QCM : Algèbre générale et espaces vectoriels (32 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les ensembles et leurs parties :

Une lettre minuscule désigne conventionnellement un élément d’un ensemble.
Un ensemble est une collection d’objets appelés ses éléments.
Une lettre majuscule sert à désigner un ensemble.
L’ensemble des parties de E rassemble tous les sous-ensembles de E.
La partie vide figure parmi les éléments de l’ensemble des parties de E.

Une lettre minuscule désigne conventionnellement un élément d’un ensemble. · Un ensemble est une collection d’objets appelés ses éléments. · Une lettre majuscule sert à désigner un ensemble. · L’ensemble des parties de E rassemble tous les sous-ensembles de E. · La partie vide figure parmi les éléments de l’ensemble des parties de E.

Explication

L’ensemble des parties contient bien chaque sous-ensemble de E, notamment la partie vide. Un ensemble est une collection d’éléments et se désigne par une majuscule ; les éléments sont conventionnellement désignés par des minuscules.

2. Soient E={1,2,3,4,5}E=\{1,2,3,4,5\}, A={1,2,4}A=\{1,2,4\} et B={2,3,4}B=\{2,3,4\}. Concernant les opérations sur ces ensembles, cochez les propositions exactes :

L’intersection de A et B contient les éléments 1 et 3.
L’intersection de A et B contient les éléments 2 et 4.
La réunion de A et B contient les éléments 2, 4 et 5.
Le complémentaire de A dans E est l’ensemble {1,3,5}\{1,3,5\}.
La réunion de A et B contient les éléments 1, 2, 3 et 4.

L’intersection de A et B contient les éléments 2 et 4. · La réunion de A et B contient les éléments 1, 2, 3 et 4.

Explication

L’intersection réunit les éléments communs, ici 2 et 4, tandis que la réunion rassemble les éléments présents dans au moins un ensemble, ici 1, 2, 3 et 4. Le complémentaire de A dans E est {3,5}\{3,5\} ; 1 appartient à A, et 5 n’appartient à aucune des deux parties, ce qui rend également fausse la proposition sur la réunion.

3. Concernant les partitions, les différences symétriques et les produits cartésiens :

Le produit cartésien A × B est constitué de couples dont la première coordonnée appartient à A.
La différence symétrique de deux ensembles conserve les éléments appartenant à un seul des deux.
Les éléments du produit cartésien A × B sont des triplets dont la première coordonnée appartient à B.
Une partition de E peut comporter une partie vide si les autres parties couvrent E.
Une partition de E est constituée de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion vaut E.

Le produit cartésien A × B est constitué de couples dont la première coordonnée appartient à A. · La différence symétrique de deux ensembles conserve les éléments appartenant à un seul des deux. · Une partition de E est constituée de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion vaut E.

Explication

Une partition exige des parties non vides, disjointes deux à deux, dont la réunion est E. La différence symétrique retient les éléments présents dans un seul des deux ensembles. Les éléments de A × B sont des couples, et leur première coordonnée appartient à A. Une partie vide contrevient à la définition de partition.

4. Deux parties finies A et B ont respectivement 8 et 6 éléments, dont 3 éléments communs. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) concernant leurs cardinaux ?

Si A et B étaient disjointes avec ces cardinaux, leur réunion compterait 14 éléments.
Le cardinal d’un ensemble fini correspond au nombre de ses éléments.
Le cardinal de leur réunion est 14, sans tenir compte de leur intersection.
Le cardinal de A × B vaut 14, en additionnant les cardinaux des facteurs.
Le cardinal de leur réunion est 11, après soustraction du cardinal commun.

Si A et B étaient disjointes avec ces cardinaux, leur réunion compterait 14 éléments. · Le cardinal d’un ensemble fini correspond au nombre de ses éléments. · Le cardinal de leur réunion est 11, après soustraction du cardinal commun.

Explication

La formule d’inclusion-exclusion donne 8+6−3=118+6-3=11 éléments dans la réunion ; le cardinal désigne bien le nombre d’éléments. Pour des parties disjointes, les cardinaux s’additionnent, ce qui donnerait 8+6=148+6=14. La réunion actuelle n’a pas 14 éléments, et le cardinal du produit cartésien se calcule par multiplication, soit 8×6=488\times6=48.

5. À propos des classes d’équivalence, des ensembles quotients et de l’antisymétrie :

L’ensemble quotient E/R rassemble les classes d’équivalence de R sur E.
Les classes d’une relation d’équivalence forment une réunion qui peut omettre des éléments de E.
L’ensemble quotient E/R rassemble les éléments de E qui ne sont dans aucune classe.
Les classes d’une relation d’équivalence forment une partition de l’ensemble de départ.
L’antisymétrie exige que xRy et yRx impliquent que x et y soient distincts.

L’ensemble quotient E/R rassemble les classes d’équivalence de R sur E. · Les classes d’une relation d’équivalence forment une partition de l’ensemble de départ.

Explication

Les classes d’équivalence forment une partition de E, et E/R est l’ensemble de ces classes. L’antisymétrie impose au contraire x=y lorsque xRy et yRx ; une partition couvre E, et le quotient est formé de classes, non d’éléments omis de celles-ci.

6. Dans un ensemble ordonné par la relation ≤\leq, on considère A={2,4}A=\{2,4\}. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La relation ≤\leq est un ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
La borne supérieure de A est le plus grand élément de l’ensemble de ses minorants.
Le nombre 3 est un majorant de A, puisque certains éléments de A lui sont inférieurs.
Le nombre 5 est un majorant de A, car chaque élément de A lui est supérieur ou égal.
La borne supérieure de A est le plus petit élément de A, dès qu'A possède un maximum.

La relation $$\leq$$ est un ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Explication

Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive. Un majorant doit être supérieur ou égal à chaque élément de A : 3 échoue pour 4, tandis que 5 satisfait cette condition, mais la proposition le décrit à l’envers. La borne supérieure est le plus petit des majorants ; ici elle vaut 4, qui est aussi le maximum de A.

7. Concernant les minorants et la borne inférieure d’un ensemble ordonné :

La borne inférieure, lorsqu’elle existe, est le plus grand élément de l’ensemble des minorants.
Un élément y est minorant de A lorsqu’il est inférieur ou égal à chacun des éléments de A.
La borne inférieure n’appartient pas nécessairement à A, contrairement au minimum.
La borne inférieure est le plus petit des minorants de A lorsqu’elle existe.
Un minorant de A doit appartenir à A et être inférieur ou égal à tous ses éléments.

La borne inférieure, lorsqu’elle existe, est le plus grand élément de l’ensemble des minorants. · Un élément y est minorant de A lorsqu’il est inférieur ou égal à chacun des éléments de A. · La borne inférieure n’appartient pas nécessairement à A, contrairement au minimum.

Explication

Un minorant vérifie yRx pour tout x de A, et la borne inférieure est le plus grand de ces minorants. Elle peut être extérieure à A, tandis qu’un minimum doit appartenir à A ; ce n’est pas le plus petit minorant.

8. Soit f:E→F, A⊆E et B⊆F. Parmi les propositions suivantes concernant les images directe et réciproque, lesquelles sont exactes ?

L’image directe f(A) rassemble les images f(x) lorsque x parcourt A.
L’image réciproque f⁻¹(B) est l’ensemble des images des éléments de B par f.
L’injectivité garantit au moins une solution dans E à f(x)=y pour chaque y de F.
Si f(x)=y admet au plus une solution pour chaque y de F, alors f est injective.
L’image directe de E est notée f⁻¹(E) et constitue l’image de f.

L’image directe f(A) rassemble les images f(x) lorsque x parcourt A. · Si f(x)=y admet au plus une solution pour chaque y de F, alors f est injective.

Explication

L’injectivité équivaut à avoir au plus une solution pour chaque équation f(x)=y, et f(A) est l’ensemble des images des éléments de A. L’image réciproque sélectionne des éléments de E dont l’image appartient à B ; l’existence d’une solution relève de la surjectivité, et l’image de f se note Im(f).

9. Soient f:E→F, g:F→G et h:G→K des applications composables. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour une bijection f:E→F, f∘f⁻¹ est l’identité sur E.
Si f est bijective, f⁻¹∘f est l’identité sur E.
La composition est associative, donc h∘(g∘f)=(h∘g)∘f.
La composée f∘g va de E vers G lorsqu’elle est définie.
La composée g∘f va de E vers G et associe à x la valeur g(f(x)).

Si f est bijective, f⁻¹∘f est l’identité sur E. · La composition est associative, donc h∘(g∘f)=(h∘g)∘f. · La composée g∘f va de E vers G et associe à x la valeur g(f(x)).

Explication

La composée g∘f applique d’abord f puis g, et va de E vers G ; la composition des applications est associative. Pour une bijection, f⁻¹∘f=IdE et f∘f⁻¹=IdF. La composée f∘g, lorsqu’elle est définie, va de G vers E, et non de E vers G.

10. Sur un ensemble E, on considère une loi ∗ et une partie non vide A⊆E. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

La stabilité de A requiert seulement qu'a∗a appartienne à A pour chaque a∈A.
La stabilité de A signifie qu'a∗b appartient à A pour tous a,b∈A.
L’associativité impose x∗(y∗z)=(x∗y)∗z pour tous x,y,z∈E.
Si A est stable, la loi ∗ restreinte à A définit une opération interne sur A.
Une loi interne ∗ associe à chaque couple d’éléments de E un élément de E.

La stabilité de A signifie qu'a∗b appartient à A pour tous a,b∈A. · L’associativité impose x∗(y∗z)=(x∗y)∗z pour tous x,y,z∈E. · Si A est stable, la loi ∗ restreinte à A définit une opération interne sur A. · Une loi interne ∗ associe à chaque couple d’éléments de E un élément de E.

Explication

Une loi interne est une application de E×E dans E. La stabilité exige que tout produit de deux éléments de A reste dans A, ce qui permet de restreindre la loi à A ; l’associativité est l’égalité indiquée. Tester seulement les produits a∗a ne suffit pas à établir la stabilité.

11. Un ensemble de permutations est muni de la composition. À propos des groupes de permutations et de la notion de groupe, quelles propositions sont exactes ?

La loi de composition sur les bijections d’un ensemble dans lui-même est généralement abélienne.
Le groupe des permutations de nn éléments a pour cardinal n!n!.
Un groupe abélien se caractérise par une loi associative qui n’est pas commutative.
Un groupe doit posséder une loi associative, un neutre et des symétriques pour ses éléments.
L’ensemble des permutations de nn éléments a pour cardinal 2n2n.

Le groupe des permutations de $$n$$ éléments a pour cardinal $$n!$$. · Un groupe doit posséder une loi associative, un neutre et des symétriques pour ses éléments.

Explication

La définition d’un groupe exige l’associativité, un élément neutre et un symétrique pour chaque élément ; l’abelianité ajoute la commutativité. Le groupe symétrique SnS_n a n!n! éléments, et la composition des bijections est généralement non commutative.

12. Soient deux groupes munis de lois internes, et une partie HH du premier groupe. Concernant les sous-groupes et les produits de groupes :

Une partie HH est un sous-groupe si elle contient le neutre et est stable, même sans les inverses.
Pour être un sous-groupe, HH contient le neutre, est stable et contient les inverses de ses éléments.
Les deux sous-groupes triviaux sont le groupe entier et le groupe privé de son neutre.
Le produit de deux groupes est un groupe lorsque la loi agit uniquement sur la première composante.
Le produit de deux groupes est un groupe lorsque la loi agit composante par composante.

Pour être un sous-groupe, $$H$$ contient le neutre, est stable et contient les inverses de ses éléments. · Le produit de deux groupes est un groupe lorsque la loi agit composante par composante.

Explication

Un sous-groupe contient le neutre, est stable par la loi et contient les inverses de ses éléments. Le produit cartésien de deux groupes est un groupe avec la loi composante par composante ; les sous-groupes triviaux sont le groupe entier et celui réduit au neutre.

13. Soit un groupe G et un sous-groupe H ; quelle description des classes de Lagrange est exacte ?

Pour a fixé, chaque élément de la classe aH s’écrit sous la forme a ∗ h, avec h ∈ H.
L’application h ↦ a ∗ h établit une bijection de H sur aH.
Lorsque H = {e}, tous les éléments de G appartiennent à une même classe.
L’application h ↦ h ∗ a établit la bijection entre H et la classe aH.
Lorsque H = G, la relation de Lagrange regroupe tous les éléments dans une classe unique.

Pour a fixé, chaque élément de la classe aH s’écrit sous la forme a ∗ h, avec h ∈ H. · L’application h ↦ a ∗ h établit une bijection de H sur aH. · Lorsque H = G, la relation de Lagrange regroupe tous les éléments dans une classe unique.

Explication

La classe de a est aH = {a ∗ h : h ∈ H}, et la multiplication à gauche par a donne une bijection de H sur cette classe. Pour H = G, il n’y a qu’une classe, tandis que H = {e} donne une classe par élément ; l’application h ↦ h ∗ a ne décrit pas la bijection indiquée vers aH.

14. Dans un groupe G, quelle condition caractérise un sous-groupe H distingué ?

Dans un groupe abélien, chaque sous-groupe est distingué.
Il suffit que h ∗ x ∗ h⁻¹ appartienne à H pour tout h ∈ H et x ∈ G.
La condition de distinction exige que x ∗ h ∗ x⁻¹ appartienne à G, sans exiger son appartenance à H.
Pour tout x ∈ G et tout h ∈ H, le conjugué x ∗ h ∗ x⁻¹ appartient à H.
Les sous-groupes {e} et G sont distingués dans tout groupe.

Dans un groupe abélien, chaque sous-groupe est distingué. · Pour tout x ∈ G et tout h ∈ H, le conjugué x ∗ h ∗ x⁻¹ appartient à H. · Les sous-groupes {e} et G sont distingués dans tout groupe.

Explication

La distinction signifie que tout conjugué x ∗ h ∗ x⁻¹ reste dans H ; cette propriété est satisfaite par tout sous-groupe d’un groupe abélien. Les sous-groupes {e} et G sont distingués. L’ordre des facteurs dans la condition proposée comme alternative n’est pas la définition, et l’appartenance à G ne suffit pas à caractériser la distinction.

15. Soit f un homomorphisme de groupes ; quelles propriétés du noyau et des relations associées sont exactes ?

Le noyau de f est un sous-groupe du groupe d’arrivée.
Lorsque H est distingué, R_H est compatible avec la loi du groupe.
Le noyau de f est un sous-groupe distingué du groupe de départ.
Si H est distingué, les relations R_H et R'_H coïncident.
L’image de f est un sous-groupe distingué du groupe d’arrivée.

Lorsque H est distingué, R_H est compatible avec la loi du groupe. · Le noyau de f est un sous-groupe distingué du groupe de départ. · Si H est distingué, les relations R_H et R'_H coïncident.

Explication

Le noyau f⁻¹({ϵ}) est un sous-groupe distingué du groupe de départ, tandis que l’image est un sous-groupe du groupe d’arrivée, sans conclusion générale de distinction. Pour H distingué, R_H et R'_H coïncident et la relation est compatible avec la loi. Le noyau appartient au groupe de départ, et non au groupe d’arrivée.

16. Concernant le quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le quotient G/H désigne l’ensemble des classes de la relation R_H.
Le quotient G/H est défini comme un groupe pour tout sous-groupe H de G.
La loi induite sur G/H provient de la loi du groupe G.
Le quotient G/H reçoit une loi indépendante de celle de G.
La notation G/H désigne le noyau d’un homomorphisme de G.

Le quotient G/H désigne l’ensemble des classes de la relation R_H. · La loi induite sur G/H provient de la loi du groupe G.

Explication

Lorsque H est distingué, G/H est l’ensemble quotient G/R_H muni de la loi induite par celle de G ; cette structure est un groupe. Un sous-groupe quelconque ne suffit pas à définir ce groupe quotient, et G/H ne désigne pas un noyau.

17. Quelles propositions décrivent correctement les groupes cycliques ?

Un groupe cyclique peut être non abélien, même lorsqu’il est fini.
Les groupes des racines n-ièmes de l’unité dans ℂ ne sont pas cycliques.
Un groupe cyclique fini est engendré par un élément, dont les puissances forment le groupe.
Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.
Les groupes ℤ/pℤ, pour p naturel non nul, sont des exemples de groupes cycliques.

Un groupe cyclique fini est engendré par un élément, dont les puissances forment le groupe. · Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique. · Les groupes ℤ/pℤ, pour p naturel non nul, sont des exemples de groupes cycliques.

Explication

Un groupe cyclique fini est engendré par un élément, et ses éléments sont ses puissances ; tout sous-groupe d’un groupe cyclique est également cyclique. Les groupes ℤ/pℤ et les groupes des racines n-ièmes de l’unité sont des exemples cycliques. Tout groupe cyclique est abélien.

18. Concernant les sous-groupes d’un groupe cyclique :

Si 4 divise le cardinal d’un groupe cyclique, il possède un unique sous-groupe de cardinal 4.
Si 4 divise le cardinal d’un groupe cyclique, il possède plusieurs sous-groupes de cardinal 4.
Dans un groupe cyclique, deux sous-groupes de même cardinal sont nécessairement distincts.
Dans un groupe cyclique, deux sous-groupes de même cardinal sont égaux.
Dans un groupe cyclique, deux sous-groupes de cardinaux différents sont inclus l’un dans l’autre.

Si 4 divise le cardinal d’un groupe cyclique, il possède un unique sous-groupe de cardinal 4. · Dans un groupe cyclique, deux sous-groupes de même cardinal sont égaux.

Explication

Deux sous-groupes d’un groupe cyclique ayant le même cardinal sont égaux. Si 4 divise le cardinal du groupe considéré, il possède un unique sous-groupe de cardinal 4; cela ne garantit pas l’existence d’un sous-groupe de cardinal 3. Des sous-groupes de cardinaux consécutifs ou différents ne sont pas nécessairement inclus l’un dans l’autre.

19. Parmi les propositions suivantes concernant la structure d’anneau, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La commutativité d’un anneau signifie que sa multiplication possède un élément neutre.
La multiplication est commutative dans tout anneau, par définition de cette structure.
L’addition forme un groupe abélien et la multiplication est associative et distributive.
Un anneau unitaire possède un élément neutre pour l’addition plutôt que pour la multiplication.
Les éléments inversibles d’un anneau unitaire forment un groupe additif stable par addition.

L’addition forme un groupe abélien et la multiplication est associative et distributive.

Explication

Un anneau possède une addition faisant de l’ensemble un groupe abélien, et une multiplication associative distributive. La commutativité concerne la multiplication, l’unité en est l’élément neutre, et les inversibles forment un groupe multiplicatif.

20. On considère les anneaux usuels sur Z,Q,R,C\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} et les matrices réelles carrées d’ordre 2. Quelles propositions sont exactes ?

L’anneau des matrices réelles carrées d’ordre 2 possède une structure non intègre.
Les anneaux usuels Z,Q,R,C\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} sont commutatifs mais dépourvus d’unité.
Dans un anneau intègre, le produit de deux éléments non nuls peut être nul.
Dans un anneau intègre, le produit de deux éléments non nuls reste non nul.
Les anneaux usuels Z,Q,R,C\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} sont commutatifs et unitaires.

L’anneau des matrices réelles carrées d’ordre 2 possède une structure non intègre. · Dans un anneau intègre, le produit de deux éléments non nuls reste non nul. · Les anneaux usuels $$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$$ sont commutatifs et unitaires.

Explication

Les quatre anneaux usuels cités sont commutatifs et unitaires. La stabilité des éléments non nuls par produit caractérise l’intégrité; les matrices réelles d’ordre 2 fournissent un exemple d’anneau non intègre.

21. Dans Z\mathbb{Z}, on examine une partie additive stable sous la multiplication par tout entier. Concernant les idéaux de cet anneau :

Tout idéal de Z\mathbb{Z} s’écrit sous la forme nZn\mathbb{Z} pour un entier naturel nn.
Tout idéal de Z\mathbb{Z} s’écrit sous la forme n+Zn+\mathbb{Z} pour un entier naturel nn.
Les idéaux {0}\{0\} et Z\mathbb{Z} sont les idéaux triviaux de Z\mathbb{Z}.
Un idéal de Z\mathbb{Z} doit contenir l’élément unité pour être un sous-groupe additif.
Un idéal est un sous-groupe additif stable par multiplication par tout élément de l’anneau.

Tout idéal de $$\mathbb{Z}$$ s’écrit sous la forme $$n\mathbb{Z}$$ pour un entier naturel $$n$$. · Les idéaux $$\{0\}$$ et $$\mathbb{Z}$$ sont les idéaux triviaux de $$\mathbb{Z}$$. · Un idéal est un sous-groupe additif stable par multiplication par tout élément de l’anneau.

Explication

Un idéal est un sous-groupe additif absorbant par multiplication par tout élément de l’anneau. Dans Z\mathbb{Z}, les idéaux sont les nZn\mathbb{Z}; les idéaux triviaux sont {0}\{0\} et Z\mathbb{Z}.

22. À propos de la construction de l’anneau quotient A/IA/I, quelles propositions sont exactes ?

La relation définie par aRbaRb si −a+b∈I-a+b\in I est compatible avec l’addition.
Lorsque AA est commutatif, le quotient A/IA/I est un anneau commutatif unitaire.
Le quotient A/IA/I hérite de lois induites par l’addition et la multiplication.
Le quotient A/IA/I muni des lois induites est un anneau commutatif dépourvu d’unité.
La relation définie par aRbaRb si −a+b∈J-a+b\in J, où JJ est un sous-groupe additif de AA, est compatible avec l’addition et la multiplication.

La relation définie par $$aRb$$ si $$-a+b\in I$$ est compatible avec l’addition. · Lorsque $$A$$ est commutatif, le quotient $$A/I$$ est un anneau commutatif unitaire. · Le quotient $$A/I$$ hérite de lois induites par l’addition et la multiplication.

Explication

La relation modulo un idéal est compatible avec l’addition et la multiplication, ce qui permet de définir les lois induites sur le quotient. Lorsque l’anneau de départ est commutatif, le quotient est un anneau commutatif unitaire. La condition d’idéal est essentielle pour assurer la compatibilité de la relation avec la multiplication.

23. Dans Z/12Z\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, on étudie les classes de résidus. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

La classe de 5 est inversible puisque pgcd⁡(5,12)=1\operatorname{pgcd}(5,12)=1.
L’anneau Z/12Z\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} possède exactement 11 classes distinctes.
La classe de 5 est inversible puisque pgcd⁡(5,12)=5\operatorname{pgcd}(5,12)=5.
L’anneau Z/12Z\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} possède exactement 12 classes distinctes.
La classe de 6 est inversible puisque pgcd⁡(6,12)=1\operatorname{pgcd}(6,12)=1.

La classe de 5 est inversible puisque $$\operatorname{pgcd}(5,12)=1$$. · L’anneau $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$ possède exactement 12 classes distinctes.

Explication

Le quotient modulo 12 possède exactement 12 classes, représentées par 0 à 11. Une classe est inversible si et seulement si son représentant est premier avec 12 : c’est le cas de 5, mais pas de 6.

24. Pour les anneaux quotients considérés, cochez les propositions exactes :

L’anneau Z/15Z\mathbb{Z}/15\mathbb{Z} est un corps, puisque 1515 est impair.
Un homomorphisme unitaire peut envoyer l’unité de départ sur un élément différent de l’unité d’arrivée.
L’anneau Z/13Z\mathbb{Z}/13\mathbb{Z} est un corps, car son module est premier.
L’anneau Z/11Z\mathbb{Z}/11\mathbb{Z} est un corps, car son module est premier.
Un homomorphisme unitaire envoie la somme de deux éléments sur la somme de leurs images.

L’anneau $$\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$$ est un corps, car son module est premier. · L’anneau $$\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$$ est un corps, car son module est premier. · Un homomorphisme unitaire envoie la somme de deux éléments sur la somme de leurs images.

Explication

Un quotient Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un corps si et seulement si nn est premier, donc les modules 1111 et 1313 conviennent, contrairement à 1515. Un homomorphisme unitaire conserve l’addition et envoie l’unité de départ sur celle d’arrivée.

25. Une suite s’annule à partir du rang 88 et une suite associée est obtenue en multipliant ses termes par un scalaire non nul. Concernant les suites à support fini :

La première suite a un support infini dès que son terme au rang 77 est non nul.
La première suite a un support fini, puisqu’elle est nulle pour tout rang supérieur ou égal à 88.
Le support d’une suite comprend les indices auxquels son terme est non nul.
La multiplication de la suite par un scalaire non nul conserve son support.
La multiplication par le scalaire nul donne un support réduit à {0}\{0\}.

La première suite a un support fini, puisqu’elle est nulle pour tout rang supérieur ou égal à $$8$$. · Le support d’une suite comprend les indices auxquels son terme est non nul. · La multiplication de la suite par un scalaire non nul conserve son support.

Explication

Une suite nulle à partir d’un certain rang est à support fini, et son support est l’ensemble des indices où ses termes sont non nuls. La multiplication par un scalaire non nul conserve le support, tandis que la multiplication par zéro donne un support vide. Un terme non nul au rang 77 ne rend donc pas le support infini, et le terme au rang 88 est nul dans la situation décrite.

26. Soient uu et vv deux suites à support fini, et soit c=uvc=uv leur produit de convolution. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Le terme c4c_4 se calcule avec les produits uiviu_iv_i pour 0≤i≤40\leq i\leq4.
La convolution de deux suites à support fini est définie par cn=unvnc_n=u_nv_n.
Le support de u+vu+v est contenu dans la réunion des supports de uu et de vv.
Le terme c4c_4 vaut u0v4+u1v3+u2v2+u3v1+u4v0u_0v_4+u_1v_3+u_2v_2+u_3v_1+u_4v_0.
L’ensemble des suites à support fini muni de la convolution est un anneau non commutatif.

Le support de $$u+v$$ est contenu dans la réunion des supports de $$u$$ et de $$v$$. · Le terme $$c_4$$ vaut $$u_0v_4+u_1v_3+u_2v_2+u_3v_1+u_4v_0$$.

Explication

La convolution donne cn=∑k=0nukvn−kc_n=\sum_{k=0}^{n}u_kv_{n-k}, ce qui produit la somme indiquée pour n=4n=4. Le support de la somme est inclus dans l’union des supports, et l’algèbre des suites à support fini avec convolution est commutative.

27. Soit P(X)=4X2−3X5P(X)=4X^2-3X^5. Parmi les propositions suivantes concernant le degré et la valuation, laquelle ou lesquelles est ou sont exacte(s) ?

Le degré de PP est 22, correspondant au premier terme écrit dans PP.
La valuation de PP est 55, car elle correspond au plus grand exposant présent.
La valuation de PP est 22, premier exposant dont le coefficient est non nul.
Le polynôme nul a pour degré 00, puisqu’il n’a aucun terme non nul.
Le degré de PP est 55, car son coefficient dominant est non nul.

La valuation de $$P$$ est $$2$$, premier exposant dont le coefficient est non nul. · Le degré de $$P$$ est $$5$$, car son coefficient dominant est non nul.

Explication

Le plus grand exposant de coefficient non nul est 55, et le plus petit est 22. Le degré ne dépend pas de l’ordre d’écriture des termes, et le degré du polynôme nul vaut −∞-\infty.

28. On considère P(X)=X2+X4P(X)=X^2+X^4 et Q(X)=2X3+X5Q(X)=2X^3+X^5. Concernant les degrés, valuations et éléments inversibles de K[X]K[X] :

Le produit 1+X1+X est inversible dans K[X]K[X], car son degré vaut 11.
Le produit PQPQ a pour degré 2020, produit des degrés de PP et QQ.
Le produit PQPQ a pour degré 99, somme des degrés 44 et 55.
La somme P+QP+Q a un degré inférieur ou égal à 55.
Le produit PQPQ a pour valuation 55, somme des valuations 22 et 33.

Le produit $$PQ$$ a pour degré $$9$$, somme des degrés $$4$$ et $$5$$. · La somme $$P+Q$$ a un degré inférieur ou égal à $$5$$. · Le produit $$PQ$$ a pour valuation $$5$$, somme des valuations $$2$$ et $$3$$.

Explication

Les degrés du produit s’additionnent : 4+5=94+5=9, et ses valuations s’additionnent : 2+3=52+3=5. Le degré de la somme est au plus le maximum des degrés, soit 55. Un polynôme inversible doit être constant non nul, et la règle du degré du produit est une somme, non un produit.

29. Pour diviser P(X)=X4+1P(X)=X^4+1 par Q(X)=X2+1Q(X)=X^2+1, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le reste de cette division vérifie deg⁡(R)<2\deg(R)<2, puisque deg⁡(Q)=2\deg(Q)=2.
Pour cette division suivant les puissances croissantes, le quotient doit vérifier deg⁡(S)<2\deg(S)<2.
La division euclidienne fournit un quotient SS et un reste RR avec P=SQ+RP=SQ+R.
Comme val⁡(Q)=0\operatorname{val}(Q)=0, une division suivant les puissances croissantes est aussi applicable.
Le quotient et le reste de la division euclidienne sont déterminés de façon unique.

Le reste de cette division vérifie $$\deg(R)<2$$, puisque $$\deg(Q)=2$$. · La division euclidienne fournit un quotient $$S$$ et un reste $$R$$ avec $$P=SQ+R$$. · Comme $$\operatorname{val}(Q)=0$$, une division suivant les puissances croissantes est aussi applicable. · Le quotient et le reste de la division euclidienne sont déterminés de façon unique.

Explication

La division euclidienne par un polynôme non nul donne un couple unique tel que P=SQ+RP=SQ+R et deg⁡(R)<deg⁡(Q)=2\deg(R)<\deg(Q)=2. Ici val⁡(Q)=0\operatorname{val}(Q)=0, donc la division suivant les puissances croissantes existe; pour celle-ci, la borne porte sur le degré de SS et vaut deg⁡(S)<n\deg(S)<n, avec nn choisi dans la règle, pas nécessairement 22.

30. Concernant la factorisation des polynômes non constants dans K[X]K[X] :

Chaque facteur de cette décomposition est lui-même un polynôme irréductible.
Tout polynôme non constant se décompose en produit de polynômes irréductibles.
Tout polynôme non constant se factorise en produit de polynômes de degré un.
Tout polynôme de degré un est réductible dans K[X]K[X].
La factorisation en facteurs irréductibles est unique dans K[X]K[X].

Chaque facteur de cette décomposition est lui-même un polynôme irréductible. · Tout polynôme non constant se décompose en produit de polynômes irréductibles. · La factorisation en facteurs irréductibles est unique dans $$K[X]$$.

Explication

Dans K[X]K[X], tout polynôme non constant admet une factorisation unique en facteurs irréductibles. Ces facteurs sont irréductibles, et les polynômes de degré un sont eux-mêmes irréductibles; l’existence et l’unicité de la factorisation valent dans K[X]K[X].

31. Pour P(X)=2+3X+4X2P(X)=2+3X+4X^2 et Q(X)=X2−1Q(X)=X^2-1, quelles propositions concernant la dérivation formelle sont exactes ?

La dérivée formelle de QQ est Q′(X)=2XQ'(X)=2X.
La dérivée formelle de PP est 3+4X3+4X, sans multiplier le coefficient quadratique par deux.
La dérivée formelle de PP est P′(X)=3+8XP'(X)=3+8X.
Le coefficient de XX dans P′P' provient du terme 4X24X^2.
La dérivée du produit s’écrit P′Q+PQ′P'Q+PQ'.

La dérivée formelle de $$Q$$ est $$Q'(X)=2X$$. · La dérivée formelle de $$P$$ est $$P'(X)=3+8X$$. · Le coefficient de $$X$$ dans $$P'$$ provient du terme $$4X^2$$. · La dérivée du produit s’écrit $$P'Q+PQ'$$.

Explication

La dérivation formelle transforme aiXia_iX^i en iaiXi−1ia_iX^{i-1}, d’où P′=3+8XP'=3+8X et Q′=2XQ'=2X. La règle du produit donne P′Q+PQ′P'Q+PQ'. Le terme quadratique contribue donc 8X8X, et non 4X4X.

32. Soient P,Q∈K[X]P,Q\in K[X], avec Q≠0Q\neq0, et deg⁡(P)=7\deg(P)=7, deg⁡(Q)=3\deg(Q)=3. Parmi les propositions suivantes concernant la fraction rationnelle P/QP/Q, lesquelles sont exactes ?

La fraction P/QP/Q a pour degré 44, obtenu par différence des degrés.
La fraction P/QP/Q est un quotient de polynômes dont le dénominateur est non nul.
L’égalité de deux fractions P/QP/Q et S/RS/R exige que leurs numérateurs soient égaux.
Le degré de P/QP/Q vaut 1010, obtenu en additionnant les degrés.
Un polynôme de K[X]K[X] ne peut pas être identifié à une fraction rationnelle.

La fraction $$P/Q$$ a pour degré $$4$$, obtenu par différence des degrés. · La fraction $$P/Q$$ est un quotient de polynômes dont le dénominateur est non nul.

Explication

Le degré vaut 7−3=47-3=4, et une fraction rationnelle est bien un quotient de polynômes à dénominateur non nul. L’égalité se vérifie par le produit en croix, pas par l’égalité des numérateurs seuls ; les polynômes s’identifient aux fractions de dénominateur 11. Enfin, le degré ne s’obtient pas par addition.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 96 flashcards sur Algèbre générale et espaces vectoriels.

Que contient l’ensemble des parties de E, noté P(E) ?

Tous les sous-ensembles de E.

Quels éléments appartiennent à l’intersection de A et B ?

Ceux qui appartiennent à la fois à A et à B.

Quels éléments appartiennent à la réunion de A et B ?

Ceux qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Algèbre générale et espaces vectoriels.

Voir la fiche →

Cours similaires

Caractéristiques des verres ophtalmiques

Physique

Analyse structurelle des systèmes

Modélisation des systèmes avec SysML

La vie et la biodiversité terrestre

SVT

Génétique et caractères héréditaires

SVT

Transformations de la digestion

SVT

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM