Qu'est-ce qu'une fonction numérique à variable réelle ?
C'est une fonction définie de ℝ ou d'une partie de ℝ dans ℝ.
Que désigne l'ensemble de définition d'une fonction f ?
L'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe et a une image.
Sur quel ensemble est définie toute fonction polynôme ?
Sur ℝ.
Quelle condition impose l'existence d'une fonction quotient f(x)=p(x)/q(x) ?
Que q(x) soit différent de zéro.
Quelle condition impose l'existence d'une fonction racine carrée f(x)=√p(x) ?
Que p(x) soit supérieur ou égal à zéro.
Quelles conditions imposent l'existence de f(x)=√p(x)/√q(x) ?
Que p(x)≥0 et q(x)>0.
Sur quel ensemble sont définies les fonctions f(x)=|p(x)|, f(x)=√{|p(x)|}, cos(ax+b) et sin(ax+b) ?
Sur ℝ.
Quelle est la limite en l’infini d’une fonction polynôme ?
C'est la limite en l’infini de son monôme de plus haut degré.
Quelle est la limite en l’infini d’une fonction rationnelle ?
C'est la limite en l’infini du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Quelles sont les formes indéterminées classiques ?
Ce sont , , et .
Comment lever une forme indéterminée pour une fonction polynôme ?
On utilise la factorisation.
Quelle méthode utilise-t-on pour lever une forme indéterminée pour une fonction irrationnelle ?
On utilise l’expression conjuguée.
Quelle est la valeur de ?
Cette limite vaut 1.
Quelle est la valeur de ?
Cette limite vaut 1.
Que dit le théorème des gendarmes sur une fonction f encadrée par g et h ?
Si g et h tendent vers la même limite l, alors f tend vers l.
Qu'est-ce qu'une asymptote verticale à la courbe de f ?
La droite x=x₀ où f n'est pas définie et f(x) tend vers ±∞ quand x→x₀.
Quand y=a est-elle une asymptote horizontale à la courbe de f ?
Quand f(x) tend vers a quand x tend vers +∞ ou −∞.
Quelle condition caractérise une asymptote oblique y=ax+b ?
Si avec a≠0.
Comment déterminer la position de la courbe par rapport à y=ax+b ?
On étudie le signe de f(x)−(ax+b) pour savoir si la courbe est au-dessus, au-dessous ou confondue.
Qu'est-ce qu'une direction asymptotique y=ax de la courbe ?
Si f(x) tend vers l'infini, f(x)/x tend vers a≠0 et f(x)−ax tend vers l'infini.
Qu'impose la continuité d'une fonction f en un point x₀ ?
La limite de f en x₀ est égale à f(x₀).
Quelle condition caractérise la continuité à gauche en x₀ ?
La limite à gauche de f en x₀ est égale à f(x₀).
Quelle condition caractérise la continuité à droite en x₀ ?
La limite à droite de f en x₀ est égale à f(x₀).
Quand une fonction est-elle continue en x₀ selon la continuité à gauche et à droite ?
Si elle est continue à gauche et à droite en x₀.
Quels opérations conservent la continuité en un point x₀ ?
La somme, le produit et le produit par un réel de fonctions continues en x₀.
Quand le quotient ou l'inverse de fonctions continues est-il continu en x₀ ?
Si le dénominateur ou la fonction ne s'annule pas en x₀.
Quand une fonction est-elle continue sur un intervalle I ?
Si elle est continue en tout point de I.
Sur quels ensembles les fonctions polynômes, rationnelles et irrationnelles sont-elles continues ?
Les polynômes sur ℝ, les rationnelles et irrationnelles sur leur domaine de définition.
Qu'est-ce que le prolongement par continuité en un point x₀ ?
C'est définir g(x₀) comme la limite de f en x₀ si cette limite est réelle.
Comment est définie la fonction g pour x différent de x₀ dans un prolongement par continuité ?
On pose g(x) = f(x) pour tout x différent de x₀.
Qu'impose la dérivabilité de f en un point x₀ ?
La limite existe et est réelle.
Quelle est la formule de la tangente à f en x₀ ?
.
Que garantit la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle ?
La fonction est continue sur cet intervalle.
Quelle formule relie f(b)-f(a) et f'(c) selon le théorème des accroissements finis ?
avec .
Quelle inégalité lie f(b)-f(a) aux bornes m et M de f' sur [a,b] ?
si sur [a,b].
Qu'impose la définition d'une fonction paire sur ?
pour tout x du domaine.
Quelle symétrie caractérise la courbe d'une fonction paire ?
Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Qu'impose la définition d'une fonction impaire sur ?
pour tout x du domaine.
Quelle symétrie caractérise la courbe d'une fonction impaire ?
Elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Quelle transformation graphique correspond à ?
La symétrie de la courbe de f par rapport à l’axe des abscisses.
Quelle transformation correspond à ?
La translation de la courbe de f de vecteur .
Comment étudier la courbe d'une fonction périodique de période T ?
Limiter l’étude à un intervalle de longueur T puis compléter par translations de vecteurs et .
Quelles étapes comporte une démonstration par récurrence ?
Vérifier le rang initial, supposer vrai au rang k, démontrer au rang k+1.
Quand une suite est-elle dite bornée ?
Lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
Quelle propriété ont les suites croissantes majorées ?
Elles sont convergentes.
Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?
Quelle est la formule de la somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique ?
Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?
Quelle est la formule de la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique si ?
Quelle fonction est la primitive de sur nulle en 1 ?
Le logarithme népérien.
Qu'est-ce que la fonction exponentielle de base e ?
C'est la bijection réciproque du logarithme népérien notée exp.
Quelle égalité vérifie la fonction exponentielle exp pour tout réel x ?
Elle vérifie exp(x)=e^x.
Quelle formule relie à et ?
.
Comment s'exprime en fonction de et ?
.
Quelle est la dérivée de la fonction ?
Elle est .
Quand la fonction est-elle strictement décroissante ?
Quand la base est telle que .
Quand la fonction est-elle strictement croissante ?
Quand la base est strictement supérieure à 1.
Quand la fonction puissance est-elle strictement croissante sur ?
Quand .
Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction continue f sur un intervalle I ?
Une fonction F telle que F'(x)=f(x) pour tout x de I.
Quelle est la formule reliant une primitive F de f et l'intégrale de f de a à b ?
.
Que donne la relation de Chasles pour l'intégrale de f de a à c ?
.
Comment calcule-t-on la valeur moyenne de f sur [a;b] avec ?
.
Quelle est la formule d'intégration par parties entre a et b ?
.
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
C'est une équation avec une fonction inconnue et au moins une de ses dérivées.
Qu'impose l'ordre d'une équation différentielle ?
C'est le plus grand ordre de dérivation avec un coefficient non nul.
Quelle est la solution générale de ?
où est une primitive de et un réel.
Quelle est la solution générale de avec ?
où .
Quelle est l'équation caractéristique de ?
est l'équation caractéristique.
Comment se calcule le discriminant de ?
Le discriminant est .
Quelle est la méthode pour résoudre une équation différentielle avec second membre ?
On trouve une solution particulière, on résout l'homogène, puis on additionne.
Qu'est-ce qu'une courbe paramétrée ?
L'ensemble des points M(t) avec x=f(t) et y=g(t) pour t dans un intervalle I.
Comment est définie la fonction vectorielle associée à une courbe paramétrée ?
Par .
Quel est le domaine de définition d'une courbe paramétrée ?
L'intersection des domaines de définition de x(t) et y(t), soit .
Comment trouve-t-on une période commune si x(t) et y(t) sont périodiques ?
En calculant .
Quelle condition assure que la tangente à la courbe paramétrée au point M(t_0) est colinéaire au vecteur dérivé ?
Le vecteur dérivé est non nul.
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1. Quelle est la nature d’une fonction numérique à variable réelle ?
2. Que représente l’ensemble de définition d’une fonction ?
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