∑a_iX^i et Q=∑b_iX^i a pour coefficient de X^k la somme $c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j$.

• L’anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps K est intègre.

Compléments

• Dans un polynôme, a_0 est le terme constant, X l’indéterminée et a_iX^i un monôme de degré i et de coefficient a_i.

• Deux polynômes sont égaux si leurs degrés sont égaux et si leurs coefficients correspondants sont égaux.

• L’addition des polynômes additionne les coefficients de même degré, et la multiplication par λ ∈ K multiplie chacun des coefficients par λ.

📖 13. Degré et divisions des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’un polynôme : Le plus grand indice dont le coefficient est non nul ; le degré du polynôme nul est −∞.
• Valuation d’un polynôme : Le plus petit indice dont le coefficient est non nul ; la valuation du polynôme nul est +∞.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour P,Q non nuls, $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$ et $\operatorname{val}(PQ)=\operatorname{val}(P)+\operatorname{val}(Q)$ ; de plus, $\deg(P+Q)\leq\max(\deg(P),\deg(Q))$ et $\operatorname{val}(P+Q)\geq\min(\operatorname{val}(P),\operatorname{val}(Q))$.

• Les seuls polynômes inversibles dans K[X] sont les polynômes constants non nuls.

📌 Pour Q ≠ 0, il existe un unique couple (S,R) tel que P=SQ+R et deg(R)<deg(Q) ; S est le quotient et R le reste de la division euclidienne.

Compléments

📌 Si val(Q)=0 et n ∈ N, il existe un unique couple (S,R) tel que P=SQ+X^nR et deg(S)<n.

• Tout polynôme non constant de K[X] se factorise de manière unique en produit de polynômes irréductibles.

📖 14. Racines et dérivées polynomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un élément α ∈ K est une racine de P ∈ K[X] si P(α)=0.
• Dérivée formelle : La dérivée formelle de P(X)=a_0+a_1X+⋯+a_nX^n est P'(X)=a_1+2a_2X+⋯+na_nX^{n−1}.
• Polynôme composé : P(Q(X))=∑{i=0}^{n}a_i(Q(X))^i lorsque P(X)=∑{i=0}^{n}a_iX^i ; si P est non nul et Q est non constant, son degré est le produit de leurs degrés.
• Racine d’ordre m : α est une racine d’ordre m de P si P(α), P'(α), …, P^{(m−1)}(α) sont nuls et P^{(m)}(α) est non nul.

★ À maîtriser

📌 Un élément α ∈ K est racine de P si et seulement si X−α divise P.

• Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine complexe et se scinde sur C.

Compléments

📐 Formule - La dérivée d’un produit vérifie $(PQ)'=P'Q+PQ'$.

📌 α est une racine d’ordre m de P si et seulement si (X−α)^m divise P et (X−α)^{m+1} ne divise pas P.

• Les polynômes irréductibles de R[X] sont de degré 1 ou de degré 2 avec un discriminant strictement négatif.

📖 15. Fractions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction rationnelle : Un quotient P(X)/Q(X) de polynômes de K[X], avec Q(X) non nul.
• Partie entière : L’unique polynôme tel que P/Q=E+S/R, avec deg(S/R)<0.

★ À maîtriser

• Avec l’addition et la multiplication usuelles des fractions, K(X) est un corps et K[X] en est un sous-anneau.

Compléments

📌 Deux fractions P/Q et S/R sont égales si et seulement si PR=QS dans K[X].

• Les polynômes s’identifient aux fractions rationnelles de dénominateur 1, donc K[X] est inclus dans K(X).

📐 Formule - Le degré d’une fraction rationnelle non nulle P/Q est $\deg(P/Q)=\deg(P)-\deg(Q)$.

• La décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle est unique et dépend de la factorisation irréductible de son dénominateur.